數(shù)學物理方程 3Bessel 函數(shù)課件

1、本章主要內(nèi)容 第3章 Bessel 函數(shù) 用分離變量法求解多個自變量的方程，自變量個數(shù)3.1二階線性常微分方程的冪級數(shù)解法二階線性常微分方程的如下形式y(tǒng) + p(x)y + q(x)y = f (x) 稱為二階線性微分方程，簡稱二階線性方程. f (x) 稱為自由項，當 f (x) 0 時，稱為二階線性非齊次微分方程，簡稱二階線性非齊次方程. 當 f (x) 恒為 0 時，稱為二階線性齊次常微分方程， 簡稱二階線性齊次方程.定理 1如果函數(shù) y1 與 y2 是線性齊次方程的兩個解，y = C1 y1 + C2 y2仍為該方程的解，其中 C1， C2 是任意常數(shù).則函數(shù)定理 2如果函數(shù) y1 與

2、 y2 是二階線性齊次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的兩個線性無關的解，y = C1 y1 + C2 y2是該方程的通解，則其中 C1, C2為任意常數(shù).定理 3如果函數(shù) y* 是線性非齊次方程的一個特解，y = Y + y*，是線性非齊次方程的通解.Y 是該方程所對應的線性齊次方程的通解，則求二階線性非齊次方程通解的一般步驟為：(1) 求線性齊次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的線性無關的兩個解 y1 與 y2，得該方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y2.(2) 求線性非齊次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的一個特解 y*.

3、那么，線性非齊次方程的通解為 y = Y + y*. y + p(x)y + q(x)y = f1 (x) + f2 (x)，y + p(x)y + q(x)y = f1 (x)，和y + p(x)y + q(x)y = f2 (x)則是方程 的特解.定理 4設二階線性非齊次方程為的特解，設二階常系數(shù)線性齊次方程為y + py + qy = 0 .考慮到左邊 p，q 均為常數(shù)， 我們可以猜想該方程具有 y = erx 形式的解，其中 r 為待定常數(shù). 將 y = rerx, y = r2erx 及 y = erx 代入上式，erx (r2 + pr + q) = 0 .二階常系數(shù)線性齊次常微分

4、方程的解法由于erx 0，因此，只要 r 滿足方程r2 + pr + q = 0，即 r 是上述一元二次方程的根時，y = erx 就是式的解.方程稱為方程的特征方程. 特征方程的根稱為特征根.得2 特征方程具有兩個相等的實根，即這時，由特征根可得到常系數(shù)線性齊次方程的一個解 y1 = erx.還需再找一個與 y1 線性無關的解y2， 將 y2 及其一階、二階導數(shù) y2 = (c(x)erx) = erx(c(x) + rc(x)，為此，設 y2 = c(x)y1，其中 c(x)為待定函數(shù).y2 = erx (c(x) + 2rc(x) + r2c(x)， 代入方程 y+ py + qy =

5、0 中，得3 特征方程具有一對共軛復根 r1 = a + ib 與 r2 = a ib . 這時有兩個線性無關的解 y1 = e(a + ib )x 與 y2 = e(a - ib )x.這是兩個復數(shù)解， 為了便于在實數(shù)范圍 內(nèi)討論問題，我們再找兩個線性無關的實數(shù)解. 由歐拉公式可得于是有由定理 1 知，以上兩個函數(shù) eax cosbx 與 eax sinbx均為 式的解，且它們線性無關. 因此，這時方程的通解為 上述求二階常系數(shù)線性齊次常微分方程通解的方法稱為特征根法，其步驟是：(1) 寫出所給方程的特征方程；(2) 求出特征根； (3) 根據(jù)特征根的三種不同情況，寫出對應的特解，并寫出其通

6、解.例 1求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.解該方程的特征方程為 r2 - 2r 3 = 0, 它有兩個不等的實根 r1 = - 1， r2 = 3, 其對應的兩個線性無關的特解為 y1 = e- x 與 y2 = e3x,所以方程的通解為例 2求方程 y - 4y + 4y = 0 的滿足初始條件 y(0) = 1， y(0) = 4 的特解.解該方程的特征方程為 r2 - 4r + 4 = 0，求得將 y(0) = 1，y(0) = 4 代入上兩式，得 C1 = 1，C2 = 2，y = (1 + 2x)e2x. 其對應的兩個線性無關的特解為 y1 = e2x 與 y2 =

