高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)模建中的應(yīng)用舉例

1、 高等數(shù)學(xué)是現(xiàn)代各科知識(shí)的理論基礎(chǔ)，在數(shù) 學(xué)建模中有廣泛的應(yīng)用，極限、連續(xù)和積分等數(shù)學(xué)思想是建立數(shù)學(xué)模型的基本思想，抽象思維和邏輯思維能力是數(shù)學(xué)建模必備的能力。在教學(xué)中，融入數(shù)學(xué)建模思想和方法，讓學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)建模的習(xí)慣。培養(yǎng)他們建立數(shù)學(xué)模型和解決數(shù)學(xué)模型的能力。高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.1某航空母艦派其護(hù)衛(wèi)艦去搜尋其跳傘的飛 行員，護(hù)衛(wèi)艦找到飛行員后，航母通知它盡快 返回與其匯合并通報(bào)了航

2、母當(dāng)前的航速與方 向，問(wèn)護(hù)衛(wèi)艦應(yīng)怎樣航行，才能與航母匯合。例1 艦艇的會(huì)合Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.2令：則上式可簡(jiǎn)記成 ：A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母 護(hù)衛(wèi)艦 1 2 即：可化為：記v2/ v1=a通常a1 則匯合點(diǎn) p必位于此圓上。 （護(hù)衛(wèi)艦的路線方程）（航母的路線方程 ）即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)和2 的值。本模型雖簡(jiǎn)單，但分析極清晰且易于實(shí)際應(yīng)用 Evaluation only.Created wi

3、th Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.3例2 雙層玻璃的功效在寒冷的北方， 許多住房的 玻璃窗都是雙層玻璃的，現(xiàn)在我們來(lái)建立一個(gè)簡(jiǎn)單 的數(shù)學(xué)模型，研究一下雙層玻璃到底有多 大的功效。比較兩座其他條件完全相同的房屋，它們 的差異僅僅在窗戶不同。 不妨可以提出以下 假設(shè)：1、設(shè)室內(nèi)熱量的流失是熱傳導(dǎo)引起的，不存在戶內(nèi)外的空氣對(duì)流。2、室內(nèi)溫 度T1與戶外溫 度T2均為常數(shù)。3、玻璃是均勻的，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)。Evaluation only.Created with Aspose.Sli

4、des for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.4設(shè)玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù) 為k1，空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù) 為k2，單位時(shí)間通過(guò)單位面積由溫度高的一側(cè)流向溫度低的一側(cè)的熱量為 ddl室外T2室內(nèi)T1TaTb由熱傳導(dǎo)公式 =kT/d 解得：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.5此函數(shù)的圖形為dd室外T2室內(nèi)T1類似有 一般故記h=l/d并令f(h)= 0123456

5、7891001hf(h)考慮到美觀和使用上 的方便，h不必取得過(guò)大，例如，可 取h=3，即l=3d，此時(shí)房屋熱量的損失不超過(guò)單層玻璃窗時(shí)的 3% 。 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.6例3 崖高的估算假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功 能的計(jì)算器，你也許會(huì)出于好奇心想用扔下 一塊石頭聽(tīng)回聲的方法來(lái)估計(jì)山崖的高度， 假定你能準(zhǔn)確地測(cè)定時(shí)間，你又怎樣來(lái)推算 山崖的高度呢，

6、請(qǐng)你分析一下這一問(wèn)題。我有一只具有跑 表功能的計(jì)算器。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.7方法一假定空氣阻力不計(jì)，可以直接利用自由落體運(yùn)動(dòng)的公式來(lái)計(jì)算。例如， 設(shè)t=4秒，g=9.81米/秒2，則可求得h78.5米。 我學(xué)過(guò)微積分，我可以做 得更好，呵呵。 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011

7、 Aspose Pty Ltd.8除去地球吸引力外，對(duì)石塊下落影響最大的當(dāng) 屬空氣阻力。根據(jù)流體力學(xué)知識(shí)，此時(shí)可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系 數(shù)K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得： 令k=K/m，解得 代入初始條件 v(0)=0，得c=g/k，故有 再積分一次，得： Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.9若設(shè)k=0.05并仍設(shè) t=4秒，則可求 得h73.6米。 聽(tīng)到回聲再按跑表，計(jì)算得到的時(shí)間中包含了 反應(yīng)時(shí)間 進(jìn)一

8、步深入考慮不妨設(shè)平均反應(yīng)時(shí)間 為0.1秒 ，假如仍 設(shè)t=4秒，扣除反應(yīng)時(shí)間后應(yīng) 為3.9秒，代入 式，求得h69.9米。 多測(cè)幾次，取平均值再一步深入考慮代入初始條 件h(0)=0，得到計(jì)算山崖高度的公式： 將e-kt用泰勒公式展開(kāi)并 令k 0+ ，即可得出前面不考慮空氣阻力時(shí)的結(jié)果。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.10還應(yīng)考慮回聲傳回來(lái)所需要的時(shí)間。為此，令石塊下落 的真正時(shí)間 為t1，聲音傳回來(lái)的時(shí)間記 為t2，還得解

