(新課標(biāo))備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)難點(diǎn)2.8立體幾何中的折疊問題、最值問題和探索性問題教學(xué)案文

1、 ACD（新課標(biāo)）備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)難點(diǎn) 2.8 立體幾何中的折疊問題、最值問題和探索性問題教學(xué)案文立體幾何中的折疊問題、最值問題和探索性問題對(duì)立體幾何中的折疊問題、最值問題和探索性問題，要求學(xué)生要有較強(qiáng)的空間想象力和準(zhǔn)確的計(jì)算運(yùn)算能力，才能 順利解答從實(shí)際教學(xué)和考試來看，學(xué)生對(duì)這類題看到就頭疼分析原因，首先是學(xué)生的空間想象力較弱，其次是學(xué)生對(duì)這類問題沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理本 文就高中階段學(xué)習(xí)和考試出現(xiàn)這類問題加以總結(jié)的探討1立體幾何中的折疊問題折疊問題是立體幾何的兩個(gè)重要問題，這兩種方式的轉(zhuǎn)變正是空間幾何與平面幾何問題轉(zhuǎn)化的集中體現(xiàn).處理這類題型的關(guān)鍵

2、是抓住兩圖的特征關(guān)系.折疊問題是立體幾何的一類典型問題是實(shí)踐能力與創(chuàng)新能力考查的好素材.解答折疊問題的關(guān)鍵在于畫好折疊前后的平面圖形與立體圖形，并弄清折疊前后哪些發(fā)生了變化，哪些沒有發(fā)生變化.這些未變化的已知條件都是我們分析問題和解決問題的依據(jù).而表面展開問題是折疊問題的逆向思維、逆過程，一般地，涉及到多面體表面的問題，解題時(shí)不妨將它展開成平面圖形試一試.例【河南省中原名校 2018 屆第五次聯(lián)考】如圖甲，在四邊形 ABCD 中， AD 2 3, CD 2 ， ABC是邊長(zhǎng) 為 4 的正 三角形，把ABC沿AC折起到PAC的位置，使得平面PAC 平面ACD，如圖乙所示，點(diǎn) O, M , N 分

3、別為棱 AC , PA, AD的中點(diǎn)（1）求證： AD 平面 PON ；（2）求三棱錐 M ANO 的體積思路分析：（1）在正三角形 APC 中可得 PO AC ，有根據(jù)題意得到 PO 平面 ACD ，從而得 PO AD ，計(jì)算可得 AD CD 由 O , N 分別為棱 AC , AD 的中點(diǎn)，得到ON / / CD ，故 ON AD 根據(jù)線面垂直的判定定理可得 AD 平面PON（2）由條件得SACD2 3，故SNAO1 3S 4 2，又可得點(diǎn) M 到平面 ANO 的距離為 h 12OP 3，故可求得三棱錐 M ANO 的體積1 / 5 3 3 65 6 3 6 5 65 （新課標(biāo)）備戰(zhàn)高考數(shù)

4、學(xué)二輪復(fù)習(xí)難點(diǎn) 2.8 立體幾何中的折疊問題、最值問題和探索性問題教學(xué)案文點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，以折疊問題為載體，折疊問題是考查學(xué)生空間想象能力的較好載體.如本題，不僅要求學(xué)生象解常規(guī)立幾綜合題一樣懂得線線，線面和面面垂直的判定方法及相互轉(zhuǎn)化，還要正確識(shí)別出折疊而成的空間圖形，更要識(shí)得折前折后有關(guān)線線、線面位置的變化 情況以及有關(guān)量（邊長(zhǎng)與角）的變化情況，否則無法正確解題這正是折疊問題的價(jià)值之所在2立體幾何中的最值問題解決空間圖形有關(guān)的線段、角、距離、面積、體積 等最值問題，通常應(yīng)注意分析題目中所有的條件，首先應(yīng)該在充分理解題意的基礎(chǔ)上，分析是否能用公理與定義

5、直接解決題中問題;如果不能，再看是否可將問題條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)，若能寫出確定的表意函數(shù)，則可用建立函數(shù)法求解;再不能，則要考慮其中是否存在不等關(guān)系，看是否能運(yùn)用解等不式法求解;還不行則應(yīng)考慮是否可將其體圖展開成平面，這樣依次順序思考，基 本可以找到解題的途徑例 2【寧夏育才中學(xué) 2018 屆第三次月考】一個(gè)棱長(zhǎng)為 5 的正四面體（棱長(zhǎng)都相等的三棱錐）紙盒內(nèi)放一個(gè) 小正四面體，若小正四面體在紙盒內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則小正四面體棱長(zhǎng)的最大值為_【答案】53【解析】設(shè)大正四面體的內(nèi)切球半徑為 r，則1 1 3 1 1 3 4 r 52 53 2 2 3 2 22 525 3 2解得r 5 612.設(shè)小正四面

