力學振動和波

1、力學振動和波第1頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一振動與波無所不在振動與波是橫跨物理學各分支學科的最基本的運動形式。盡管在各學科里振動與波的具體內容不同，但在形式上卻有很大的相似性。力學機械振動，機械波 （聲波）電學電磁振蕩，電磁波（光波） 量子力學（波動力學）第2頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一振動廣義振動：任一物理量(如位移、電流等)在某一 數值附近反復變化。機械振動：物體在一定位置附近作來回往復的運動。第3頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一彈簧振子(彈簧物體系統(tǒng) )模型簡諧振動微分方程一、簡諧振動的基本特征1 簡諧

2、振動（simple harmonic motion)物體一定作簡諧振動其通解為：諧振動運動方程運動學特征第4頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一簡諧振動定義（判據）：描述運動的物理量遵從微分方程（或運動方程為 ）運動學特征物體所受合外力動力學特征例：判斷下列運動是否為簡諧振動1.乒乓球在地面上的上下跳動第5頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一2.小球在半徑很大的光滑凹球面底部作小幅振動mgO切向運動諧振動第6頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一單擺結論：單擺的小角度擺動振動是簡諧振動。角頻率,振動的周期分別為：當 時擺球對C點的

3、力矩第7頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一復擺：繞不過質心的水平固定軸轉動的剛體結論：復擺的小角度擺動振動是簡諧振動。當 時第8頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一二、描述簡諧振動的特征量1、振幅 A 簡諧振動物體離開平衡位置的最大位移（或角位移）的絕對值。初始條件第9頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一頻率：單位時間內振動的次數。2、周期 、頻率、圓頻率對彈簧振子角頻率固有周期、固有頻率、固有角頻率周期T ：物體完成一次全振動所需時間。第10頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一單擺復擺 是t =0時刻的

4、位相初位相3、位相和初位相位相，決定諧振動物體的運動狀態(tài)第11頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一三、簡諧振動的旋轉矢量表示法0t = 0 x t+0t = toX第12頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一 超前和落后兩個諧振動位相差 兩振動位相之差。對兩同頻率的諧振動 = 2- 1初相差若 = 2- 10, 稱x2比x1超前 (或x1比x2后)。當=2k ,k=0,1,2,兩振動步調相同,稱同相當=(2k+1) , k=0,1,2.兩振動步調相反,稱反相第13頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一用旋轉矢量表示相位關系同相反相即

5、x2比x1超前第14頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一諧振動的位移、速度、加速度之間的位相關系toTavxT/4T/4第15頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一由圖可見：x t+o第16頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一簡諧振動的復數表示復數表示的優(yōu)越之處：求導、積分很方便。復數的實部或虛部對應真實的振動量第17頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一例:如圖m=210-2kg, 彈簧的靜止形變?yōu)閘=9.8cm t=0時 x0=-9.8cm, v0=0 取開始振動時為計時零點， 寫出振動方程；（2）若取x0

6、=0，v00為計時零點， 寫出振動方程,并計算振動頻率。XOmx解： 確定平衡位置 mg=k l 取為原點 k=mg/l 令向下有位移 x, 則 f=mg-k(l +x)=-kx作諧振動 設振動方程為第18頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一由初條件得由x0=Acos0= -0.0980 cos00 x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2 v0=-Asin0 , sin 0 0, 取0=3/2 x=9.810-2cos(10t+3/2) m對同一諧振動取不同的計時起點不同，但、A不變XOmx固有頻率第19頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19

7、分，星期一例:如圖所示，振動系統(tǒng)由一倔強系數為k的 輕彈簧、一半徑為R、轉動慣量為I的 定滑輪和一質量為m的 物體所組成。使物體略偏離平衡位置后放手，任其振動，試證物體作簡諧振動，并求其周期T.（繩與定滑輪無相對滑動）mm解：取位移軸ox，m在平衡位置時，設彈簧伸長量為l，則第20頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一mm當m有位移x時聯立得物體作簡諧振動第21頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一已知某簡諧振動的 速度與時間的關系曲線如圖所示，試求其振動方程。解：方法1用解析法求解設振動方程為第22頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星

