2019屆高考理科數(shù)學一輪復習學案第60講離散型隨機變量其分布列(含解析)

1、2019屆高考理科數(shù)學一輪復習優(yōu)選教學設計：第60講失散型隨機變量及其分布列(含解析)2019屆高考理科數(shù)學一輪復習優(yōu)選教學設計：第60講失散型隨機變量及其分布列(含解析)13/132019屆高考理科數(shù)學一輪復習優(yōu)選教學設計：第60講失散型隨機變量及其分布列(含解析)第60講失散型隨機變量及其分布列考試說明1.理解取有限個值的失散型隨機變量及其分布列的看法,認識分布列刻畫隨機現(xiàn)象的重要性,會求某些取有限個值的失散型隨機變量的分布列.2認識超幾何分布,并能進行簡單的應用.考情解析考點觀察方向考例觀察熱度失散型隨2016全國卷19,失散型隨機變量的分布機變量的全國卷18,2016分布列列2013全

2、國卷19真題再現(xiàn)2017-2013課標全國真題再現(xiàn)1.2016全國卷改編某公司計劃購買2臺機器,該種機器使用三年后即被裁汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用時期,若是備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件,為此采集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購買1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).求X的分布列.2臺機器解:由柱狀圖并以頻率代替概率可得,1臺機器在三年

3、內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2.從而P(X=16)=0.20.2=0.04;P(X=17)=20.20.4=0.16;P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24;P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24;P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2;P(X=21)=20.20.2=0.08;P(X=22)=0.20.2=0.04.因此X的分布列為X16171819202122P0.00.10.20.2020.00.04644.842.2016全國卷某險種的基本保費為a(單位:元),連續(xù)購買該險種的投保人稱為

4、續(xù)保人,續(xù)保人今年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關系以下:上年度出012345險次數(shù)保費081.21.517.a.25aaa5a5a設該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應概率以下:一年內(nèi)出012345險次數(shù)概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一續(xù)保人今年度的保費高于基本保費的概率;若一續(xù)保人今年度的保費高于基本保費,求其保費比基本保費高出60%的概率;求續(xù)保人今年度的平均保費與基本保費的比值.解:(1)設A表示事件“一續(xù)保人今年度的保費高于基本保費”,則事件A發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1,故P(A)=0.20+0.20+0.10+0.05=0.55.(2)設B表示事件“

5、一續(xù)保人今年度的保費比基本保費高出60%”,則事件B發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于3,故P(B)=0.10+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=,因此所求概率為.(3)記續(xù)保人今年度的保費為X,則X的分布列為X0.85aa1.25a1.5a1.75a2a0.300.150.200.200.100.05E(X)=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a.因此續(xù)保人今年度的平均保費與基本保費的比值為1.23.3.2013全國卷經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個銷售季度內(nèi),每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元,未售

6、出的產(chǎn)品,每1t損失300元依照歷史資料,獲取銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖,以下列圖,經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130t該農(nóng)產(chǎn)品,以X(單位:t,100X150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量,T(單位:元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.將T表示為X的函數(shù);(2)依照直方圖估計利潤T很多于57000元的概率;在直方圖的需求量分組中,以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值,并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(比方:若需求量X100,110),則取X=105,且X=105的概率等于需求量落入100,110)的頻率),求T的數(shù)學希望.解:(1)當X100,13

7、0)時,T=500X-300(130-X)=800X-39000.當X130,150時,T=500130=65000.因此T=(2)由(1)知利潤T很多于57000元,當且僅當120X150.由直方圖知需求量因此下一個銷售季度內(nèi)的利潤T很多于57000元的概率的估計值為0.7.X120,150的頻率為0.7,依題意可得T的分布列為45000530006100065000P0.10.20.30.4因此E(T)=450000.1+530000.2+610000.3+650000.4=59400.2017-2016其他省份近似高考真題1.2017山東卷在心理學研究中,常采用比較試驗的方法議論不相同心

