小學滲透數(shù)學思想方法的實踐與思考

1、小學滲透數(shù)學思想方法的實踐與思考對于數(shù)學思想、數(shù)學方法、數(shù)學思想方法，目前都還沒有形成精確的定義一般認為，數(shù)學方法是指在解決數(shù)學問題和數(shù)學地解決問題的過程中所采用的途徑、程序和手段數(shù)學思想是指數(shù)量關(guān)系與空間形式反映在人的意識中經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果，是對數(shù)學知識和方法的本質(zhì)認識，是對數(shù)學規(guī)律的理性認識可以看出，“數(shù)學方法是數(shù)學思想的表現(xiàn)形式和得以實現(xiàn)的手段，方法指向?qū)嵺`；而數(shù)學思想是數(shù)學方法的靈魂，它指導(dǎo)方法的運用”，“數(shù)學思想具有概括性和普遍性，而數(shù)學方法則具有操作性和具體性；數(shù)學思想比數(shù)學方法更深刻、更抽象地反映數(shù)學對象問的內(nèi)在關(guān)系，是數(shù)學方法進一步的概括與升華”數(shù)學思想與數(shù)學方法既有明

2、顯的區(qū)別，更有緊密的聯(lián)系其聯(lián)系正如前蘇聯(lián)數(shù)學教育家弗利德曼所言：“任何一種思想都是在科學的個別方法中在認識和實踐中獲得一定的結(jié)果的方法中，在理論方面和實踐方面體現(xiàn)出來”圓但是，“從數(shù)學教育的角度來看，區(qū)分數(shù)學思想與數(shù)學方法可能沒有太大意義，哪個是方法，哪個是思想，非去做一番考證和辨析大可不必”既然如此，我們完全可以在概念的區(qū)分上注重其實質(zhì)，而適當?shù)湫问?，不如將在小學數(shù)學教學中滲透的數(shù)學思想、數(shù)學方法，在不便區(qū)分是思想還是方法、不必區(qū)分是思想還是方法時，統(tǒng)一稱之為數(shù)學思想方法，如分類思想方法、轉(zhuǎn)化思想方法。關(guān)于數(shù)學思想方法的重要性，“很早就有這樣的認識：學習數(shù)學不僅要學習它的知識內(nèi)容，而且要

3、學習它的精神、思想和方法掌握基本數(shù)學思想方法能使數(shù)學更易于理解與記憶，領(lǐng)會數(shù)學思想方法是通向遷移大道的光明之路”結(jié)合小學數(shù)學的具體內(nèi)容滲透數(shù)學思想方法，不僅能使小學生更好地理解和掌握數(shù)學內(nèi)容，更有利于小學生感悟數(shù)學思想方法，初步理解數(shù)學內(nèi)容的精神，感受數(shù)學科學的精髓，幫助他們學習用數(shù)學的眼光看待世界，初步學會思維，發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)教育部2001年7月頒發(fā)的全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準(實驗稿)在課程“總體目標”中要求通過義務(wù)教育階段的數(shù)學學習，學生能夠“獲得適應(yīng)未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學知識(包括數(shù)學事實、數(shù)學活動經(jīng)驗)以及基本的數(shù)學思想方法和必要的應(yīng)用技能”，第一次將“基本的數(shù)學思想

4、方法”作為學生數(shù)學學習的目標之一，改變了長期形成的“雙基”(數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能)教與學的目標在“課程實施建議”中多次提出，要根據(jù)小學生已有經(jīng)驗、心理發(fā)展規(guī)律以及所學內(nèi)容的特點，采用逐步滲透、螺旋上升的方式，引導(dǎo)學生感悟數(shù)學思想方法基于“全面知識”的數(shù)學觀和教學觀，數(shù)學課程重視數(shù)學思想方法，關(guān)注學生在數(shù)學學習過程中對數(shù)學思想方法的感悟，更加關(guān)注的是數(shù)學思想方法本身，而不僅僅是通過滲透數(shù)學思想方法加深學生對數(shù)學基礎(chǔ)知識的理解新目標不僅關(guān)注顯性的“雙基”，而且關(guān)注隱性的數(shù)學思想方法，注重“雙基”與數(shù)學思想方法的結(jié)合，使二者相互促進形成有機整體，這并不是對傳統(tǒng)特色的否定，而恰恰是對數(shù)學教學“雙基”