7、xe2x，所以通解為因此，所求特解為 它有重根 r = 2. 例 4求方程 y + 4y = 0 的通解.解該方程的特征方程為 r2 + 4 = 0，它有共軛復根 r1,2 = 2i. 即a = 0，b = 2. 對應的兩個線性無關的解 y1 = cos 2x. y2 = sin 2x.所以方程的通解為注：第二章分離變量法經(jīng)常出現(xiàn)的兩個常微分方程通解為通解為例 5求方程 y - 2y + y = x2 的一個特解.解因為自由項 f (x) = x2 是 x 的二次多項式，則代入原方程后，有且 y 的系數(shù) q = 1 0，取 k = 0 .所以設特解為比較兩端 x 同次冪的系數(shù)，有解得A = 1

8、，B = 4，C = 6.故所求特解為比較兩端 x 同次冪的系數(shù)：解得故所求特解為2 自由項 f (x) 為 Aeax 型設二階常系數(shù)線性非齊次常微分方程為y + py + qy = Aeax，其中 a，A 均為常數(shù).由于 p，q 為常數(shù)，且指數(shù)函數(shù)的導數(shù)仍為指數(shù)函數(shù)，其中 B 為待定常數(shù)， 當 a 不是 式所對應的線性齊次方程的特征方程 r2 + pr + q = 0 的根時，取 k = 0；當 a 是其特征方程單根時，取 k = 1； 當 是其特征方程重根時，取 k = 2.因此，我們可以設 的特解當 a 不是特征方程 r2 + pr + q = 0 的根時，取 k = 0；當 a 是其特

9、征方程單根時，取 k = 1；當 是其特征方程重根時，取 k = 2.例 8求方程 y + 2y - 3y = ex 的特解.解a = 1 是特征方程 r2 + 2r - 3 = 0 的單根，取 k = 1，則代入方程，得故原方程的特解為所以，設特解為,41=B注：第二章分離變量法出現(xiàn)的非齊次常微分方程P42一個特解為3 自由項 f (x) 為 eax (Acos wx + Bsin wx)型設二階常系數(shù)線性非齊次常微分方程為y + py + qy = eax (Acos wx + Bsin wx)，其中 a，A ，B 均為常數(shù).由于 p，q 為常數(shù)，且指數(shù)函數(shù)的各階導數(shù)仍為指數(shù)函數(shù)， 正弦函

10、數(shù)與余弦函數(shù)的導數(shù)也總是余弦函數(shù)與正弦函數(shù)，因此, 我們可以設 有特解其中 C，D 為待定常數(shù).取 k = 0，是根時，取 k = 1。 當 a + wi 不是 式所對應的齊次方程的特征方程的根時，當 a + wi 不是 特征方程的根時，取k=0當 a + wi 是 特征方程的根時，取k=1例 9求方程 y + 3y - y = ex cos 2x 的一個特解.解自由項 f (x) = excos2x 為 eax(Acoswx + Bsinwx) 型的函數(shù)，則 且 a + wi = 1 + 2i，它不是對應的常系數(shù)線性齊次常微分方程的特征方程 r2 + 3r 1 = 0 的根，取 k = 0，

11、所以設特解為代入原方程，得比較兩端 cos 2x 與 sin 2x 的系數(shù)，得解此方程組，得故所求特解為例 10求方程 y + y = sin x 的一個特解.解自由項 f (x) = sin x 為 eax(Acoswx + Bsinwx) 型的函數(shù)，且 a = 0，w = 1，則代入原方程，得 且 a + wi = i 是特征方程 r2 + 1 = 0 的根，取 k = 1，所以，設特解為比較兩端 sinx 與 cosx 的系數(shù)，得故原方程的特解為而對應齊次方程 y + y = 0 的通解為Y = C1cosx + C2sinx.故原方程的通解為例11方程 y + 4y = x +1 +