8、理表示對人的影響,詳盡方法以下:將參加試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理表示,另一組接受乙種心理表示,經(jīng)過比較這兩組志愿者接受心理表示后的結果來議論兩種心理表示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者1,2,3,4,從中隨機抽取5人接受甲種心理表示,另5人接受乙種心理表示.BBBB求接受甲種心理表示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙種心理表示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學希望E(X).解:(1)記接受甲種心理表示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M,則P(M)=.由題意知X可取的值為0,1,2,3,4,則P(X=0)=,P

9、(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.因此X的分布列為X01234PX的數(shù)學希望E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0+1+2+3+4=2.2.2016山東卷改編甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動輪活動中,若是兩人都猜對,則“星隊”得3分;若是只有一人猜對,每輪活動由甲、乙各猜一個成語.在一,則“星隊”得1分;若是兩人都沒猜對,則“星隊”得0分.已知甲每輪猜對的概率是,乙每輪猜對的概率是;每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響,各輪結果亦互不影響.假設“星隊”參加兩輪活動,求“星隊”兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學希望E(X

10、).解:由題意,隨機變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨立性與互斥性,得P(X=0)=,P(X=1)=2+=,PX=+=,(2)P(X=3)=+=,P(X=4)=2+=,P(X=6)=.故隨機變量X的分布列為X012346P因此數(shù)學希望E(X)=0+1+2+3+4+6=.32016天津卷改編某小組共10人,利用假期參加義工活動.已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分.別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加會商會.設X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值,求隨機變量X的分布列和數(shù)學希望.解:隨機變量X的所有可能取值為0,1,2.(0)=,PX=P(X=1

11、)=,P(X=2)=.因此隨機變量X的分布列為X012P隨機變量X的數(shù)學希望E(X)=0+1+2=1.【課前雙基牢固】知識聚焦1.隨機變量失散型隨機變量2.(1)概率分布列分布列P(X=x)=p,i=1,2,n(2)p0(i=1,2,n)p=1iiii3(1)1-p(1)(2)min,.PX=Mn對點演練1.1x2解析由題中給出的分布列,可讀出相應的概率值,因為(=-2)(=-1)(0)(1)08,因此12P+P+P=+P=.x.2.解析因為所有事件發(fā)生的概率之和為1,即P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1,因此c+=1,所以c=.3.X123P解析由題意得X的可能取值為

12、1,2,3,(1),(2),(3),的分布列為PX=PX=PX=XX123P4.解析設所抽取的3道題中,該同學解答正確的題數(shù)為X,他能及格的概率是P(X2)=P(X=2)+P(X=3)=+=.5.解析依照失散型隨機變量的分布列的兩條性質可知解得c=.6.X123450.90.00.0090.00090.00019解析X的所有可能取值為1,2,3,4,5.P(X=1)=0.9,P(X=2)=0.10.9=0.09,P(X=3)=(0.1)20.9=0.009,P(X=4)=(0.1)30.9=0.0009,而當X=5時,只要前4次射擊不中,就要射第5發(fā)子彈,第5發(fā)子彈可能射中也可能射不中54P(

13、X=5)=(0.1)+(0.1)0.9=0.0001,因此耗用子彈數(shù)X的分布列為,因此X12345P0.90.090.0090.00090.00017.解析由題意可知,若得分不大于7分,則所取4個球都是紅球或3個紅球1個黑球.若4個球都是紅球,則P=,此時得分為4分;若4個球中有3個紅球1個黑球,則P=,此時得分為6分故(.P7)=.【課堂考點研究】例1思路點撥第一依照分布列的性質可求得P(X=0)的值,爾后再依照分布列求P(-1X4)的值.C解析因為隨機變量X所有可能取值的會集是,且P(X=-2)=,P(X=3)=,P(X=5)=,由分布列的性質可知P(X=0)=.于是P(-1X4)=P(X

