(完整版)圓的證明與計(jì)算(精編版)

1、圓的證明與計(jì)算專題講解圓的證明與計(jì)算是中考中的一類重要的問(wèn)題，此題完成情況的好壞對(duì)解決后面問(wèn)題的發(fā)揮有重要的影響，所以解決好此題比較關(guān)鍵。的有關(guān)證明中的重要定理:圓的定義:主要是用來(lái)證明四點(diǎn)共圓.垂徑定理:主要是用來(lái)證明弧相等、線段相等、垂直關(guān)系等等.三者之間的關(guān)系定理:主要是用來(lái)證明弧相等、線段相等、圓心角相等.圓周角性質(zhì)定理及其推輪:主要是用來(lái)證明直角、角相等、弧相等.切線的性質(zhì)定理:主要是用來(lái)證明垂直關(guān)系.切線的判定定理:主要是用來(lái)證明直線是圓的切線切線長(zhǎng)定理:線段相等、垂直關(guān)系、角相等2.中幾個(gè)關(guān)鍵元素之間的相互轉(zhuǎn)化:弧、弦、圓心角、圓周角等都可以通過(guò)相等來(lái)互相轉(zhuǎn)化.這在圓中的證明和計(jì)

2、算中經(jīng)常用到.二、考題形式分析：主要以解答題的形式出現(xiàn),第1問(wèn)主要是判定切線；第2問(wèn)主要是與圓有關(guān)的計(jì)算：求線段長(zhǎng)（或面積）；求線段比；求角度的三角函數(shù)值（實(shí)質(zhì)還是求線段比）。知識(shí)點(diǎn)一：判定切線的方法：（1）若切點(diǎn)明確，則“連半徑，證垂直”。常見(jiàn)手法有：全等轉(zhuǎn)化；平行轉(zhuǎn)化；直徑轉(zhuǎn)化；中線轉(zhuǎn)化等；有時(shí)可通過(guò)計(jì)算結(jié)合相似、勾股定理證垂直；（2）若切點(diǎn)不明確，則“作垂直，證半徑”。常見(jiàn)手法：角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；總而言之，要完成兩個(gè)層次的證明：直線所垂直的是圓的半徑（過(guò)圓上一點(diǎn)）；直線與半徑的關(guān)系是互相垂直。在證明中的關(guān)鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化,要善于進(jìn)行由此及

3、彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添加的輔助線.例：方法一：若直線l過(guò)。0上某一點(diǎn)A,證明I是00的切線，只需連OA,證明OA丄I就行了，簡(jiǎn)稱“連半徑，證垂直”難點(diǎn)在于如何證明兩線垂直.C例1如圖，在ABC中，AB=AC，以AB為直徑的00交BC于D,交AC于E,B為切點(diǎn)的切線交0D延長(zhǎng)線于F.求證：EF與00相切.例2如圖，AD是ZBAC的平分線，P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PA=PD.求證：PA與00相切.證明一：作直徑AE,連結(jié)EC.TAD是ZBAC的平分線,/ZDAB=ZDAC./PA=PD,/.Z2=Z1+ZDAC./Z2=ZB+ZDAB,/Z1=ZB.又VZB=ZE,/.Z1=ZETAE是00的直徑，

4、AC丄EC,ZE+ZEAC=9Oo.Z1+ZEAC=9Oo.即0A丄PA.PA與00相切.證明二:延長(zhǎng)AD交00于E,連結(jié)0A,ETAD是ZBAC的平分線，0E丄BC.ZE+ZBDE=9Oo./0A=0E,ZE=Z1./PA=PD,ZPAD二ZPDA.又TZPDA二ZBDE,/.Z1+ZPAD=90o即OA丄PA./.PA與0O相切說(shuō)明：此題是通過(guò)證明兩角互余，證明垂直的，解題中要注意知識(shí)的綜合運(yùn)用.例3如圖，AB=AC，AB是00的直徑，00交BC于D,DM丄AC于M求證：DM與00相切.例4如圖，已知：AB是00的直徑，點(diǎn)C在00上，且ZCAB=30o,BD=OB,D在AB的延長(zhǎng)線上.求證

