2019屆高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第60講離散型隨機(jī)變量其分布列(含解析)

1、2019屆高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)優(yōu)選教學(xué)設(shè)計(jì)：第60講失散型隨機(jī)變量及其分布列(含解析)2019屆高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)優(yōu)選教學(xué)設(shè)計(jì)：第60講失散型隨機(jī)變量及其分布列(含解析)13/132019屆高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)優(yōu)選教學(xué)設(shè)計(jì)：第60講失散型隨機(jī)變量及其分布列(含解析)第60講失散型隨機(jī)變量及其分布列考試說(shuō)明1.理解取有限個(gè)值的失散型隨機(jī)變量及其分布列的看法,認(rèn)識(shí)分布列刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象的重要性,會(huì)求某些取有限個(gè)值的失散型隨機(jī)變量的分布列.2認(rèn)識(shí)超幾何分布,并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.考情解析考點(diǎn)觀察方向考例觀察熱度失散型隨2016全國(guó)卷19,失散型隨機(jī)變量的分布機(jī)變量的全國(guó)卷18,2016分布列列2013全

2、國(guó)卷19真題再現(xiàn)2017-2013課標(biāo)全國(guó)真題再現(xiàn)1.2016全國(guó)卷改編某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被裁汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用時(shí)期,若是備件不足再購(gòu)買,則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件,為此采集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).求X的分布列.2臺(tái)機(jī)器解:由柱狀圖并以頻率代替概率可得,1臺(tái)機(jī)器在三年

3、內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2.從而P(X=16)=0.20.2=0.04;P(X=17)=20.20.4=0.16;P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24;P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24;P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2;P(X=21)=20.20.2=0.08;P(X=22)=0.20.2=0.04.因此X的分布列為X16171819202122P0.00.10.20.2020.00.04644.842.2016全國(guó)卷某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),連續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為

4、續(xù)保人,續(xù)保人今年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)系以下:上年度出012345險(xiǎn)次數(shù)保費(fèi)081.21.517.a.25aaa5a5a設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率以下:一年內(nèi)出012345險(xiǎn)次數(shù)概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一續(xù)保人今年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率;若一續(xù)保人今年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi),求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率;求續(xù)保人今年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.解:(1)設(shè)A表示事件“一續(xù)保人今年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”,則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1,故P(A)=0.20+0.20+0.10+0.05=0.55.(2)設(shè)B表示事件“

5、一續(xù)保人今年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”,則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3,故P(B)=0.10+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=,因此所求概率為.(3)記續(xù)保人今年度的保費(fèi)為X,則X的分布列為X0.85aa1.25a1.5a1.75a2a0.300.150.200.200.100.05E(X)=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a.因此續(xù)保人今年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.23.3.2013全國(guó)卷經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個(gè)銷售季度內(nèi),每售出1t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元,未售

6、出的產(chǎn)品,每1t損失300元依照歷史資料,獲取銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖,以下列圖,經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品,以X(單位:t,100X150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量,T(單位:元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn).將T表示為X的函數(shù);(2)依照直方圖估計(jì)利潤(rùn)T很多于57000元的概率;在直方圖的需求量分組中,以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值,并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(比方:若需求量X100,110),則取X=105,且X=105的概率等于需求量落入100,110)的頻率),求T的數(shù)學(xué)希望.解:(1)當(dāng)X100,13

7、0)時(shí),T=500X-300(130-X)=800X-39000.當(dāng)X130,150時(shí),T=500130=65000.因此T=(2)由(1)知利潤(rùn)T很多于57000元,當(dāng)且僅當(dāng)120X150.由直方圖知需求量因此下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤(rùn)T很多于57000元的概率的估計(jì)值為0.7.X120,150的頻率為0.7,依題意可得T的分布列為45000530006100065000P0.10.20.30.4因此E(T)=450000.1+530000.2+610000.3+650000.4=59400.2017-2016其他省份近似高考真題1.2017山東卷在心理學(xué)研究中,常采用比較試驗(yàn)的方法議論不相同心

