分析動力學(xué)基礎(chǔ)

1、分析動力學(xué)基礎(chǔ)1第1頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一動力學(xué)普遍方程拉格朗日方程拉格朗日方程的首次積分2022/9/32第2頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一運用矢量力學(xué)分析非自由質(zhì)點系，必然會遇到約束力多，方程數(shù)目多，求解煩瑣，能否建立不含未知約束力的動力學(xué)方程？將達朗貝爾原理與虛位移原理相結(jié)合，建立動力虛功方程，廣義坐標化，能量化，化為第二類拉氏方程，實現(xiàn)用最少數(shù)目方程，描述動力系統(tǒng)。2022/9/33第3頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一 一. 方程的一般形式動力學(xué)普遍方程或達朗貝爾拉格朗日原理理想約束，不論約束完整

2、，定常與否均適用9-1 動力學(xué)普遍方程2.直角坐標形式：1.矢量形式：2022/9/34第4頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一3.廣義坐標形式設(shè)完整約束系統(tǒng)有K個自由度，可取 廣義坐標.廣義主動力廣義慣性力注意: 包含了慣性力虛功!2022/9/35第5頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一例1 圖示為離心式調(diào)速器已知：m1, m2 , l , ,求：() 的關(guān)系。BACllll答：m1gm2gm1g2022/9/36第6頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一例2 已知求a?答:2022/9/37第7頁，共45頁，2022年，5月

3、20日，10點30分，星期一2022/9/38第8頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一例3 已知重量 輪純滾,水平面光滑,求三棱柱加速度。2022/9/39第9頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一解:加慣性力，受力如圖。選 廣義坐標。由有即 (a)又由 有2022/9/310第10頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一式(a)代入(b),可得令 時，牽連慣性力 并不為零； 令 時，相對慣性力 并不為零，兩者相互獨立。(b)即注意:2022/9/311第11頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一 例4 均質(zhì)圓柱1

4、與薄壁圓筒2用繩相連，并多圈纏繞圓筒(繩與滑輪A的重量不計)。已知 試求運動過程中輪心C與輪心O的加速度大小。 圖(a)2022/9/312第12頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一圖(b)取兩輪轉(zhuǎn)角 為廣義坐標，其受力與運動分析，如圖(b)所示，令 ，由(a)有 (b)解:自由度k=22022/9/313第13頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一將式(a)及代入(b)式，得(c)再令由有 聯(lián)立 (c)和(d)式，可得即(d)圖(b)2022/9/314第14頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一1.本題中如何求繩的張力及圓柱純滾

5、的條件?2.用動力學(xué)普遍定理如何求解?3.計入滑輪A質(zhì)量,結(jié)果有何變化?圖(b)思考2022/9/315第15頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一 不便計算，拉格朗日方程利用兩個經(jīng)典微分關(guān)系。將 能量化 從而導(dǎo)出拉氏方程。 9-2 拉格朗日方程對于完整的約束系統(tǒng)，動力學(xué)普遍方程的廣義坐標形式為1) “同時消點”2) “交換關(guān)系”（求導(dǎo)） 2022/9/316第16頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一一、拉氏方程的一般形式第二類拉氏方程，以t為自變量， 為未知函數(shù)的二階常微分方程組，2k個積分常量，須2k個初始條件2022/9/317第17頁，共45頁

6、，2022年，5月20日，10點30分，星期一OARrM例1 均質(zhì)桿OA質(zhì)量為m1、可繞軸O轉(zhuǎn)動,大齒輪半徑為R，小齒輪質(zhì)量為m2，半徑為r ，其上作用一常力偶M，設(shè)機構(gòu)處于水平面。求：該桿的運動方程。答：2022/9/318第18頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一例2 已知： m1 , m2 , R, f , F 。 求： 板的加速度a。FCR答：Oxx2022/9/319第19頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一解:本系統(tǒng)為完整約束，主動力非有勢，采用基本形式的拉氏方程求解。 例. 如圖所示，鉸盤半徑為R，轉(zhuǎn)動慣量為J，其上作用力偶矩為M的力偶

7、，重物質(zhì)量分別為 不計摩擦與滑輪質(zhì)量，求鉸盤的角加速度 判斷系統(tǒng)的自由度，取廣義坐標。 本題中， ，取 為廣義坐標，2022/9/320第20頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一計算系統(tǒng)的T與 則有2022/9/321第21頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一代入拉氏方程，得系統(tǒng)的運動微分方程。代入 中，得(a)代入 中，得(b)解方程，求加速度。，得 2022/9/322第22頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一二、勢力場中的拉氏方程 若主動力有勢 則有 引入拉格朗日函數(shù) 注意到2022/9/323第23頁，共45頁，2022

8、年，5月20日，10點30分，星期一例. 圖示兩均質(zhì)圓輪沿斜面純滾，均質(zhì)桿AB與兩輪心鉸接。已知 試求系統(tǒng)微振動微分方程及圓頻率 。 2022/9/324第24頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一，代入拉氏方程 中，有 解:系統(tǒng)自由度為1。取輪心B沿斜面位移x為廣義坐標。平衡位置為零勢能位置，則任意x位置時，系統(tǒng)的拉氏函數(shù): 2022/9/325第25頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一與簡諧振動微分方程 對比可知振動圓頻率 即 為所求微分方程。 2022/9/326第26頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一 例 與剛度為 k

