高中數(shù)學必修二 8.6.1　直線與直線垂直

1、8.6.1直線與直線垂直異面直線所成的角1.思考(1)平面內(nèi)兩條相交直線的夾角是如何定義的?提示平面內(nèi)兩條直線相交所成的4個角中,不大于90的角稱為這兩條直線所成的角(或夾角).(2)兩條相交直線的夾角有什么意義?提示夾角刻畫了平面內(nèi)一條直線相對于另一條直線傾斜的程度.(3)平面幾何中如何定義兩條直線垂直?提示如果兩條直線相交所成的角為90,就稱這兩條直線垂直.(4)空間中兩條直線垂直,一定要相交嗎?提示不一定.如果兩條異面直線所成的角是直角,就稱這兩條直線垂直.(5)空間兩條直線所成角的范圍是什么?空間兩條異面直線所成角的范圍呢?提示空間兩條直線所成角的范圍是090,兩條異面直線所成角的范圍

2、是090.2.填空兩條異面直線所成的角(或夾角)3.做一做在正方體ABCD-A1B1C1D1中,BAE=25,則異面直線AE與B1C1所成的角的大小為.答案:65解析:B1C1BC,AEB為異面直線AE與B1C1所成的角.BAE=25,AEB=65.探究隨堂演練求異面直線所成的角例題如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1B1,B1C1的中點,求異面直線DB1與EF所成角的大小.分析先作出角,再證明角的兩邊分別與兩異面直線平行,最后在三角形中求角.探究隨堂演練解法一如圖,連接A1C1,B1D1,并設(shè)它們相交于點O,取DD1的中點G,連接OG,則OGB1D,EFA1C1.GO

3、A1為異面直線DB1與EF所成的角或其補角.GA1=GC1,O為A1C1的中點,GOA1C1.異面直線DB1與EF所成的角為90.探究隨堂演練解法二如圖,連接A1D,取A1D的中點H,連接HE,則HEDB1,且HE= DB1.于是HEF為異面直線DB1與EF所成的角或補角.HF2=EF2+HE2,HEF=90,異面直線DB1與EF所成的角為90.圖 探究隨堂演練解法三如圖,在原正方體的右側(cè)補上一個全等的正方體,連接B1Q,則B1QEF.于是DB1Q為異面直線DB1與EF所成的角或其補角.通過計算,不難得到:B1D2+B1Q2=DQ2,從而異面直線DB1與EF所成的角為90.探究隨堂演練反思感悟

4、 求兩條異面直線所成的角是立體幾何中的重要題型之一,而求它的常用方法是空間問題平面化.(1)具體地,求兩條異面直線所成角的一般步驟是:構(gòu)造:恰當?shù)剡x擇一個點(線段的端點或中點),用平移法構(gòu)造異面直線所成的角;證明:證明中所作出的角就是所求異面直線所成的角或其補角;計算:通過解三角形等知識,求出中所構(gòu)造的角的大小;結(jié)論:假如所構(gòu)造的角的大小為,若090,則即為所求異面直線所成角的大小;若90180,則180-即為所求.探究隨堂演練(2)作出異面直線所成的角,可通過多種方法平移產(chǎn)生,主要有三種方法:直接平移法(可利用圖中已有的平行線);中位線平移法;補形平移法(在已知圖形中,補作一個相同的幾何體,

5、以便找到平行線).探究隨堂演練延伸探究若把“直線DB1”換為“直線DC1”呢?解:如圖,連接A1C1,A1D.在A1B1C1中,A1E=EB1,C1F=FB1,所以EFA1C1.所以A1C1D為直線DC1與EF所成的角.在A1C1D中,A1D=DC1=A1C1,所以A1C1D=60,所以直線DC1與EF所成的角等于60.探究隨堂演練1.經(jīng)過空間一點P作與直線a成60角的直線,這樣的直線有()A.0條B.1條C.有限條D.無數(shù)條答案:D解析:這些直線可以是以P為頂點,以過點P且平行于a的直線為軸的圓錐的母線所在的直線,有無數(shù)條直線.探究隨堂演練2.分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關(guān)系是 ()A.一定平行B.一定相交C.一定異面D.相交或異面答案:D解析:畫出圖形,得到結(jié)論.如圖,分別與異面直線a,b平行的兩條直線c和d是相交關(guān)系.如圖,分別與異面直線a,b平行的兩條直線c和d是異面關(guān)系.綜上可知,應(yīng)選D.探究隨堂演練3.如圖,正方體ABCD-A