5、特色的繼承和發(fā)展實現(xiàn)這一目標，需要在數(shù)學教學活動中，繼續(xù)促進學生理解基礎(chǔ)知識、掌握基本技能，同時啟發(fā)他們領(lǐng)會數(shù)學思想方法，真正促進他們?nèi)?、持續(xù)、和諧地發(fā)展一、教材蘊涵數(shù)學思想方法的實踐小學數(shù)學教學內(nèi)容包括顯性的和隱性的兩個方面，是顯性和隱性的統(tǒng)一體我們在編寫課程標準小學數(shù)學教材時，不僅關(guān)注顯性的基礎(chǔ)知識和基本技能，關(guān)注重要的數(shù)學概念、數(shù)學法則與公式等結(jié)論，也十分關(guān)注知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程，關(guān)注學生觀察、實驗、分析、綜合、猜測、推理、驗證等的心智活動過程，關(guān)注隱性的數(shù)學思想方法，雖然一般都沒有給出數(shù)學思想方法具體的名稱，但在知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中隱含著或應(yīng)用著這些思想方法，適時地有機

6、蘊涵一些數(shù)學思想方法教材在蘊涵數(shù)學思想方法時，一方面注意根據(jù)小學生的實際認知水平，通過合適的顯性知識載體把最基礎(chǔ)、最具適應(yīng)性的數(shù)學思想方法融入知識的發(fā)生、發(fā)展過程之中，努力使學生在獲得數(shù)學顯性知識的同時受到相應(yīng)數(shù)學思想方法的熏陶，對數(shù)學思想方法有一些初步的感知和直覺另一方面，通過選取一些具有豐富數(shù)學內(nèi)涵且遷移性較強的問題，讓學生在應(yīng)用所學知識分析、解決這些問題的過程中不斷豐富對數(shù)學思想方法的體驗，積累對數(shù)學思想方法的初步認識不僅如此，從中年級的教材開始逐冊安排“解決問題的策略”單元，以解決實際問題為載體，以一些數(shù)學思想方法為線索，幫助學生通過對解決實際問題過程的回顧與反思，適當提升對相關(guān)數(shù)學思

7、想方法的感悟，進一步感受分類、轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法的價值，促進思維的發(fā)展和數(shù)學學習能力的提高在小學數(shù)學教材中蘊涵的數(shù)學思想方法主要有以下幾種(一)歸納歸納是通過特例的分析引出普遍的結(jié)論在研究一般性問題時，先研究幾個簡單、個別的、特殊的情況，從中概括出一般的規(guī)律和性質(zhì)，這種由部分到整體、由特殊到一般的推理被稱為歸納小學數(shù)學中的有些數(shù)學問題是直接建立在類比之上的歸納，有些數(shù)學問題是建立在抽象分析之上的歸納小學階段學生接觸較多的是不完全歸納推理加法結(jié)合律，我們就采用了不完全歸納推理展開教學例如，28個男生在跳繩，17個女生在跳繩，23個女生在踢毽子求跳繩和踢毽子的一共有多少人，可以先求跳繩的人數(shù)，列出

8、算式(28+17)+23計算，也可以先求女生的人數(shù)，列出算式28+(17+23)計算這兩道算式的算理是等價的，得數(shù)也相同，因此可以寫成等式(28+17)+23=28+(17+23)，在這個實例中，學生看到的數(shù)學現(xiàn)象是不是普遍性的規(guī)律，需要在類似的情況中驗證于是，我們讓學生分別算一算(45+25)+13和45+(25+13)，(36+18h22和36+(18+22)?？纯疵拷M的兩道算式是不是分別相等，兩道算式中間能不能填上等號，再看看這些相等的算式有什么結(jié)構(gòu)上的特點，猜想有這種結(jié)構(gòu)特點的算式結(jié)果是否一定相等，通過實驗發(fā)現(xiàn)第一個實例中的數(shù)學現(xiàn)象在類似的情況中同樣存在接著，鼓勵學生自己寫出類似的幾組