8、理表示對(duì)人的影響,詳盡方法以下:將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理表示,另一組接受乙種心理表示,經(jīng)過(guò)比較這兩組志愿者接受心理表示后的結(jié)果來(lái)議論兩種心理表示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者1,2,3,4,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理表示,另5人接受乙種心理表示.BBBB求接受甲種心理表示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙種心理表示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)希望E(X).解:(1)記接受甲種心理表示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M,則P(M)=.由題意知X可取的值為0,1,2,3,4,則P(X=0)=,P

9、(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.因此X的分布列為X01234PX的數(shù)學(xué)希望E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0+1+2+3+4=2.2.2016山東卷改編甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)輪活動(dòng)中,若是兩人都猜對(duì),則“星隊(duì)”得3分;若是只有一人猜對(duì),每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ).在一,則“星隊(duì)”得1分;若是兩人都沒(méi)猜對(duì),則“星隊(duì)”得0分.已知甲每輪猜對(duì)的概率是,乙每輪猜對(duì)的概率是;每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響,各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng),求“星隊(duì)”兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學(xué)希望E(X

10、).解:由題意,隨機(jī)變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨(dú)立性與互斥性,得P(X=0)=,P(X=1)=2+=,PX=+=,(2)P(X=3)=+=,P(X=4)=2+=,P(X=6)=.故隨機(jī)變量X的分布列為X012346P因此數(shù)學(xué)希望E(X)=0+1+2+3+4+6=.32016天津卷改編某小組共10人,利用假期參加義工活動(dòng).已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分.別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加會(huì)商會(huì).設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)希望.解:隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2.(0)=,PX=P(X=1

11、)=,P(X=2)=.因此隨機(jī)變量X的分布列為X012P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)希望E(X)=0+1+2=1.【課前雙基牢固】知識(shí)聚焦1.隨機(jī)變量失散型隨機(jī)變量2.(1)概率分布列分布列P(X=x)=p,i=1,2,n(2)p0(i=1,2,n)p=1iiii3(1)1-p(1)(2)min,.PX=Mn對(duì)點(diǎn)演練1.1x2解析由題中給出的分布列,可讀出相應(yīng)的概率值,因?yàn)?=-2)(=-1)(0)(1)08,因此12P+P+P=+P=.x.2.解析因?yàn)樗惺录l(fā)生的概率之和為1,即P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1,因此c+=1,所以c=.3.X123P解析由題意得X的可能取值為

12、1,2,3,(1),(2),(3),的分布列為PX=PX=PX=XX123P4.解析設(shè)所抽取的3道題中,該同學(xué)解答正確的題數(shù)為X,他能及格的概率是P(X2)=P(X=2)+P(X=3)=+=.5.解析依照失散型隨機(jī)變量的分布列的兩條性質(zhì)可知解得c=.6.X123450.90.00.0090.00090.00019解析X的所有可能取值為1,2,3,4,5.P(X=1)=0.9,P(X=2)=0.10.9=0.09,P(X=3)=(0.1)20.9=0.009,P(X=4)=(0.1)30.9=0.0009,而當(dāng)X=5時(shí),只要前4次射擊不中,就要射第5發(fā)子彈,第5發(fā)子彈可能射中也可能射不中54P(

13、X=5)=(0.1)+(0.1)0.9=0.0001,因此耗用子彈數(shù)X的分布列為,因此X12345P0.90.090.0090.00090.00017.解析由題意可知,若得分不大于7分,則所取4個(gè)球都是紅球或3個(gè)紅球1個(gè)黑球.若4個(gè)球都是紅球,則P=,此時(shí)得分為4分;若4個(gè)球中有3個(gè)紅球1個(gè)黑球,則P=,此時(shí)得分為6分故(.P7)=.【課堂考點(diǎn)研究】例1思路點(diǎn)撥第一依照分布列的性質(zhì)可求得P(X=0)的值,爾后再依照分布列求P(-1X4)的值.C解析因?yàn)殡S機(jī)變量X所有可能取值的會(huì)集是,且P(X=-2)=,P(X=3)=,P(X=5)=,由分布列的性質(zhì)可知P(X=0)=.于是P(-1X4)=P(X