8、期一故振動方程為第23頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一v的旋轉矢量與v軸夾角表示t 時刻相位由圖知方法2：用旋轉矢量法輔助求解。15.7-15.7第24頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一諧振動系統(tǒng)的能量=系統(tǒng)的動能Ek+系統(tǒng)的勢能Ep某一時刻，諧振子速度為v，位移為x諧振動的動能和勢能是時間的周期性函數四、 簡諧振動的能量第25頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一動能勢能情況同動能。機械能簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒第26頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一xtTEEpoEtEk(1/2)kA2第27頁，共

9、49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一一、同方向、同頻率諧振動的合成合振動是簡諧振動, 其頻率仍為質點同時參與同方向同頻率的諧振動 :合振動 :2 簡諧振動的合成第28頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一如 A1=A2 , 則 A=0兩分振動相互加強兩分振動相互減弱分析若兩分振動同相：若兩分振動反相:第29頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一合振動不是簡諧振動式中隨t 緩變，視為合振動的振幅隨t 快變合振動可看作振幅緩變的簡諧振動二. 兩個同方向頻率相近簡諧振動的合成 拍分振動合振動當21時,第30頁，共49頁，2022年，5月20日，

10、14點19分，星期一拍 合振動忽強忽弱的現象拍頻 : 單位時間內強弱變化的次數 =|2-1| xtx2tx1t第31頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一三、兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成合振動分振動合振動質點的軌跡方程第32頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一合振動的軌跡為通過原點且在第一、第三象限內的直線質點離開平衡位置的位移討論第33頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一合振動的軌跡為通過原點且在第二、第四象限內的直線質點離開平衡位置的位移第34頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一合振動的軌跡為以x軸

11、和y軸為軸線的橢圓.質點沿橢圓的運動方向是順時針的。合振動的軌跡為以x軸和y軸為軸線的橢圓.質點沿橢圓的運動方向是逆時針的。第35頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一 = 5/4 = 3/2 = 7/4 = 0 = = /2 = 3/4Q = /4P .時，逆時針方向轉動。時，順時針方向轉動。第36頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一四、兩個相互垂直不同頻率的簡諧振動的合成 軌跡稱為李薩如圖形yxA1A2o-A2-A1兩振動的頻率成整數比第37頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一李薩如圖形（周期比）x y第38頁，共49頁，20

12、22年，5月20日，14點19分，星期一五、簡諧振動的分解 頻譜振動的分解：把一個振動分解為若干個簡諧振動。諧振分析：將任一周期性振動分解為各個諧振動之和。若周期振動的頻率為 :0則各分振動的頻率為:0、20、30(基頻 , 二次諧頻 , 三次諧頻 , )按傅里葉級數展開第39頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一方波的分解x0t0tx1t0 x3t0 x5t0 x1+x3+x5+x0第40頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一xot鋸齒波A03050鋸齒波頻譜圖 一個非周期性振動可分解為無限多個頻率連續(xù)變化的簡諧振動。xot阻尼振動曲線阻尼振動頻譜圖o

13、A第41頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一一、 阻尼振動阻尼振動能量隨時間減小的振動稱阻尼振動或減幅振動。摩擦阻尼：系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系統(tǒng)的動能轉化為熱能。輻射阻尼：振動以波的形式向外傳播，使振動能量向周圍輻射出去。3 阻尼振動 受迫振動和共振第42頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一彈簧振子動力學方程系統(tǒng)固有角頻率阻尼因子物體以不大的速率在粘性介質中運動時,介質對物體的阻力僅與速度的一次方成正比阻尼系數第43頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一弱阻尼弱阻尼阻尼振動的振幅按指數衰減過阻尼過阻尼系統(tǒng)不作往復運動，而是非常緩慢地回到平衡位置第44頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一臨界阻尼臨界阻尼系統(tǒng)不作往復運動，而是較快地回到平衡位置并停下來第45頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一二、 受迫振動受迫振動 振動系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動。弱阻尼諧振子系統(tǒng)在策動力作用下的受迫振動的方程令周期性外力策動力第46頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一振動周期與周期性外力的周期相同阻尼振動簡諧振動第47頁，共49頁，2022年，5月20日，14點19分，星期一穩(wěn)定解(1)頻率: 等于策動力的頻率 (3)初相:特點:穩(wěn)態(tài)時