14、=0)+P(X=3)=+=.變式題6解析由題設知P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=,則P(X4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=,故n=6.例2思路點撥(1)依照等可能性知,每人每次贏、平、輸?shù)母怕识紴?再分兩種情況分別計數(shù):一種是小華在第1個臺階,并且小明在第2個臺階,最后一次劃拳兩人平局;另一種是小華在第2個臺階,并且小明也在第2個臺階,最后一次劃拳小華輸.逆推確定事件數(shù)及對應劃拳的次數(shù),最后利用互斥事件的概率加法公式求概率.(2)先確定隨機變量的取值,再分別求對應概率,列表可得分布列.解:(1)易知對于每次劃拳比賽,基本事件共有33=9(個),其中小華贏(或輸)包含三

15、個基本事件,他們平局也包含三個基本事件.不如設事件“第i(iN*)次劃拳小華贏”為i,事件“第i次劃拳兩人平局”為i,AB事件“第i次劃拳小華輸”為Ci,因此P(Ai)=P(Bi)=P(Ci)=.因為游戲結束時小華在第2個臺階,因此這包含兩種可能的情況:第一種,小華在第1個臺階,并且小明在第2個臺階,最后一次劃拳兩人平局,其概率為P1=P(B1)P(C2)P(B3)+P(C1)P(A2)P(C3)P(B4)=;第二種,小華在第2個臺階,并且小明也在第2個臺階,最后一次劃拳小華輸,其概率為P2=P(B1)P(B2)P(C3)+P(A1)P(B2)P(C3)P(C4)+P(A1)P(C2)P(A3

16、)P(C4)P(C5)=.因此游戲結束時小華在第2個臺階的概率為P=P1+P2=+=.依題意可知,X的可能取值為2,3,4,5,P(X=5)=2P(A1)P(C2)P(A3)P(C4)=2=,P(X=2)=2P(A1)P(A2)=2=,P(X=3)=2P(A1)P(B2)P(A3)+2P(B1)P(A2)P(A3)+P(B1)P(B2)P(B3)+2P(A1)P(B2)P(B3)+2P(B1)P(A2)P(B3)+2P(B1)P(B2)P(A3)+2P(C1)P(A2)P(A3)=,P(X=4)=1-P(X=5)-P(X=2)-P(X=3)=,因此X的分布列為X2345P變式題解:(1)記事件

17、A為“任取兩張卡片,將卡片上的函數(shù)相加獲取的新函數(shù)是奇函數(shù)”,由題意知P(A)=.(2)由題知可取1,2,3,4,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,P(=4)=,故的分布列為1234P例3思路點撥(1)由對峙事件的概率公式可得取出的3個球中最少有1個紅色球的概率是;(2)利用概率的加法公式可得取出的3個球得分之和恰為1分的概率是;可能的取值為0,1,2,3,由超幾何分布求得分布列.解:(1)易知所求概率P=1-=.(2)記“取出1個紅色球,2個白色球”為事件B,“取出2個紅色球,1個黑色球”為事件C,則P(B+C)=P(B)+P(C)=+=.可能的取值為0,1,2,3.P(=0)=,P

18、(=1)=,P(=2)=,P(=3)=.故的分布列為0123P變式題解:(1)由題意可知,樣本容量n=50,y=0.004,x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030.(2)由(1)可知,租用時間在80,90)內(nèi)的人數(shù)為租用時間在80,90)內(nèi)的人數(shù)X的可能取值為5,租用時間在2,3,4,則90,100內(nèi)的人數(shù)為2,共7人.抽取的4人中(2)=,(3)=,PX=PX=P(X=4)=.故X的分布列為X234P【備選原由】例1重視觀察分布列的概率計算;例2觀察失散型隨機變量的分布列;例3觀察超幾何分布的相關知識以及分布列.1配合例1使用已知隨機變量的分布列為P(=K)=,K=1,2,則P(24)=()A.B.C.D.解析A由題給出了P(=K)=的概率公式,得