數(shù)學(xué)物理方法-13.1 三類數(shù)理方程推導(dǎo)課件

1、數(shù)學(xué)物理方程1、基本方程的推導(dǎo)及基本概念(1周)2、分離變量法(2周)3、線性偏微分方程的分類與化簡(1周)4、行波法(1周)5、格林函數(shù)法(1周)6、積分變換法(1周)數(shù)理方程是指在物理學(xué)、力學(xué)、工程技術(shù)等問題中經(jīng)過一些簡化后所得到的、反映客觀世界物理量之間關(guān)系的一些偏微分方程。數(shù)量方程之概述常微分方程（組）描述的是孤立質(zhì)點(系)的運動或演變規(guī)律。連續(xù)體的變化規(guī)律如何描述？含有某未知多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的方程稱為偏微分方程。表示物理量在空間或時間中變化規(guī)律的偏微分方程稱為數(shù)學(xué)物理方程。 數(shù)量方程之基本任務(wù)數(shù)物方程的基本任務(wù)以物理學(xué)、力學(xué)及工程技術(shù)中的具體問題為研究對象，基本任務(wù)有：（1）建立描繪某

2、類物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，并提供這些問題的求解方法；（2）通過理論分析，研究客觀問題變化發(fā)展的一般規(guī)律。 問題描述和分析如果空間某物體G內(nèi)各點處的溫度不同，則熱量就會從溫度較高的點向溫度較低的點流動，這種現(xiàn)象就叫做熱傳導(dǎo)。熱量傳遞如何用數(shù)學(xué)語言表示：由于熱量的傳導(dǎo)過程總是表現(xiàn)為溫度隨時間和空間的變化，因此，熱傳導(dǎo)問題求解本質(zhì)上是求溫度的分布。若用u(x, y, z, t)表示物體G內(nèi)一點(x, y, z)在t時刻的溫度, 記為u(M, t), 點M(x, y, z)熱傳導(dǎo)問題的建模既是建立溫度函數(shù)u(x, y, z, t)所滿足的偏微分方程！熱傳導(dǎo)（擴散）方程的推導(dǎo)熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)建模采用的等量關(guān)

3、系熱量守恒：任意時段內(nèi)t1,t2，溫度變化所需的熱量Q2 +流出區(qū)域的熱量Q1 區(qū)域自身產(chǎn)生的熱量Q3。建模采用的方法微（單）元體方法，考慮任意一個區(qū)域，其表面是S。流出熱量：根據(jù)Fourier定律表示溫度變化所需的熱量：與物體的比熱有關(guān)自身產(chǎn)生的熱量： 本身是熱源Q2 +Q1 Q3熱傳導(dǎo)方程：溫度變化與熱量的關(guān)系溫度變化需要的熱量Q2熱量（吸收或釋放）溫度差密度比熱從t到t+dt時間內(nèi)，點(x, y, z)處的溫度自u(x, y, z, t)變?yōu)閡(x, y, z, t+dt)，在t, t+dt微元時間段，溫差如何表示?t, t+dt時間內(nèi)，區(qū)域溫度變化所需熱量為在t1, t2時間內(nèi)，溫度變

4、化所需要的熱量為熱傳導(dǎo)方程：流進（出）的熱量Q1比例系數(shù)k0稱為導(dǎo)熱率，與材料有關(guān)，一般視為常數(shù)符號表示熱流方向和溫度增大的方向相反。傅立葉定律溫度梯度的定義：熱流強度矢量：q（單位時間流經(jīng)單位面積的熱量）計算t到t+dt時間內(nèi)，在點(x, y, z)流經(jīng)微元面積dS的熱量其中，n為微元面積dS的外法線向量。t1至t2時間內(nèi)流出S的熱量為兩處dS的區(qū)別，前者是微元面積，后者向量Laplace方程、位勢方程考慮無熱源的熱傳導(dǎo)問題，經(jīng)過了相當(dāng)長時間后，溫度趨于穩(wěn)定，則熱傳導(dǎo)方程變?yōu)榉Q為Laplace方程，或位勢方程，記為弦的振動方程弦振動如何描述弦是連續(xù)的而非離散的質(zhì)點組，弦是橫向振動的，在時刻t，弦的形狀是曲線u(x, t)它的運動應(yīng)符合牛頓運動定律，簡化假設(shè)如下：設(shè)弦在未受擾動時平衡位置是x軸；兩端分別固定在x=0及x=l處，而其上各點均以該點的橫坐標(biāo)表示；輕，忽略重力；質(zhì)量均勻分布；柔軟，張力方向與弦相切；無內(nèi)力抵抗彎曲變形應(yīng)用模型假設(shè)得到的結(jié)論：弦的振動方程經(jīng)化簡：平衡方程最后的結(jié)論：進一步假設(shè)：弦的橫振動方程 弦的振動方程一維：二維：三維： 自由振動 強迫振動波動方程三類典型的數(shù)理方程三種典型方程簡析物理量關(guān)于時間的變化率1、波動方程含有關(guān)于時間t的二階偏導(dǎo)數(shù)，物理現(xiàn)