14、=0)+P(X=3)=+=.變式題6解析由題設(shè)知P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=,則P(X4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=,故n=6.例2思路點(diǎn)撥(1)依照等可能性知,每人每次贏、平、輸?shù)母怕识紴?再分兩種情況分別計(jì)數(shù):一種是小華在第1個(gè)臺(tái)階,并且小明在第2個(gè)臺(tái)階,最后一次劃拳兩人平局;另一種是小華在第2個(gè)臺(tái)階,并且小明也在第2個(gè)臺(tái)階,最后一次劃拳小華輸.逆推確定事件數(shù)及對(duì)應(yīng)劃拳的次數(shù),最后利用互斥事件的概率加法公式求概率.(2)先確定隨機(jī)變量的取值,再分別求對(duì)應(yīng)概率,列表可得分布列.解:(1)易知對(duì)于每次劃拳比賽,基本事件共有33=9(個(gè)),其中小華贏(或輸)包含三

15、個(gè)基本事件,他們平局也包含三個(gè)基本事件.不如設(shè)事件“第i(iN*)次劃拳小華贏”為i,事件“第i次劃拳兩人平局”為i,AB事件“第i次劃拳小華輸”為Ci,因此P(Ai)=P(Bi)=P(Ci)=.因?yàn)橛螒蚪Y(jié)束時(shí)小華在第2個(gè)臺(tái)階,因此這包含兩種可能的情況:第一種,小華在第1個(gè)臺(tái)階,并且小明在第2個(gè)臺(tái)階,最后一次劃拳兩人平局,其概率為P1=P(B1)P(C2)P(B3)+P(C1)P(A2)P(C3)P(B4)=;第二種,小華在第2個(gè)臺(tái)階,并且小明也在第2個(gè)臺(tái)階,最后一次劃拳小華輸,其概率為P2=P(B1)P(B2)P(C3)+P(A1)P(B2)P(C3)P(C4)+P(A1)P(C2)P(A3

16、)P(C4)P(C5)=.因此游戲結(jié)束時(shí)小華在第2個(gè)臺(tái)階的概率為P=P1+P2=+=.依題意可知,X的可能取值為2,3,4,5,P(X=5)=2P(A1)P(C2)P(A3)P(C4)=2=,P(X=2)=2P(A1)P(A2)=2=,P(X=3)=2P(A1)P(B2)P(A3)+2P(B1)P(A2)P(A3)+P(B1)P(B2)P(B3)+2P(A1)P(B2)P(B3)+2P(B1)P(A2)P(B3)+2P(B1)P(B2)P(A3)+2P(C1)P(A2)P(A3)=,P(X=4)=1-P(X=5)-P(X=2)-P(X=3)=,因此X的分布列為X2345P變式題解:(1)記事件

17、A為“任取兩張卡片,將卡片上的函數(shù)相加獲取的新函數(shù)是奇函數(shù)”,由題意知P(A)=.(2)由題知可取1,2,3,4,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,P(=4)=,故的分布列為1234P例3思路點(diǎn)撥(1)由對(duì)峙事件的概率公式可得取出的3個(gè)球中最少有1個(gè)紅色球的概率是;(2)利用概率的加法公式可得取出的3個(gè)球得分之和恰為1分的概率是;可能的取值為0,1,2,3,由超幾何分布求得分布列.解:(1)易知所求概率P=1-=.(2)記“取出1個(gè)紅色球,2個(gè)白色球”為事件B,“取出2個(gè)紅色球,1個(gè)黑色球”為事件C,則P(B+C)=P(B)+P(C)=+=.可能的取值為0,1,2,3.P(=0)=,P

18、(=1)=,P(=2)=,P(=3)=.故的分布列為0123P變式題解:(1)由題意可知,樣本容量n=50,y=0.004,x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030.(2)由(1)可知,租用時(shí)間在80,90)內(nèi)的人數(shù)為租用時(shí)間在80,90)內(nèi)的人數(shù)X的可能取值為5,租用時(shí)間在2,3,4,則90,100內(nèi)的人數(shù)為2,共7人.抽取的4人中(2)=,(3)=,PX=PX=P(X=4)=.故X的分布列為X234P【備選原由】例1重視觀察分布列的概率計(jì)算;例2觀察失散型隨機(jī)變量的分布列;例3觀察超幾何分布的相關(guān)知識(shí)以及分布列.1配合例1使用已知隨機(jī)變量的分布列為P(=K)=,K=1,2,則P(24)=()A.B.C.D.解析A由題給出了P(=K)=的概率公式,得