9、算式，進行更多的驗證，體驗現(xiàn)象的普遍性學生通過進行類似的實驗，在實驗中概括出加法結(jié)合律，并用字母a、6、c分別表示三個加數(shù)，寫成(a+6)+c：a+(6+c)這樣，學生在學習加法結(jié)合律等的過程中，就經(jīng)歷了由具體到一般的抽象、概括過程，不僅可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律、定理，而且能夠初步感受歸納的思想方法，使思維水平得到提升(二)演繹演繹與歸納相反，是從普遍性結(jié)論或一般性的前提推出個別或特殊的結(jié)論在研究個別問題時。以一般性的邏輯假設(shè)為基礎(chǔ)，推出特定結(jié)論，這種從一般到特殊的推理被稱為演繹在推理形式合乎邏輯的條件下，應(yīng)用演繹推理從真實的前提一定能推出真實的結(jié)論例如，學習了（a+b）c=ac+bc以后，要求學生應(yīng)

10、用乘法分配律進行72(30+6),32102，4612+5412，4599+45等的簡便計算，在較多的計算活動中進一步體會乘法分配律的本質(zhì)，提高靈活應(yīng)用乘法分配律的能力學生像這樣根據(jù)已經(jīng)獲得的定義、定律、公式等，去解決一個個具體的問題，通過這樣一些由一般向特殊的演繹，使得抽象的數(shù)學概念、規(guī)律和原理具體化，從而促進數(shù)學知識的理解和掌握，發(fā)展推理能力和思維能力(三)類比類比是由特殊到特殊的推理，具有假設(shè)、猜想的成分同歸納一樣，類比是常用的一種合情推理?類比是立足在已有知識的基礎(chǔ)上，通過兩個(或兩類)及以上對象之間某些相同或相似的性質(zhì)，由已經(jīng)獲得的知識引出新的猜測，推斷它們在其他性質(zhì)上的相同或相似運

11、用類比的關(guān)鍵是尋找一個合適的類比對象(已經(jīng)學過的知識或已有的方法經(jīng)驗)，需要溝通不同維度知識的內(nèi)在聯(lián)系，它多發(fā)生在像整數(shù)的運算規(guī)律推廣到分數(shù)這樣由低維度向高維度知識的提升之處例如，在教學“比的基本性質(zhì)”時，我們先通過測量幾瓶液體的質(zhì)量和體積的記錄，求出這幾瓶液體質(zhì)量和體積的比值，并把比值相等的比寫成等式再引導(dǎo)學生觀察這些等式，聯(lián)系分數(shù)的基本性質(zhì)想一想，比會有什么性質(zhì)學生大膽猜想，將比的前項、后項同時乘或除以相同的數(shù)(0除外)，看看比值有沒有變化，進行驗證學生通過類比的方式，將分數(shù)的基本性質(zhì)遷移、推廣到比的基本性質(zhì)，不僅使所學的數(shù)學知識容易理解，更能感受到數(shù)學知識的連續(xù)性(四)分類分類是以比較為

12、基礎(chǔ)，按照數(shù)學研究對象本質(zhì)屬性的相同點和差異，將數(shù)學對象分為不同的種類對數(shù)學對象的分類必須科學、統(tǒng)一，每一次劃分時分類的標準只能是一個，不能交叉地使用幾個不同的標準，要使分類既不重復(fù)也不遺漏例如，根據(jù)角的大小三角形可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三類再如，非零自然數(shù)，以約數(shù)的個數(shù)可以分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1三類，以是否是2的倍數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類通過分類，學生可以體會和理解不同的分類標準會有不同的分類結(jié)果，從而產(chǎn)生新的數(shù)學概念和數(shù)學知識結(jié)構(gòu)，使所學數(shù)學知識條理化(五)轉(zhuǎn)化數(shù)學知識是一個整體，它的各部分之間相互聯(lián)系，有時也可以相互轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化可以將數(shù)的一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式，一種運算轉(zhuǎn)化為

13、另一種運算，一個關(guān)系轉(zhuǎn)化為另一個關(guān)系，一個量轉(zhuǎn)化為另一個量，一種圖形轉(zhuǎn)化為另一種或幾種圖形，使一種研究對象在一定條件下轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N研究對象為了有利于學生學習和研究，我們注意將新知識轉(zhuǎn)化成學生已經(jīng)學過的知識，將較為復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成比較簡單的問題，例如，把小數(shù)乘法的計算轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法的計算，把分數(shù)除法的計算轉(zhuǎn)化為分數(shù)乘法的計算，把不規(guī)則圖形的面積計算轉(zhuǎn)化成規(guī)則I蛩形的面積計算實際上，除了長方形的面積計算公式之外，其他平面圖形面積計算公式的推導(dǎo)，我們都是通過變換原來的平面圖形，幫助學生把對“新”圖形的認知轉(zhuǎn)化成對“舊”圖形的改造與提升，在“新”“舊”知識的聯(lián)系中尋找到解決“新”知的方法研究平行四邊形