5、：DC是。0的切線CA例5如圖，AB是00的直徑，CD丄AB,且0A2=0D0P.求證：PC是0O的切線.例6如圖，ABCD是正方形，G是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AG交BD于E，交CD于F.求證：0己與4CFG的外接圓相切.分析：此題圖上沒(méi)有畫出CFG的外接圓，但CFG是直角三角形，圓心在斜邊FG的中點(diǎn)，為此我們?nèi)G的中點(diǎn)O,連結(jié)OC，證明CE丄0C即可得解.證明：取FG中點(diǎn)0,連結(jié)0C.TABCD是正方形，BC丄CD，ACFG是RtAV0是FG的中點(diǎn)，0是RtACFG的夕卜心./OC=OG,/.Z3=ZG,TADBC,/ZG=Z4.TAD二CD,DE二DE,ZADE=ZCDE=45o,ADE今A

6、CDE(SAS)/.Z4=Z1,Z1=Z3./Z1+Z2=90o.即CE丄OC.TZ2+Z3=9Oo,AC丄OA,BD丄OB.CE與厶CFG的外接圓相切又TOA丄AC,OE丄CD,/AC,BD與30相切,方法二：若直線I與。0沒(méi)有已知的公共點(diǎn)，又要證明I是。0的切線，只需作0A丄I,A為垂足，證明0A是。0的半徑就行了，簡(jiǎn)稱：“作垂直；證半徑”（一般用于函數(shù)與幾何綜合題）例仁如圖，AB=AC,D為BC中點(diǎn)，0D與AB切于E點(diǎn).求證：AC與（3D相切.分析：說(shuō)明：證明一是通過(guò)證明三角形全等證明DF=DE的，證明二是利用角平分線的性質(zhì)證明DF=DE的，這類習(xí)題多數(shù)與角平分線有關(guān).例2：已知：如圖，

7、AC,BD與30切于A、B,且ACBD，若ZCOD=9Oo.求證：CD是30的切線.證明一：連結(jié)0A,0B,作0E丄CD,E為垂足.TACBD,/.Z1+Z2+Z3+Z4=18Oo./ZCOD=9Oo,/Z2+Z3=9Oo,Z1+Z4=9Oo./Z4+Z5=9Oo.Z1=Z5./RtAAOCRtABDO.ACOCOBOD/OA=OB,ACOCOAOD又-/ZCAO=ZCOD=9Oo,/.AAOCAODC,Z1=Z2.又/OA丄AC,OE丄CD,OE=OA.E點(diǎn)在O上.CD是0的切線.證明二：連結(jié)OA,0B，作0E丄CD于E,延長(zhǎng)DO交CA延長(zhǎng)線于F.BD/AC,BD與0相切,AC丄OA,BD丄

8、0B./ACBD,ZF=ZBDO.又/OA=OB,AOF今ABOD(AAS)OF=OD./ZCOD=9Oo,CF=CD,Z1=Z2.OE=OA.E點(diǎn)在O上.CD是0的切線.證明三：連結(jié)A0并延長(zhǎng)，作0E丄CD于E,取CD中點(diǎn)F,連結(jié)OF.AC與0相切，AC丄A0.ACBD,AO丄BD.BD與0相切于B,A0的延長(zhǎng)線必經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.AB是0的直徑.TACBD,0A=0B,CF=DF,0FAC,Z1=ZC0F./ZC0D=90o,CF=DF,1OF二一CD二CF-2/Z2=ZCOF./Z1=Z2.TOA丄AC,OE丄CD,OE=OA.E點(diǎn)在O上.CD是O的切線說(shuō)明：證明一是利用相似三角形證明Z1=Z2

9、,證明二是利用等腰三角形三線合一證明Z1二Z2證明三是利用梯形的性質(zhì)證明Z1二Z2,這種方法必需先證明A、O、B三點(diǎn)共線.課后練習(xí)：(1)如圖，AB是0的直徑，BC丄AB,證：CD為0的切線;B如圖，以RtAABC的直角邊AB為直徑作O,交斜邊AC于D，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE,求證：DE是的切線.AEB如圖，以等腰AABC的一腰為直徑作O,交底邊BC于D,交另一腰于F,若DE丄AC于E(或E為CF中點(diǎn))，求證:DeO是閔勺切線EBDC如圖，AB是的直徑，AE平分ZBAF,交于點(diǎn)旦過(guò)點(diǎn)E作直線ED丄AF,交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)羽肅證:CD是的切線./丿f知識(shí)點(diǎn)二：與有關(guān)的計(jì)

