高中數(shù)學(xué)必修二 8.6 空間直線平面的垂直-同步培優(yōu)專練

1、專題8.6空間直線平面的垂直知識(shí)儲(chǔ)備1.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果一條直線l與平面內(nèi)的任意直線都垂直，就說直線l與平面互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq blc rc(avs4alco1(la,lb,abO,a,b)l性質(zhì)定理 兩直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行eq blc rc(avs4alco1(a,b)ab2.直線和平面所成的角(1)定義：一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行

2、或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0的角.(2)范圍：.3.二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范圍：0，.4.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直eq blc rc(avs4alco1(l,l)性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，則在一個(gè)平

3、面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面eq blc rc(avs4alco1(,a,la,l)l5.平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a，a，則.(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行，即若，則.(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若a，b，則ab.6平行關(guān)系中的兩個(gè)重要結(jié)論(1)若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個(gè)重要方法).7.使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，就垂直于這個(gè)平面”能力檢測(cè)注意事

4、項(xiàng)：本試卷滿分100分，考試時(shí)間45分鐘，試題共16題答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置 一、單選題1（2020湖北武漢市高二期中）在正四面體中，側(cè)棱，的中點(diǎn)，下列說法不正確的是（ ）A面B面面C面面D面【答案】B【解析】對(duì)于A，如圖，分別是，的中點(diǎn)，平面，平面，平面，故A正確，不符合題意； 對(duì)于B，如圖，連接交于，連接，則可得，假設(shè)平面平面，平面平面，則需滿足平面，即，在中，是中點(diǎn)，但，故和不垂直，矛盾，故B錯(cuò)誤，符合題意； 對(duì)于CD，如圖，在，是的中點(diǎn)，平面，是中點(diǎn)，平面，平面，平面平面，故CD正確，不符合題意.故選：B.2（2020山西高二

5、期中）如圖，在三棱錐中，不能證明的條件是（ ）A平面B，C，D，平面平面【答案】B【解析】A. 因?yàn)槠矫?，平面，所以，故正確；B. 因?yàn)?，則PC為BC，AP的公垂線，若，則平面，所以，不一定成立，故錯(cuò)誤；C. 因?yàn)?，?，所以平面，所以，故正確；D. ，平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，故正確；3（2020寧夏銀川市銀川一中高三月考（文）如圖所示，在長方體，若，、分別是、 的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中不成立的是（ ）A與垂直B平面C與所成的角為D平面【答案】C【解析】連接、，則為的中點(diǎn)，對(duì)于A選項(xiàng)，平面，平面，、分別為、的中點(diǎn)，則，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，四邊形為正方形，則，又，平面，平面，B

6、選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，易知為等腰三角形，則與所成的角為，始終是銳角，而，不可能成立C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，平面，平面，平面，D選項(xiàng)正確.故選：C4（2020廣東佛山市佛山一中高二月考）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)E是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面交棱于點(diǎn)則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）A存在點(diǎn)E，使得平面B存在點(diǎn)E，使得平面C對(duì)于任意的點(diǎn)E，平面平面D對(duì)于任意的點(diǎn)E，四棱錐的體積均不變【答案】B【解析】當(dāng)E為的中點(diǎn)時(shí)，則F也為的中點(diǎn)，平面；故A為真命題；假設(shè)平面，則在平面和平面上的射影，分別與BE，BF垂直，可得E與重合，F(xiàn)與重合，而B，四點(diǎn)不共面，不存在這樣的點(diǎn)E，故B為假命題平面，平面，平面平面，故C是真命題

7、；，平面，四棱錐的體積為定值，故D是真命題故選：B5（2020上海黃浦區(qū)格致中學(xué)高三期中）已知平面，直線，滿足，且互為異面直線，則“且”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】C【解析】充分性：互為異面直線，且，則內(nèi)必存在兩條相交直線，使得，若且，則且，故充分性成立；必要性：互為異面直線，且，則內(nèi)必存在兩條相交直線，使得，若，則且，且，故必要性成立，“且”是“”的充要條件.故選：C.6（2020陜西咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二月考（文）下列命題錯(cuò)誤的序號(hào)是（ ）如果平面內(nèi)存在一條直線和平面外的一條直線平行，則 ；如果平面內(nèi)存在一條直線和平面垂直，則；如果一條

8、直線和平面內(nèi)的任意一條直線垂直，則；如果平面內(nèi)存在一條直線和平面平行，則ABCD【答案】C【解析】命題是線面平行的判定定理，正確；命題是面面垂直的判定定理，正確；命題是線面垂直的定義，正確；命題錯(cuò)誤，平面內(nèi)兩條相交直線都和平面平行，則；故選：C.二、多選題7（2020河北唐山市開灤第二中學(xué)高二期中）如圖，在三棱錐中，且是斜邊的等腰直角三角形，給出下列結(jié)論中，正確的是（ ）AB平面C平面平面D點(diǎn)到平面的距離為【答案】ABC【解析】由于，平面,，所以平面，所以，故選項(xiàng)正確；前面已經(jīng)證明平面，平面，所以平面平面，所以選項(xiàng)正確；因?yàn)?，平面，所以平面，故選項(xiàng)正確；取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫?故平面，則