14、面積的計算時，把一個平行四邊形“剪”拼，轉(zhuǎn)化成長方形來計算面積；研究三角形、梯形面積的計算時，我們把兩個相同的三角形、兩個相同的梯形分別拼成一個平行四邊形來計算面積；研究圓面積的計算時，我們把一個圓平均分成16。32，64份，剪開后拼成一個近似的平行四邊形，并由此想象無限細分下去，拼成的圖形就接近于長方形，可以通過拼成的長方形來計算面積這樣，就將原來的圖形通過剪、拼等途徑加以“變形”，化難為易不僅如此，我們還專設(shè)一個單元教學用轉(zhuǎn)化的策略解決實際問題，凸顯轉(zhuǎn)化在數(shù)學學習中的地位，幫助學生進一步體會轉(zhuǎn)化思想方法的價值 (六)符號化 符號是人類文明發(fā)展的重要標志之一，而數(shù)學的基本語言就是文字語言、圖

15、像語言和符號語言，其中最具數(shù)學學科特點的是符號語言實現(xiàn)符號化，需要經(jīng)歷“具體一表象一抽象一符號化”的過程把客觀現(xiàn)實中存在的事物和現(xiàn)象以及它們之間的相互關(guān)系抽象概括為數(shù)學符號和公式，不僅要把實際問題用數(shù)學符號表達出來，而且要充分把握每個數(shù)學符號所蘊涵的豐富內(nèi)涵和實際意義，這對于小學生來說，并不是一件容易的事，必須逐步地提高他們的抽象概括水平我們從一年級就開始用“口”或“( )”代替具體的數(shù)乃至變量，讓學生在2+( )=10，8+口=15，口42口等算式中填上合適的數(shù)，引導(dǎo)學生聯(lián)系自己身邊的事物，通過觀察、操作等活動，初步感受符號的意義，逐步體會用符號表示數(shù)的作用在四年級教學平面圖形的面積公式時，

16、我們不僅引導(dǎo)學生歸納出面積計算公式，還用字母表示，引導(dǎo)學生體會用字母表示計算公式的簡便和優(yōu)越教學加法和乘法運算律時，鑒于學生對符號有了比較充分的認識，就不再用純文字的形式而直接用含有字母的式子表示這些定律，不僅使得規(guī)律的表達更加準確、簡明、形象，更便于學生掌握，而且使學生感受到用字母表示定律的意義到了五年級，學生開始正式學習用字母表示數(shù)，從研究一個具體特定的數(shù)到用字母表示一般的數(shù)，引導(dǎo)他們經(jīng)歷用字母表示數(shù)的抽象與概括過程，初步學習并理解用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系，體會符號化的簡潔與準確，不僅為列方程解決實際問題做好準備，更為進人中學后代數(shù)等知識的學習打好基礎(chǔ)(七)數(shù)形結(jié)合數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和

17、空間形式的科學，數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的關(guān)系，借助“形”的直觀來表達數(shù)量關(guān)系，運用“數(shù)”來刻畫、研究形，把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來考慮，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”使抽象思維與形象思維結(jié)合起來，將復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，達到解決問題的目的根據(jù)知識的特點和小學生的思維發(fā)展水平，我們主要通過線段圖、長方形面積圖、樹形圖等，把一定的數(shù)量關(guān)系形象直觀地表達出來，幫助學生從圖形的直觀特征中發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的聯(lián)系，以形助數(shù)來化隱為顯、化難為易例如，“一條褲子28元，上衣的價錢是褲子的3倍，求買一套衣服要多少元”，題里只有兩個已知條件，其中一個條件28元”