12、sinx 的通解.解自由項 f (x) = x +1 + sinx可以看成 f1 (x) = x +1 和 f2 (x) = sin x 之和，y + 4y = x +1，y + 4y = sin x .和方程 的特解易求得，設方程 的特解為的特解.所以分別求方程代入，得3Asin x = sin x.所以得原方程的特解原方程所對應的線性齊次方程為 y + 4y = 0，其通解為Y = C1cos 2x + C2sin 2x，故原方程的通解為3.1.2 變系數(shù)線性方程的冪級數(shù)解法 定理3.1 考慮下面的二階變系數(shù)線性常微分方程 y + p(x)y +q(x)y= 0 (3.1.3)如果p(x)

13、、q(x)在x0的鄰域解析，即在該鄰域可展成Taylor級數(shù)，則方程（3.1.3）有如下形式的解析解其中可由待定系數(shù)法求出。 例12 求解下列方程根據(jù)定理3.1，可設解為 將該級數(shù)求一階和二階導數(shù)并將y(x), y(x)和 y(x)代入到原方程或，它們都是R上的解析函數(shù)。解：本題此即可得將上面的結果代入到得系數(shù)全為零解：此題，它們都是R上的解析函數(shù)。根據(jù)定理3.1，可設，將該級數(shù)帶入原方程，可得或又代入到（1），可得展開可得系數(shù)全為零，可得代入，可得 例13 求解下列方程根據(jù)定理3.1，可設解為 將該級數(shù)求一階和二階導數(shù)并將y(x),y (x)和 y(x)代入到原方程，它們在(-1,1)解析。

14、解：本題此即系數(shù)全為零或將上面的結果代入到得可得作業(yè)P76 習題3 第一題(2)(4) 3.2 Bessel函數(shù)3.2.1 函數(shù)記為函數(shù)。它對任意有定義，該廣義積分收斂。函數(shù)具有下面兩條性質證明下面求記利用極坐標變換可得所以利用性質還可得到 例1 計算下列積分解 （1）延拓問題，將定義域延拓到定義則在區(qū)間（-1,0）有定義。類似可以定義在區(qū)間（-2，-1）上的值，如此繼續(xù)下去，可以擴充到整個實軸（去掉負實數(shù)點集），其圖象如下：3.2.2 Bessel方程和Bessel函數(shù)設，二階線性常微分方程稱為r階Bessel方程。r階Bessel方程可以寫成利用冪級數(shù)解法，待定系數(shù)，注意到 定理3.2 考

15、慮下面的二階變系數(shù)線性常微分方程 y + p(x)y +q(x)y= 0 (3.1.5)如果解析，即，方程(3.1.5)有如下形式的解析解其中可由待定系數(shù)法求出。在 的鄰域最多為p(x),q(x)的一階和二階極點。則在該去心鄰域令其中和為待定常數(shù)。有帶入(1)，得即整理，有有即比較前面的系數(shù)，可得由于，故有首先取則由（4）可得如果選取，則有代入到得到原方程的一個解此函數(shù)稱為r階Bessel函數(shù)，通常記如果則由（4）式可得如果選取，則有代入到得到原方程的另一個解此函數(shù)稱為-r階Bessel函數(shù)，通常記注1 當r為正整數(shù)時，例如，取對于，當時的系數(shù)等于零。特別r=m(m為正整數(shù))時，有所以，對所有

16、的實數(shù)r，都有意義。求解過程失效。 注2 記表達式中冪級數(shù)部分的系數(shù)為，直接計算可得即表達式中冪級數(shù)部分的收斂半徑為無窮大。類似可證表達式中冪級數(shù)部分的收斂半徑也為無窮大。因此，中冪級數(shù)部分是兩個在實數(shù)軸上的解析函數(shù)。 注3 注意到 在x=0右連續(xù)而在x=0的鄰域無界，故當r0不等于整數(shù)時，是線性無關的，它們構成原方程的一個基解組。當r=m(m為正整數(shù))時，直接計算可得令n階第一類貝塞爾函數(shù) 1 r不為整數(shù)時，貝塞爾方程的通解和線性無關n階第二類貝塞爾函數(shù)（Neumann函數(shù)） n為整數(shù)時2 r為整數(shù)時，貝塞爾方程的通解A、B為任意常數(shù)，n為任意正整數(shù)作業(yè)P76 習題3 第七題(1)第十三題(