9、的長度即為點(diǎn)到平面的距離，而，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC8（2020福建龍巖市高二期中）設(shè)，表示三條不同的直線，表示三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的是（ ）A若，則；B若，則；C若，為異面直線，則；D若，則【答案】AC【解析】對(duì)于A，若，由空間線面的性質(zhì)定理可知，正確；對(duì)于B，若，因?yàn)橛锌赡茉谄矫鎯?nèi)，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，若為異面直線，根據(jù)面面平行的判定定理可得，故正確；對(duì)于D，若，則可能，故錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題9（2020全國高三專題練習(xí)（文）如圖所示，正方體的棱長為，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).，且，則下列結(jié)論中正確的序號(hào)是_.；平面；三棱錐的體積為定值；的面積與的面積相等.【答案】【解析】

10、對(duì)于，由題意及圖形知，平面，故可得出，故正確，對(duì)于，由正方體的兩個(gè)底面平行，在其一面上，故與平面無公共點(diǎn)，故有EF平面ABCD，故正確，對(duì)于，由幾何體的性質(zhì)及圖形知，三角形的面積是定值，點(diǎn)到面的距離等于 BD的一半，故可得三棱錐的體積為定值，故正確，對(duì)于，由圖形可以看出，到線段的距離與到的距離不相等，故的面積與的面積相等不正確，故錯(cuò)誤，正確命題的序號(hào)是.故答案為：10（2020浙江杭州市高一期末）一副三角板由一塊有一個(gè)內(nèi)角為60的直角三角形和一塊等腰直角三角形組成，如圖所示，現(xiàn)將兩塊三角形板拼接在一起，得三棱錐，取BC中點(diǎn)O與AC中點(diǎn)M，則下列判斷中正確的是_（填正確判斷的序號(hào)）直線BC面OF

11、M；AC與面OFM所成的角為定值；設(shè)面面MOF，則AB；三棱錐的體積為定值【答案】【解析】由OM為ABC的中位線可得OMAB，則，且OMOF=O，可得BC面OFM，故正確；由BC面OFM，可得AC與平面OFM所成角為CMO，而，故正確;如圖，可過F在平面OMF內(nèi)作直線，而，所以 AB ，l為平面OMF和平面ABF的交線，故正確；在三棱錐中，平面OMF，由于CO為定值，OMF的面積不為定值，所以三棱錐 體積不為定值，故錯(cuò)誤.故選：11（2020云南省玉溪第一中學(xué)高二期中（理）九章算術(shù)中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”；四

12、個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”.如圖在塹堵中，且.下述四個(gè)結(jié)論正確結(jié)論的編號(hào)是_.四棱錐為“陽馬”四面體為“鱉臑”過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則四棱錐體積最大為【答案】【解析】對(duì)于：因?yàn)闉閴q堵，所以側(cè)棱平面，所以，又，所以平面，滿足“陽馬”的定義：一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，所以四棱錐為“陽馬”，故正確；對(duì)于：因?yàn)榈酌妫?，即為直角三角形，同理也為直角三角形，由可得平面，所以，即為直角三角形，因?yàn)榈酌?，所以又因?yàn)椋?所以平面，所以，即為直角三角形，所以四面體的四個(gè)面全為直角三角形，即四面體為“鱉臑”，故正確；對(duì)于：由可得平面，平面,所以，又，所以平面，所以，又，所以平面AEF，所以，故正確

13、；對(duì)于：設(shè)，則矩形的面積為，在中，所以四棱錐體積，故錯(cuò)誤，故答案為：四、雙空題12（2020浙江寧波市寧波諾丁漢附中高二月考）如圖，點(diǎn)為正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點(diǎn)，則_（用“， 相交 【解析】（1）設(shè)正方形的邊長為2，如圖，過作，由為正三角形得，為中點(diǎn)，連接，過作于，連接，故有，由為中點(diǎn)，可得，故，因?yàn)槠矫嫫矫?，由，面，所以，面，面，所以，和為直角三角形，又由為正三角形，所以，所以，由為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，所以，在中，而中，故；故答題空1為：（2）如圖，連接，因?yàn)辄c(diǎn)為正方形的中心，故、三點(diǎn)共線，所以，為中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，所以，在中，與共面，故由已知條件可得，與在面內(nèi)相交

14、故答題空2為：相交五、解答題13（2020云南省硯山縣第一中學(xué)高二月考）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，是棱PD的中點(diǎn)，且，（1）求證：面； （2）求二面角的大小；【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以；又，所以，則；又底面為平行四邊形，所以，則，又，平面，平面，所以面；（2）由（1）可得：，兩兩垂直；以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如下，因?yàn)?，所以，因?yàn)槭抢釶D的中點(diǎn)，所以，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，所以，不妨令，則，又平面，不妨取為平面的一個(gè)法向量，所以，因?yàn)槎娼秋@然為銳角，記作，則，所以，即二面

15、角的大小為.14（2020河南新鄉(xiāng)市高三一模（文）如圖，在四棱柱中，底面是以，為底邊的等腰梯形，且，.（1）證明：.（2）若，求四棱柱的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明：在中，由余弦定理得，則，即，而，故平面，又平面，.（2）解：如圖所示：取的中點(diǎn)，連接， 由（1）可知：平面，平面， 平面平面，由于，故平面，即為四棱柱的高，又，由知：梯形的高，梯形的面積為，故.15（2020全國高三其他模擬（文）四面體中，平面平面，是邊長為1的等邊三角形，且長為，設(shè)中點(diǎn)為，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，且分別為，的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求四面體的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，分別為，的中點(diǎn)，所以，所以，同理可得，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）由（1）可知，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故到?/p>