10、算計(jì)算圓中的線段長(zhǎng)或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識(shí)的結(jié)合，形式復(fù)雜，無(wú)規(guī)律性。分析時(shí)要重點(diǎn)注意觀察已知線段間的關(guān)系，選擇定理進(jìn)行線段或者角度的轉(zhuǎn)化。特別是要借助圓的相關(guān)定理進(jìn)行弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，找出所求線段與已知線段的關(guān)系，從而化未知為已知，解決問(wèn)題。其中重要而常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法有：構(gòu)造思想：如：構(gòu)建矩形轉(zhuǎn)化線段；構(gòu)建“射影定理”基本圖研究線段(已知任意兩條線段可求其它所有線段長(zhǎng))；射影定理：所謂射影，就是正投影。其中，從一點(diǎn)到一條直線所作垂線的垂足，叫做這點(diǎn)在這條直線上的正投影。一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)在一條直線上的正投影之間的線段，叫做這條線段在這直線上的正投

11、影。由三角形相似的性質(zhì)：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。公式RtAABC中，ZBAC=90,AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：(1)(AD)2；=BDDC,(2)(AB)2；=BDBC,(3)(AC)2；=CDBC。等積式（4）ABXAC二BCXAD（可用面積來(lái)證明）構(gòu)造垂徑定理模型：弦長(zhǎng)一半、弦心距、半徑；構(gòu)造勾股定理模型（已知線段長(zhǎng)度）；構(gòu)造三角函數(shù)（已知有角度的情況）；找不到，找相似（2）方程思想：設(shè)出未知數(shù)表示關(guān)鍵線段，通過(guò)線段之間的關(guān)系，特別是發(fā)現(xiàn)其中的相等關(guān)系建立方程，解決問(wèn)題。（3）建模思想：

12、昔助基本圖形的結(jié)論發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的線段關(guān)系，把問(wèn)題分解為若干基本圖形的問(wèn)題，通過(guò)基本圖形的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結(jié)論，進(jìn)而找出隱藏的線段之間的數(shù)量關(guān)系。典型基本圖型：圖形1：如圖1：AB是（30的直徑，點(diǎn)E、C是（30上的兩點(diǎn)，基本結(jié)論有：（1）在“AC平分ZBAE”；“AD丄CD”；“DC是30的切線”三個(gè)論斷中，知二推一。ABCE的半弦正圖1BA；圖4圖2圖3（2）如圖2、3,DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形在中的條件、中任選兩個(gè)條件，當(dāng)BG丄CD于E時(shí)（如圖5）,則:DE=GB；DC二CG；AD+BG二ABADBG=1DG2二DC24圖形2：如圖：RtZABC中，

13、ZACB=9O。點(diǎn)O是AC上點(diǎn)，以O(shè)C在“BO平分ZCBA”；“BODE”；“AB是00的切線”；“BD二BC”四個(gè)論斷中，知一推三。(2)G是/BCD的內(nèi)=心D；/BCOs/CDE=B0DE二COCE=1CE2；2在圖(1)中的線段BC、CE、AE、AD中，知二求四。如圖(3),若BC=CE,則：蘭=1二tanZADE；BC：AC：AD2AB=3：4：5；(在、中知一推二)設(shè)BE、CD交于點(diǎn)H,則BH=2EH圖形3如圖：RtZABC中，ZABC=9O，以AB為直徑作00交AC于D,基本結(jié)論有：如右圖：(1)DE切00。E是BC的中點(diǎn);若DE切00,則：DE=BE=CE；D、0、B、E四點(diǎn)共圓

14、=ZCED=2ZACDCA=4BE，decdbcRBDBA圖1圖2圖3圖形特殊化：在（1）的條件下如圖1：DEABoZABC、ZCDE是等腰直角三角形;如圖2：若DE的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若AB二BF，則:DE=1；BE二丄EF3RJ2AoBBo圖形4：如圖，么ABC中，AB二AC,以AB為直徑作O,交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)F,基本結(jié)論有：圖1(1)DE丄ACoDE切O；在DE丄AC或DE切0下，有：ZDFC是等腰三角形；BFEF=EC；D是的中點(diǎn)。與基本圖形1的結(jié)論重合。連AD，產(chǎn)生母子三角形。圖形5：以直角梯形ABCD的直腰為直徑的圓切斜腰于E,基本結(jié)論有：如圖1：AD+BC=CD