9、一個(gè)方程組： 這一方程組是非線性的，求解不太容易，為了估算崖高竟要去解一個(gè)非線性主程組似乎不合情理 相對(duì)于石塊速度，聲音速度要快得多，我們可 用方法二先求一次 h，令t2=h/340，校正t，求石塊下落時(shí)間 t1t-t2將t1代入式再算一次，得出崖高的近似值。例如， 若h=69.9米，則 t20.21秒，故 t13.69秒，求得 h62.3米。 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.11例4 錄像帶還能錄多長(zhǎng)時(shí)間錄像機(jī)上有一個(gè)四位

10、計(jì)數(shù)器，一盤(pán) 180分鐘的錄像帶在開(kāi)始計(jì)數(shù)時(shí)為 0000，到結(jié)束時(shí)計(jì)數(shù)為1849，實(shí)際走時(shí)為185分20秒。我們從0084觀察到0147共用時(shí)間3分21秒。若錄像機(jī)目前的計(jì)數(shù)為1428，問(wèn)是否還能錄下一個(gè) 60分鐘的節(jié)目？Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.12rRl由得到又 因和 得 積分得到即從而有我們希望建立一個(gè)錄像帶已錄像時(shí) 間t與計(jì)數(shù)器計(jì) 數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系。為建立一個(gè)正確的模型，首 先必須搞清哪些量是常量，哪些量是變

11、量。首先，錄像 帶的磁帶的厚 度是 常量，它被繞在一個(gè)半徑 為r的園盤(pán)上，見(jiàn)圖。磁帶轉(zhuǎn)動(dòng)中的線速 度v顯然也是常數(shù)，否則圖象聲音必然會(huì)失真。此外，計(jì)數(shù)器的讀 數(shù)n與轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)有關(guān)，從而與轉(zhuǎn)過(guò)的角 度成正比。 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.13rRl此式中的三個(gè)參數(shù)、v和r均不易精確測(cè)得，雖然我們可以從上式解出t與n的函數(shù)關(guān)系，但效果不佳，故令 則可將上式簡(jiǎn)化為： 故令上式又可化簡(jiǎn)記成 t= an2+bn Evaluatio

12、n only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.14t= an2+bn rRl上式以a、b為參數(shù)顯然是一個(gè)十分明智的做法，它為公式的最終確立即參數(shù)求解提供了方便。將已知條件代入，得方程組： 從后兩式中消 去t1，解得a=0.0000291, b=0.04646,故t=0.0000291 n2+0.04646n，令n=1428，得到t=125.69（分）由于一盒錄像帶實(shí)際可錄像時(shí)間為185.33分，故尚可錄像時(shí)間 為59.64分，已不能再錄下一個(gè)60分鐘的節(jié)目

13、了。 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.15例5 將形狀質(zhì)量相同的磚塊一一向右往外疊放，欲盡可能地延伸到遠(yuǎn)方，問(wèn)最遠(yuǎn)可以延伸多大距離。設(shè)磚塊是均質(zhì)的，長(zhǎng)度與重量均 為1，其 重心在中點(diǎn)1/2磚長(zhǎng)處，現(xiàn)用歸納法推導(dǎo)。 Zn(n1)n(n1)由第 n塊磚受到的兩個(gè)力的力矩相等，有： 1/2-Zn= (n1) Zn故Zn =1/(2n)，從而上面 n塊磚向右推出的總距離為 ，故磚塊向右可疊至 任意遠(yuǎn) ，這一結(jié)果多少有點(diǎn)出人意料。 E

14、valuation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.16例6 某人住在某公交線附近，該公交線路為在A、B兩地間運(yùn)行，每隔 10分鐘A、B兩地各發(fā)出一班車，此人常在離家最近的 C點(diǎn)等車，他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)令他感到奇怪的現(xiàn)象：在絕大多數(shù)情況下，先到站的總是由 B去A的車，難道由 B去A的車次多些嗎？請(qǐng)你幫助他找一下原因AB發(fā)出車次顯然是一樣多的， 否則一處的車輛將會(huì)越積越多。 Evaluation only.Created with Aspose.Slid

15、es for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.17由于距離不同，設(shè) A到C行駛31分鐘，B到C要行駛 30分鐘，考察一個(gè)時(shí)間長(zhǎng)度 為10分鐘的區(qū)間，例如，可以從 A方向來(lái)的車駛 離C站時(shí)開(kāi)始，在其后的 9分鐘內(nèi)到達(dá)的乘客見(jiàn)到先來(lái)的車均為 B開(kāi)往A的，僅有最 后1分鐘到達(dá)的乘客才見(jiàn)到 由A來(lái)的車先到。由此可見(jiàn)，如果此人 到C站等車的時(shí)間是隨機(jī)的，則他先遇 上B方向來(lái)的車的概率為 90% 。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro

