大二下信號與系統(tǒng)講義chapter9

1、Analysis and Characterized of LTI Systems Using the Laplace Transform一. 系統(tǒng)函數(shù)的概念： 以卷積特性為基礎(chǔ)，可以建立LTI系統(tǒng)的拉氏變換分析方法，即 其中 是 的拉氏變換，稱為系統(tǒng)函數(shù)或轉(zhuǎn)移函數(shù)、傳遞函數(shù)。9.7 用拉氏變換分析與表征LTI系統(tǒng) 這就是LTI系統(tǒng)的傅里葉分析。 即是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。 這些方法之所以成立的本質(zhì)原因在于復(fù)指數(shù)函數(shù)是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。當以 為基底分解信號時，LTI系統(tǒng)對輸入信號的響應(yīng)就是 如果 的ROC包括 軸，則 和 的ROC必定包括 軸，以 代入，即有 連同相應(yīng)的ROC也能完全描述一個

2、LTI系統(tǒng)。系統(tǒng)的許多重要特性在 及其ROC中一定有具體的體現(xiàn)。 ； 而以 為基底分解信號時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)就是 。二. 用系統(tǒng)函數(shù)表征LTI系統(tǒng)：1. 因果性：如果 時 ，則系統(tǒng)是因果的。如果 時 ，則系統(tǒng)是反因果的。 因此，因果系統(tǒng)的 是右邊信號，其 的ROC必是最右邊極點的右邊。由于反因果系統(tǒng)的 是左邊信號， 的ROC必是最左邊極點的左邊。 應(yīng)該強調(diào)指出，由ROC的特征，反過來并不能判定系統(tǒng)是否因果。ROC是最右邊極點的右邊并不一定系統(tǒng)因果。2. 穩(wěn)定性： 如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則有 。因此 必存在。意味著 的ROC必然包括 軸。只有當 是有理函數(shù)時，逆命題才成立。 綜合以上兩點，可以得到：因果

3、穩(wěn)定系統(tǒng)的 ，其全部極點必須位于S平面的左半邊。例1.某系統(tǒng)的 顯然該系統(tǒng)是因果的，確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。顯然，ROC是最右邊極點的右邊。ROC包括 軸系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。的全部極點都在S平面的左半邊。例2.若有 的ROC是最右邊極點的右邊，但 是非有理函數(shù)， ，系統(tǒng)是非因果的。 由于ROC包括 軸，該系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的。而對系統(tǒng) 仍是非有理函數(shù)，ROC是最右邊極點的右邊，但由于 ，系統(tǒng)是因果的。 結(jié) 論：如果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)，且全部極點位于S平面的左半平面，則系統(tǒng)是因果、穩(wěn)定的。 2. 如果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)，且系統(tǒng)因果，則系統(tǒng)函數(shù)的ROC是最右邊極點的右邊。若系統(tǒng)反因果，則系

4、統(tǒng)函數(shù)的ROC是最左邊極點的左邊。 3.如果LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則系統(tǒng)函數(shù)的ROC必然包括 軸。三. 由LCCDE描述的LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)：對做拉氏變換，可得是一個有理函數(shù)的ROC需要由系統(tǒng)的相關(guān)特性來確定。1）如果LCCDE具有一組全部為零的初始條件（初始松弛），則 的ROC必是最右邊極點的右邊。（因果的LTI系統(tǒng)）2）如果已知LCCDE描述的系統(tǒng)是因果的，則 的ROC必是最右邊極點的右邊。3）如果已知LCCDE描述的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則 的ROC 必包括 軸。四.系統(tǒng)特性與系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系:自學(xué)。請關(guān)注例9.25、9.26、9.27 五. Butterworth濾波器:自學(xué)9.8 系統(tǒng)函數(shù)的代

5、數(shù)屬性與方框圖表示System Function Algebra and Block Diagram Representations一.系統(tǒng)互聯(lián)時的系統(tǒng)函數(shù)：1. 級聯(lián)：包括3. 反饋聯(lián)結(jié)：2. 并聯(lián)：包括包括二. LTI系統(tǒng)的級聯(lián)和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)：LTI系統(tǒng)可以由一個LCCDE來描述。對其進行拉氏變換有：是一個有理函數(shù)1. 級聯(lián)結(jié)構(gòu)：將 的分子和分母多項式因式分解 這表明：一個N階的LTI系統(tǒng)可以分解為若干個二階系統(tǒng)和一階系統(tǒng)的級聯(lián)。在N為偶數(shù)時，可以全部組合成二階系統(tǒng)的級聯(lián)形式。其中如果N為奇數(shù)，則有一個一階系統(tǒng)出現(xiàn)。2. 并聯(lián)結(jié)構(gòu)： 將 展開為部分分式 (假定 的分子階數(shù)不高于分母階數(shù)，所有

6、極點都是單階的），則有：將共軛成對的復(fù)數(shù)極點所對應(yīng)的兩項合并:（N為偶數(shù)時） N為偶數(shù)時又可將任意兩個一階項合并為二階項，由此可得出系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)：The Unilateral Laplace Transform 單邊拉氏變換是雙邊拉氏變換的特例。也就是因果信號的雙邊拉氏變換。單邊拉氏變換對分析LCCDE 描述的增量線性系統(tǒng)具有重要的意義。一.定義: 如果 是因果信號，對其做雙邊拉氏變換和做單邊拉氏變換是完全相同的。9.9 單邊拉普拉斯變換 單邊拉氏變換也同樣存在ROC 。其ROC必然遵從因果信號雙邊拉氏變換時的要求，即：一定位于最右邊極點的右邊。 正因為這一原因，在討論單邊拉氏變換時，一般不

7、再強調(diào)其ROC。 因果信號的單邊拉氏變換的反變換一定與雙邊拉氏變換的反變換相同。做單邊拉氏變換：例1.做雙邊拉氏變換：例2. 與 不同，是因為 在 的部分對 有作用，而對 沒有任何作用所致。由于其ROC為二.單邊拉氏變換的性質(zhì):單邊拉氏變換的大部分性質(zhì)與雙邊拉氏變換相同，但也有幾個不同的性質(zhì)。1. 時域微分（Differentiation in the Time Domain）若則2. 時域積分（Integration in the Time Domain）3.時延性質(zhì)（Time Shifting） 是因果信號時，單邊拉氏變換的時延特性與雙邊變換時一致。不是因果信號時，則若三.利用單邊拉氏變換分析增量線性系統(tǒng): 單邊拉氏變換特別適合于求解由LCCDE描述的增量線性系統(tǒng)。例.某LTI系統(tǒng)由微分方程描述求響應(yīng)解：對方程兩邊做單邊拉氏變換：代入可得:其中，第一項為強迫響應(yīng)，其它為自然響應(yīng)。9.10 小結(jié) Summary ROC 是雙邊拉氏變換的重要概念。離開了收斂域ROC，信號與雙邊拉氏變換的表達式將不再有一一對應(yīng)的關(guān)系。 拉氏變換是傅氏變換的推廣，在LTI系統(tǒng)分析中特別有用。它可以將微分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程，這對分析系統(tǒng)互聯(lián)、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、用系統(tǒng)函數(shù)表征系統(tǒng)、分析系統(tǒng)特性等都具有重要意義。 作為拉氏變換的幾何表示，零極點圖