6、體棱長(zhǎng)的最大值為x，內(nèi)切球?yàn)樾≌拿骟w的外接球，則r22 2 2 x x r ，即 3 3 12 32 2x x ，解得 x . 3 12 32 / 5（新課標(biāo)）備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)難點(diǎn) 2.8 立體幾何中的折疊問題、最值問題和探索性問題教學(xué)案文點(diǎn)評(píng)：本題考查了球與幾何體的問題，是高考中的重點(diǎn)問題，要有一定的空間想象能力，這樣才能找準(zhǔn)關(guān)系，得到結(jié)果，一般外接球需要求球心和半徑，首先應(yīng)確定球心的位置，借助于外接球的性質(zhì)，球心到各頂點(diǎn)距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點(diǎn)組成的多邊形的外接圓的圓心，過圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點(diǎn)到多邊形的頂點(diǎn)的距離相等，然后同樣的方法找到另一個(gè)多邊形的各

7、頂點(diǎn)距離相等的直線（這兩個(gè)多邊形需有公共點(diǎn)），這樣兩條直線的交點(diǎn)，就是其外接球的球心，再根據(jù)半徑，頂點(diǎn)到底面中心的距離，球心到底面中心的距離，構(gòu)成勾股定理求解，有時(shí)也可利用補(bǔ)體法得到半徑，例：三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體，它們是同一個(gè)外接球.立體幾何中經(jīng)常碰到求最值問題，不少學(xué)生害怕這類問題，主要原因是難以將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題或代數(shù)問題去求解，對(duì)立體幾何的最值問題，一般可以從兩方面著手：一是從問題的幾何特征入手，充分利用其幾何性質(zhì)去解決；二是找出問題中的代數(shù)關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù)，利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值解題途徑很多，在函數(shù)建成后，可用一次函數(shù)的端點(diǎn)法、二次數(shù)的配方法、

8、公式法、有界函數(shù)界值法（如三角函數(shù)等）及高階函數(shù)的拐點(diǎn)導(dǎo)數(shù)法 等3立體幾何中的探索性問題探究性問題常常是條件不完備的情況下探討某些結(jié)論能否成立，立體幾何中的探究性問題既能夠考查學(xué)生的空間想象能力，又可以考查學(xué)生的意志力及探究的能力近幾年高考中立體幾何試題不斷出現(xiàn)了一些具有探索性、開放性的試題內(nèi)容涉及異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角，平行與垂直等方面，對(duì)于這類問題一般可用綜合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法來解決一般此類立體幾何問題描述的是動(dòng)態(tài)的過程，結(jié)果具有不唯一性或者隱藏性，往往需要耐心嘗試及等價(jià)轉(zhuǎn)化，因此，對(duì)于常見的 探究方法的總結(jié)和探究能力的鍛煉是必不可少的例 3【江西省

9、 2018 屆 1 月聯(lián)考】如圖，多面體ABC DB C1 1是由三棱柱ABC A B C 1 1 1截去一部分而成，D 是 AA 的中點(diǎn).1（1）若AD AC 1 ， AD 平面 ABC ， BC AC ，求點(diǎn) C 到面 B C D1 1的距離；（2）若 E 為 AB 的中點(diǎn)， F 在 CC 上，且1CC1 CF，問 為何值時(shí)，直線 EF / / 平面 BC D1 1？3 / 5（新課標(biāo)）備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)難點(diǎn) 2.8 立體幾何中的折疊問題、最值問題和探索性問題教學(xué)案文思路分析：（1）由BC CD，CD C D1，可得CD 面DC B1 1，即點(diǎn)C到面B C D1 1的距離等于CD；（2）

10、當(dāng) 4 時(shí)，直線 EF / / 平面 BC D1 1，理由如下：取DB1的中點(diǎn) H ，連接 EH，可得AD / / EH / / CC1，當(dāng) C F EH 132時(shí)，四邊形C FEH1為平行四邊形，即EFHC.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了點(diǎn)到面的距離，直線與平面平行的判定，屬于基礎(chǔ)題；在求點(diǎn)到面的距離中主要采用證明線面垂直找出距離或者等體積法；線面平行主要通過一下幾種方式：1、利用三角形中位線；2、構(gòu)造平行四邊形；3、利用面面平行等.探索性題型通常是找命題成立的一個(gè)充分條件，所以解這類題采用下 列二種方法：通過各種探索嘗試給出條件;找出命題成立的必要條件，也證明了充分性綜合以上三類問題，折疊與展開問題

11、、最大值和最小值問題和探究性問題都是高考中的熱點(diǎn)問題，在高考試題的新穎性越來越明顯，能力要求也越來越高，并且也越來越廣泛折疊與展開問題是立體幾何的一對(duì)問題，這兩種方式的轉(zhuǎn)變正是空間幾何與平面幾何問題轉(zhuǎn)化的集中體現(xiàn)，處理這類題型的關(guān)鍵是抓住兩圖的特征關(guān)系；求最值的途徑很多，其中運(yùn)用公理與定義法、利用代數(shù)知識(shí)建立函數(shù)法、由常用不等式解不等式法等都是常用的一些求最值的方法；對(duì)于立體幾何的探索性問題一般都是條件開放性的探究問題，采用的方法一般是執(zhí)果索因的方法，假設(shè)求解的結(jié)果存在，尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件，運(yùn)用方程的思4 / 5（新課標(biāo)）備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)難點(diǎn) 2.8 立體幾何中的折疊問題、最值問題和探索性問題教學(xué)案文想或向量的方法轉(zhuǎn)化為代數(shù)的問題解決如果找到了符合題目結(jié)果要求的條件，則存在；