復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法

1、復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法浙江省諸暨市學(xué)勉中學(xué)(311811)郭天平一、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷：設(shè)yf(x),ug(x),xea,b,uem,n都是單調(diào)函數(shù)，則y=fg上也是單調(diào)函數(shù)。若yf(x)是m,n上的增函數(shù)，則y=fgG)與定義在a,b上的函數(shù)u=g(x)的單調(diào)性相同。若yf(x)是m,n上的減函數(shù)，則y=單調(diào)性相同。即復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：當(dāng)內(nèi)外層函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí),則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)內(nèi)外層函數(shù)的單調(diào)性相反時(shí),則復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)。簡(jiǎn)而言之“同為增，異為減”。二、復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解步驟:求復(fù)合函數(shù)的定義域；把復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)常見(jiàn)的基本函數(shù)；分別判定常見(jiàn)的基本函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的單調(diào)性

2、；由復(fù)合函數(shù)的增減性判斷方法，寫出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.1例1.求函數(shù)y的單調(diào)區(qū)間x2解：由x2豐0，得x0令tx2(t0)，則y1y1在(0,+s)上為減函數(shù)tt而tx2在(-8,0)上為減函數(shù)，在(0,+s)上是增函數(shù)；由“同增異減”可得，函數(shù)yx2在(一2,0)上為增函數(shù)，在(0,+8)上為減函數(shù)。例2求函數(shù)yx2-4x+3的單調(diào)區(qū)間.解：由x2-4x+30nx3函數(shù)的定義域是(一8,1U3,+8).1令ux2-4x,3，貝0yu2yu2在b,+）是增函數(shù)，而u在（-,1上是減函數(shù)，在b,燉）上是增函數(shù)；由“同增異減”得，函數(shù)的增區(qū)間是3,+）,函數(shù)的減區(qū)間是（-,1例3已知f(X)8+2

3、xx2,試確定y=f(2x2)的單調(diào)區(qū)間.解：令t2x2，則yf(t8,2tt2(t12,9，得fC)在(,1上為增函數(shù)，在k+)上為減函數(shù)；由t2x21，解得x1，由t2x21，解得1x1；而函數(shù)t在（-,一1和L1,0上是增函數(shù)，在b,1和1,+）上是減函數(shù)；由復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法得，g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-,-1和b,1,g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為1,+）和匸1,0.例4若函數(shù)f（x）在（-,+）上是減函數(shù)，試判斷yfCx-x2）的單調(diào)區(qū)間。解：原函數(shù)的定義域?yàn)镽令u2xx2，貝yyfC）,函數(shù)f（x）在（,+）上是減函數(shù)，而u2xx2在（-,1上是增函數(shù)，在1,+）上為減函數(shù)，在（-,1上為減函數(shù)，在1,+）上為增函數(shù)，即原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（-8,1，單調(diào)增區(qū)間為1,+）.評(píng)注：復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間是一個(gè)難點(diǎn)，我們應(yīng)明確單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集，當(dāng)求單調(diào)區(qū)間時(shí)，必須先求出原復(fù)合函數(shù)的定義域，再根據(jù)基本函數(shù)的單調(diào)性與“同為增，異為減”的原貝判斷復(fù)合函數(shù)的單