9、的彈簧相連的滑塊A，質(zhì)量為m1,可在光滑水平面上滑動?；瑝KA上又連一單擺，擺長l ，擺錘質(zhì)量為m2 ，試列出該系統(tǒng)的運動微分方程。答：2022/9/327第27頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一例如圖所示，物A重為，物B重為，彈簧剛度系數(shù)為k，其O端固定于物A上，另一端與物B相連。系統(tǒng)由靜止開始運動，不計摩擦與彈簧質(zhì)量，且彈簧在初瞬時無變形，試求運動中物A的加速度。 2022/9/328第28頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一解：系統(tǒng)處于勢力場中，自由度為2，取A的絕對位移 ，B的相對位移 (彈簧的絕對伸長量)為廣義坐標。取系統(tǒng)的初始位置為零勢能

10、位置。在任意時刻t,2022/9/329第29頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一將以上各項代入下列拉氏方程得 (a)(b)2022/9/330第30頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一由式(a)和式(b)消去 ，得 (c)其中由式(c)解得由 時， ，得 故(d) 2022/9/331第31頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一將式(d)代入式(c)，再將式(c)和(d)代入式(b)得率為 。 順便指出，由式(c)和(d)可知，物B相對于物A作在常力作用下的簡諧振動，其振幅為 ，固有頻2022/9/332第32頁，共45頁，20

11、22年，5月20日，10點30分，星期一思考：本題中，a)如何求A，B兩物塊所受光滑面的約束力? b)若初瞬時彈簧有一初始伸長 結(jié)果有何變化? c)試用質(zhì)心運動定理和動能定理求解本例，并比較各種方法特點。2022/9/333第33頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一9.3 拉格朗日方程的初積分 拉氏方程是關(guān)于廣義坐標的二階非線性常微分方程,尋求其解析解通常是十分困難的。但對于保守系統(tǒng)，在某些條件下，可經(jīng)首次積分降為一階，從而使得保守系統(tǒng)動力學(xué)問題的求解過程進一步簡化。且具有明顯的物理意義。 循環(huán)坐標如果拉格朗日函數(shù)L中不顯含某一廣義坐標 qr , 則該坐標稱為系統(tǒng)的循環(huán)坐

12、標。 一、廣義動量積分 保守系統(tǒng)拉格朗日方程的初積分包括：廣義動量積分、廣義能量積分。2022/9/334第34頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一于是拉氏方程成為稱為循環(huán)積分稱為廣義動量，因此循環(huán)積分也可稱為系統(tǒng)的廣義動量積分。保守系統(tǒng)對應(yīng)于循環(huán)坐標的廣義動量守恒。 2022/9/335第35頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一二. 廣義能量積分廣義能量積分 保守系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)不顯含時間t 時，保守系統(tǒng)的廣義能量守恒。 當(dāng)系統(tǒng)約束為定常時，系統(tǒng)的廣義能量積分式就是系統(tǒng)的機械能守恒。2022/9/336第36頁，共45頁，2022年，5月20日，

13、10點30分，星期一 一個系統(tǒng)循環(huán)積分可能不止一個，有幾個循環(huán)坐標，便有幾個相應(yīng)的循環(huán)積分；但能量積分只可能有一個。 循環(huán)積分和能量積分都是由保守系統(tǒng)拉格朗日方程積分一次得到的，它們都是比拉格朗日方程低一階的微分方程。2022/9/337第37頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一例 質(zhì)量為m半徑為r的圓環(huán)在圓心A上鉸接一長度為l 質(zhì)量亦為m的單擺B如圖示。試就以下兩種情況討論其拉格朗日方程的初積分：（1）圓環(huán)作純滑動；（2）圓環(huán)作純滾動。 答：(1) 圓環(huán)作純滑動 AxO(2) 圓環(huán)作純滾動 2022/9/338第38頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星

14、期一例 均質(zhì)輪與均質(zhì)桿質(zhì)量均為m，輪半徑為r，桿長 l。若桿由水平靜止釋放，輪純滾。求 時 及 。選x和為廣義坐標。2022/9/339第39頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一故有循環(huán)積分， 常數(shù)(初始為0)又約束定常、完整、理想、且系統(tǒng)保守。即 (b) x方向廣義動量守恒，并非系統(tǒng)x方向動量守恒。故常數(shù)2022/9/340第40頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一時，(a)，(b)兩式為解之得1. 若接觸平面光滑(f=0)，結(jié)果如何?2. 若左邊連接一水平彈簧(k)，結(jié)果又如何?3.能否用動力學(xué)普遍定理求解?2022/9/341第41頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一例3 如圖所示，質(zhì)量為m，半徑為r的勻質(zhì)輪在質(zhì)量為 、半徑為R的薄壁筒內(nèi)無滑動地滾動，設(shè)OC與重力方向夾角為 ，起始 時系統(tǒng)靜止。試求運動中圓筒轉(zhuǎn)角 與 的關(guān)系。 2022/9/342第42頁，共45頁，2022年，5月20日，10點30分，星期一系統(tǒng)保守且約束完整、定常，自由度為2，取 與 為廣義坐標。設(shè)圓輪角速度為 ，由 ，有 。 因L不含 ( 為循環(huán)坐標)，故相應(yīng)的廣義動量守恒，并考慮到 時， 設(shè)O為零勢能位置，系統(tǒng)動勢為2022/9/