18、在解題時要連續(xù)使用兩次，三年級學生理解時有一定的困難我們引導(dǎo)學生畫線段圖幫助理解題意，研究數(shù)量之間的關(guān)系用線段圖表示褲子的價錢，表示上衣價錢的線段就有兩種畫法，學生就能將實際問題中抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的線段圖聯(lián)系起來思考根據(jù)這幾種畫法，很容易想到求這一套衣服的價錢只要把褲子的價錢加上上衣的價錢，上衣的價錢(28元的3倍)還不知道，需要先算出來特別是根據(jù)后兩種畫法，學生還會想到這一套衣服的價錢就是褲子的價錢(28元)的(1+3)倍，探索出解決這一實際問題的不同方法在幫助學生從圖形的直觀特征中發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系，以形助數(shù)來解決實際問題的基礎(chǔ)上，我們開始初步滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，主要是通過認識小數(shù)

19、、分數(shù)和負數(shù)的教學，讓學生在數(shù)軸上填數(shù)，在數(shù)軸上找出相對應(yīng)的數(shù)，幫助他們在數(shù)與形的這一次重要碰撞中更好地體會數(shù)軸上的點與數(shù)之間的一一對應(yīng)關(guān)系，初步體會數(shù)與形的結(jié)合；通過用數(shù)對表示位置的教學，讓學生在平面圖上用數(shù)對表示物體的位置，說出平面圖上數(shù)對所在的點表示的物體，幫助他們體會平面上的點與數(shù)對之間的一一對應(yīng)關(guān)系；通過正比例圖像的教學，讓學生體會正比例關(guān)系的圖像是一條直線，同時，利用圖像根據(jù)其中一個量的值估計另一個量的值，既將抽象的數(shù)學概念、數(shù)量關(guān)系直觀化和形象化，又借助形象的圖像來理解抽象的正比例關(guān)系問題，努力使學生抽象思維和形象思維的發(fā)展結(jié)合起來在小學數(shù)學教材中，我們還適時蘊涵了函數(shù)、集合、統(tǒng)

20、計等現(xiàn)代數(shù)學思想方法有關(guān)這方面的討論較多，限于篇幅，本文不再贅述二、加強滲透數(shù)學思想方法的思考三十多年教學的實踐告訴我們，注重數(shù)學思想方法的滲透，在進行數(shù)學概念、公式、法則等的教學過程中，努力揭示其發(fā)生、發(fā)展與應(yīng)用的全過程，并努力挖掘其中蘊涵的數(shù)學思想方法因素，不但不會影響小學生數(shù)學基礎(chǔ)知識與基本技能的掌握，反而能夠幫助學生真正理解有關(guān)教學內(nèi)容，促進他們更牢固地掌握基礎(chǔ)知識，有效地形成基本技能在小學，教學數(shù)學思想方法的形態(tài)主要是滲透相對于顯性的“雙基”，數(shù)學思想方法的滲透還是一個比較新的課題雖然廣大教師在教學實踐中也積累了一定的經(jīng)驗，但是，就大面積而言，還重點關(guān)注顯性的“雙基”，而不太關(guān)注隱性

21、的數(shù)學思想方法，加之滲透的要求不夠明確，與顯性“雙基”的教學相比滲透還需要特別注意些什么，滲透又如何進行，都需要理論的研究和探討、實踐的探索和總結(jié)加強數(shù)學思想方法的滲透，需要意識到隱性的數(shù)學思想方法的存在，弄清楚小學數(shù)學教學需要并且可能滲透哪些數(shù)學思想方法，較為清楚地界定和刻畫適于小學生領(lǐng)悟的數(shù)學思想方法；需要進一步提高對滲透數(shù)學思想方法的認識，把隱性的數(shù)學思想方法真正納入小學數(shù)學教與學的范疇；還需要有比較明確具體而恰當?shù)臐B透要求，掌握滲透的方法，不斷豐富滲透的經(jīng)驗，以提高滲透的有效性當然，在具體的教學過程中，我們需要明確滲透數(shù)學思想方法的要求數(shù)學思想方法蘊涵在顯性的具體知識之中，又和具體的知識緊密聯(lián)系，不可分割作為教育任務(wù)的數(shù)學，本身就是數(shù)學基礎(chǔ)知識、數(shù)學基本技能與數(shù)學思想方法的有機統(tǒng)一體小學數(shù)學教材呈現(xiàn)的教學內(nèi)容主要是沿著知識的縱向展開的，數(shù)學思想方法通過具體知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過程來體現(xiàn)，一般情況下不需要也不可能明確地揭示和總結(jié)另一方面，小學生的實際認知水平有限，他們理解并形成數(shù)學思想方法需要經(jīng)歷一個“潤