15、；ZCOD=ZAEB=9O；0D平分ZADC(或0C平分ZBCD)；(注：在、及“CD是00的切線”四個(gè)論斷中，知一推三)ADBC=1ab2=R2；4如圖2,連AE、CO,則有:COAE,COAE=2R2(與基本圖形2重合)如圖3,若EF丄AB于F,交AC于G,則：EG=FG.圖形6：如圖：直線PR丄00的半徑0B于E,PQ切00于Q,BQ交直線PQ于R?；窘Y(jié)論有：(1)PQ=PRQPQR是等腰三角形);圖2BZAIB=90+1ZACB；2圖形8：已知，AB是0的直徑，C是CD、AC中點(diǎn)，CD丄AB于D。BG交在“PR丄OB”、“PQ切00”、“PQ二PR”中，知二推一2PRRE二BRRQ二

16、BE2R二AB2圖形7：如圖，么ABC內(nèi)接于0,IABC的內(nèi)心?；窘Y(jié)論有:(1)如圖1,BD二CD=ID；Dl2=DEDA；D如圖2,若ZBAC=60，則:BD+CE=BC.圖iBBC=CG=AG于E、F?；窘Y(jié)論有：CD=1BG；BE=EF=CE；GF=2DE2BG(反之，由CD二1BG或BE=EF可得：C是中點(diǎn))20E=1AF,0EAC；/0DEs/AGF2BEBG二BDBA若D是0B的中點(diǎn)，則：2CEF是等邊三角形；范例講解:例題1：ABP中，ZABP=9O，以AB為直徑作交AP于C點(diǎn),弧CF=CB，過(guò)C作AF的垂線，垂足為M，MC的延長(zhǎng)線交BP于D.求EFAFb求證：CD為00的切線

17、；連BF交AP于E,若BE=6,EF=2,例題2直角梯形ABCD中，ZBCD=9O,AB=AD+BC,AB為直徑的圓交BC于E,連0C、BD交于F.求證：CD為00的切線若些=3，求竺的值A(chǔ)B5DF例題3：如圖，AB為直徑，PB為切線，點(diǎn)C在00上，AC0P。求證:PC為00的切線。過(guò)D點(diǎn)作DE丄AB,E為垂足，連AD交BC于G,CG=3,DE=4,求DG的值。DB0E例題4(2009調(diào)考)：如圖，已知AABC中，以邊BC為直徑的00與邊AB交于點(diǎn)D,點(diǎn)E為的中點(diǎn)，AF為AABC的角平分線，且AF丄EC。(1)求證：AC與00相切；若AC=6,BC=8，求EC的長(zhǎng)家庭練習(xí):CBD=DE1如圖，

18、RtABC,以AB為直徑作00交AC于點(diǎn)D,過(guò)D作AE的垂線，F(xiàn)為垂足.求證:DF為00的切線;若DF=3,00的半徑為5,求tanBAC的值.AD=DC，尹B(1)求證:EF為的切線;若AC=6,BD=5,求sinE的值2如圖，AB為的直徑，C、D為上的兩點(diǎn),D作直線BC的垂線交直線AB于點(diǎn)E，F(xiàn)為垂足.3.如圖，AB為的直徑，半徑0C丄AB,D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),過(guò)D作00的切線，E為切點(diǎn)，連結(jié)CE交AB于點(diǎn)F.(1)求證:DE=DF；連結(jié)AE,若0F=1,BF=3，求tan4如圖，RtAABC中，ZC=9O,BD平分ZABC,以AB上一點(diǎn)0為圓心過(guò)B、D兩點(diǎn)作O,0交AB于點(diǎn)一點(diǎn)E,EF丄AC于點(diǎn)F.求證：。0與AC相切；若EF=3,BC=4,求tanza的值.5如圖，等腰AABC中，AB=AC,以AB為直徑作0交BC于點(diǎn)D,DE丄AC于E.(1