線性代數(shù)教案23

1、齊次線性方程組的通解對(duì)于齊次線性方程組當(dāng)系數(shù)矩陣的秩R(A)=r=n時(shí)，方程組有惟一解；當(dāng)系數(shù)矩陣的秩R(A)=r設(shè) 的秩為r，最大線性無(wú)關(guān)組為 只要證明 的最大線性無(wú)關(guān)組也是最大無(wú)關(guān)組的判斷方法=設(shè) 與 的秩都是r，且的最大線性無(wú)關(guān)組為假設(shè) 不能由 線性表示，則 也不能由線性表示，從而 線性無(wú)關(guān)，于是的秩r+1，矛盾7 方程組有解 能由 線性表示 與 的秩相等 R(B)=R(A)定理 矩陣的秩等于它的行（列）向量組的秩.增廣矩陣B由 作為列向量組成，因此R(B)等于 的秩；系數(shù)矩陣A由 作為列向量組成，因此R(A)等于 的秩。8非齊次方程組有多少解？R(B)R(A)時(shí)，無(wú)解；R(B)=R(A

2、)時(shí)，若|A|0，則方程組有惟一解； 若|A|0，則方程組有多個(gè)解；非齊次方程組的無(wú)窮多個(gè)解有什么關(guān)系？9非齊次方程組的無(wú)窮多個(gè)解有什么關(guān)系？非齊次線性方程組與對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組解之間的關(guān)系：1. x和y是非齊次方程組的解，則x-y是齊次方程組的解；2. x是非齊次方程組的解，y是齊次方程組的解，則x+y是非齊次方程組的解；3. x是非齊次方程組的一個(gè)解（稱為特解），則非齊次方程組的任何一個(gè)解都可以表示為x+y，其中y是齊次方程組的某個(gè)解.定理：把非齊次線性方程組的任意一個(gè)特解加到對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的每個(gè)解上，就得到非齊次線性方程組的全部解.定理 設(shè) 是齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系， 是非齊次

3、方程組的一個(gè)特解，則非齊次方程組的通解為10例題：解線性方程組(1)(2)(3)11(4)12練習(xí)P63習(xí)題二2.72.12（5）2.13（4）（5）13小結(jié)齊次線性方程組的解的情況：系數(shù)矩陣的秩=未知數(shù)個(gè)數(shù)方程組有惟一解；系數(shù)矩陣的秩未知數(shù)個(gè)數(shù)方程組有無(wú)窮多解.非齊次線性方程組的解的情況：系數(shù)矩陣的秩增廣矩陣的秩方程組無(wú)解；系數(shù)矩陣的秩=增廣矩陣的秩=未知數(shù)個(gè)數(shù)方程組有惟一解；系數(shù)矩陣的秩=增廣矩陣的秩未知數(shù)個(gè)數(shù)方程組有無(wú)窮多解.非齊次線性方程組的全部解就是相應(yīng)的齊次線性方程組的全部解加上非齊次線性方程組的一個(gè)特解.問(wèn)題：如何判斷系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩是否相等？14作業(yè)課本P63習(xí)題二2

4、.52.1115本章內(nèi)容小結(jié)本章內(nèi)容是關(guān)于向量的線性相關(guān)性、矩陣的秩與線性方程組的解的情況.矩陣的秩與線性方程組的解的關(guān)系齊次線性方程組的解的情況：系數(shù)矩陣的秩=未知數(shù)個(gè)數(shù)方程組有惟一解；系數(shù)矩陣的秩未知數(shù)個(gè)數(shù)方程組有無(wú)窮多解.非齊次線性方程組的解的情況：系數(shù)矩陣的秩增廣矩陣的秩方程組無(wú)解；系數(shù)矩陣的秩=增廣矩陣的秩=未知數(shù)個(gè)數(shù)方程組有惟一解；系數(shù)矩陣的秩=增廣矩陣的秩n時(shí)， m個(gè)n維向量線性相關(guān)；mn時(shí)， m個(gè)n維向量線性無(wú)關(guān)由它們組成的mn矩陣A的秩R(A)=m；m個(gè)n維向量線性相關(guān)由它們組成的mn矩陣A的秩R(A)m.m=n時(shí)，n個(gè)n維向量線性無(wú)關(guān)由它們組成的nn矩陣A的秩R(A)=nA

5、為滿秩矩陣|A| 0； n個(gè)n維向量線性相關(guān)由它們組成的nn矩陣A的秩R(A)nA為降秩矩陣|A|=0.向量組的秩=向量組所成矩陣的秩=向量組中最大無(wú)關(guān)組中向量的個(gè)數(shù).17向量線性相關(guān)性的判斷判斷向量組 線性相關(guān)性時(shí)考慮方程的解的情況：方程有惟一的解（零解）向量組線性無(wú)關(guān)；方程有無(wú)窮多解（有零解有非零解）向量組線性相關(guān).矩陣秩的求法用初等行變換化為行階梯矩陣，非零行數(shù)就是矩陣的秩.線性方程組的解法化增廣矩陣為行階梯矩陣，得到化簡(jiǎn)后的方程組，解之.18正是由于上述關(guān)系，本部分題目解法更多更靈活.例如：矩陣秩的問(wèn)題向量組的秩的問(wèn)題向量組的最大無(wú)關(guān)組的問(wèn)題向量組的線性相關(guān)性線性方程組的解的情況19返回20返回21由于系數(shù)矩陣的秩為2而增廣矩陣的秩為3，故此方程組無(wú)解.返回22定理：設(shè)有向量組T，如果(1)在T中有r個(gè)向量 線性無(wú)關(guān)；(2)T中任意一個(gè)向量 都可以由向量組 線性表示，則 是向量組T的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.判斷最大無(wú)關(guān)組的方法定義：設(shè)有向量組T，如果(1)在T中有r個(gè)向量 線