17、3)(4)3.2.3 貝塞爾函數(shù)的性質性質1 有界性 性質2 奇偶性 當n為正整數(shù)時 性質3 遞推性 (a)-(b)(a)+(b)類似地，有注：以上遞推關系式對任意的正數(shù)r也成立(P77頁習題第4題)例1 求下列微積分性質4 初值 性質5 零點 有無窮多個關于原點對稱分布的零點 和 的零點相間分布 的零點趨于周期分布， 性質6 半奇數(shù)階的貝塞爾函數(shù) 性質7 漸近表達式 作業(yè)P76 習題3 第四題，第十四題3.2.4 Bessel方程的特征值問題二階線性微分算子在圓域上的特征值問題為邊界條件為Dirichlet邊界條件，或者Neumann邊界條件.下面利用分離變量法求解（1）.令，并將其帶入到（

18、1），有即變形為故有對（2），其特征值和特征函數(shù)為將代入到（3）中，得到方程（4）結合一定邊界條件便是Bessel方程的特征值問題。考慮Dirichlet邊界條件下n階Bessel方程的特征值問題其中是一個正常數(shù)，n為非負整數(shù)，為待定常數(shù)，稱為（5）的特征值，而相應于的非零解稱為（5）的特征函數(shù)。對于Bessel方程的特征值問題（5），有如下定理 定理3.3 設n為非負整數(shù)，即的正根，為的第m個正零點，則（5）的特征值和特征函數(shù)分別為特征函數(shù)系關于權函數(shù)是正交的，且有其中證明 1.證明特征值非負。 兩邊積分由已知，可得即所以可得 2.求解特征值問題。 當n=0， 時，方程 化為 其通解為 利用

19、邊界條件 可得 ，因此即不是特征值，即一切特征值都大于0.當時，對原方程作自變量變換，方程化為n階Bessel方程的通解為所以由，可得。又由得又 ，所以 為 的正零點。故有 代入并略去常數(shù) 特征值 特征函數(shù)3.證明特征函數(shù)系關于權系數(shù)的正交性。設，則 分別滿足如下方程有兩式相減得即積分，得關于權系數(shù) 的正交性。關于權系數(shù)的平方模。并取使得則有4.求記和令（8）和（9）第一式分別具有下面的形式同前相減有即積分有有令則有得證。注：根據(jù)遞推公式以及可得則Bessel函數(shù)平方模的其他形式有 定理3.4 設 在區(qū)間 分段連續(xù)且有分段連續(xù)的一階導數(shù)則在區(qū)間上，可按展成如下的Fourier-Bessel級數(shù)

20、其中例1：將1在 區(qū)間內(nèi)展成 的級數(shù)形式 解：設例2：將x在0 x2區(qū)間內(nèi)展成 的級數(shù)形式 解：設例3：將 在0 x1區(qū)間內(nèi)展成 的級數(shù)形式 解：設作業(yè)P76 習題3 第十六題，第十七題 3.3 多個自變量分離變量法例子例3.12 設圓柱體為，若其邊界溫度為0，初始溫度為，且只與求圓柱體內(nèi)的溫度分布 .有關且有界解 記，則u滿足以下定解問題由于初始條件只與有關，邊界條件為齊次邊界條件，故可推知,圓柱體內(nèi)以z軸為中心的圓柱面上溫度相同，即u只與和t有關，而與z和無關，故有 3.3.2圓柱體或圓域上定解問題對定解問題(3.3.9)-(3.3.11),做自變量變換并注意到u與無關，直接計算可得下面利用分離變量法求解問題(3.3.12)-(3.3.14)。并代入到（3.3.12）中得令由此得由該問題的物理意義可知函數(shù)u有界，從而|u(0,t)|有界。由此可推出R應滿足自然邊界條件結合邊界條件（3.3.13）可