16、.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.18例7 方桌問(wèn)題將一張四條腿的方桌放在不平的地面上，不 允許將桌子移到別處，但允許其繞中心旋轉(zhuǎn) ，是否總能設(shè)法使其四條腿同時(shí)落地？ 不附加任何條件，答案 顯然 是否定的， 因此我們假設(shè) （1）地面為連續(xù)曲面 （2）方桌的四條腿長(zhǎng)度相同 （3）相對(duì)于地面的彎曲程度而言，方桌的腿是足夠長(zhǎng)的 （4）方桌的腿只要有一點(diǎn)接觸地面就算著地?？偪梢允谷龡l腿同時(shí)著地。 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-201

17、1 Aspose Pty Ltd.19現(xiàn)在，我們來(lái)證明：如果上述假設(shè)條件成立，那么答案是肯定的。以方桌的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)作直角坐標(biāo)系如 圖所示，方桌的四條腿分別在A、B、C、D處，A、C的初始位置在x軸上，而B(niǎo)、D則在y軸上，當(dāng)方桌繞中 心0旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)角線 AC與x軸的夾角記為。容易看出，當(dāng)四條腿尚未全部著地時(shí)，腿到地面的距離是不確定的。為消除這一不確定性，令 f()為A、C離地距離之和，g()為B、D離地距離之和，它們的值 由唯一確定。由假設(shè)（1），f()、g()均為的連續(xù)函數(shù)。又 由假設(shè)（3），三條腿總能同時(shí)著地， 故f()g()=0必成立（ ）。不妨設(shè)f(0)=0,g(0)0（若g(0)也

18、為0，則初始時(shí)刻已四條腿著地，不必再旋轉(zhuǎn)），于是問(wèn)題歸結(jié)為：yxCDABo已知f()、g()均為的連續(xù)函數(shù)，f(0)=0,g(0)0且對(duì)任意有f()g()=0，求證存在某一0，使f(0)=g(0)=0。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.20（證法一）當(dāng)=/2時(shí)，AC與BD互換位置，故f(/2)0 , g(/2)=0。令h()=f()-g()，顯然，h()也是的連續(xù)函數(shù)，h(0)=f(0)-g(0)0，由連續(xù)函數(shù)的取零值定理，存

19、在 o，0o 0,g(/2)=0。令o =sup |f ()=0，0,顯然0 0，總有0且0。因?yàn)閒(0+)g (o+)=0，故必有g(shù) (0+)=0，由可任意小且g連續(xù)，可知必 有 g (0)=0，證畢。證法二除用 到f、g的連續(xù)性外，還用到了上確界的性質(zhì)。 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.21 圓周率是人類獲得的最古老的數(shù)學(xué)概念之一，早在大約3700年前（即公元前1700年左右）的古埃及人就已經(jīng)在 用256/81（約3.1

20、605）作為的近似值了。幾千年來(lái)，人們一直沒(méi)有停止過(guò)求的努力。例8 的計(jì)算Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.22 古 典 方 法 分 析 方 法 其 它 方 法 概率方法 數(shù)值積分方法Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.23 古典方法用什么方法來(lái)計(jì) 算的近似值呢

21、？顯然，不可能僅根據(jù)圓周率的定義，用圓的周長(zhǎng)去除以直徑。起先，人們采用的都是用圓內(nèi)接正多邊形和圓外切正多邊形來(lái)逼近的古典方法。6邊形12邊形24邊形圓Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.24 阿基米德曾用圓內(nèi)接 96邊形和圓外切96邊形夾逼的方法證明了由和 導(dǎo)出 公元5世紀(jì)，祖沖之指出比西方得到同樣結(jié)果幾乎早了1000年Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5

22、 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.25 十五世紀(jì)中葉，阿爾卡西給出的16位小數(shù)，打破了祖沖之的紀(jì)錄 1579年,韋達(dá)證明 1630年,最后一位用古典方法求的人格林伯格也只求到了的第39位小數(shù)Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.26 分析方法從十七世紀(jì)中葉起，人們開(kāi)始用更先進(jìn)的分析方法來(lái)求的近似值，其中應(yīng)用的主要工具是收斂的無(wú)窮乘積和無(wú)窮級(jí)數(shù)，在本節(jié)中我們將介紹一些用此類

23、方法求近似值的實(shí)例。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.27取取 1656年，沃里斯(Wallis)證明Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.28 在微積分中我們學(xué)過(guò)泰勒級(jí)數(shù)，其中有當(dāng)Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.29取取Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.30 在中學(xué)數(shù)學(xué)中證明過(guò)下面的等式左邊三個(gè)正方形組成的矩形中， 由 和 可得 和 的展開(kāi)式的收斂速度都比 快得多ACB