二元二次多項(xiàng)式的因式分解

1、形如Ax2BxyCy2+DxEyF的二元二次多項(xiàng)式的因式分解分解形如Ax2+BxyCy2+Dx+Ey+F的多項(xiàng)式，常用的方法有：求根法、待定系數(shù)法、雙十字相乘法和雙零分解法。當(dāng)然結(jié)合多項(xiàng)式的特點(diǎn)可以采用靈活的方法，如若已知它的一個(gè)因式，可用分析二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)的方法，較容易的求得?，F(xiàn)舉例說(shuō)明：方法一、求根法利用求根法因式分解，形如Ax2+BxyCy2+Dx+Ey+F的二元二次多項(xiàng)式可看成關(guān)于x(或y)的一元二次多項(xiàng)式。用求根公式求出兩根x,x,則原式二A(x-x)(x-x)。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，原多項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式，必須是關(guān)于1x2的方程的判別式是J的一茨式的完全平方式，為此這個(gè)判別式的判別式必

2、須是0。例1、a為何值時(shí)，6x2-xy-2y2+ay-6能分解成兩個(gè)一次式的乘積，并進(jìn)行分解。分析：把上面的多項(xiàng)式看成x的一元二次式，令這個(gè)一元二次式為0解出x的兩個(gè)值x,x，則原式=6(x-x,(x-x)，這里只須研究a何值時(shí)，x,x是y的一次式即可。121212解：設(shè)6x2-xy-2y2+ay-6=0，把此式看成關(guān)于x的一元二次方程，則該方程的判別式：Ay2一24J2y2+ay-6丿49y2一24ay+144，要使方程的解為y的一次式，牛必須為完全平方式，那么判別式的判別式必須是零。A=(24a-4x24x144242(a2490，a71(1)、當(dāng)a7時(shí)，由6x2一xy一2y2+7y一60

3、解得x=藝一1,x-y+11322厶”1、Gx一2y一3,(2xy+2)則原式=6x一3y+1卜+2y一121(2)、當(dāng)a=-7時(shí)，由6x2一xy一2y2一7y一6=0解得x=y+1,x=一一y一11322則原式=(3x-2y-3,(2x+y+2)練習(xí)：把x2-8xy15y2-6x+22y+8分解因式答案：原式=(x-3y-2)(x-5y-4)方法二：待定系數(shù)法用待定系數(shù)法因式分解的一般步驟：1、根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，確定所能分解成的形式。要盡量減少待定系數(shù)的個(gè)數(shù)，以利求解。2、利用多項(xiàng)式恒等定理，列出以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程或方程組。3、解方程組，如方程或方程組有解，則原式可以分解為所設(shè)的形式；

4、如果無(wú)解，則原方程組不能分解為所設(shè)的形式。如果方程組有解，把解得的待定系數(shù)的數(shù)值代入所設(shè)的分解式中。例2、k為何值時(shí)，多項(xiàng)式2x2kxy+3y2-5y-2可分解為兩個(gè)一次因式的積。分析：先設(shè)可分解成兩個(gè)一次式，原式中的k是xy的項(xiàng)未知系數(shù)。為使待定系數(shù)盡量少，可先考慮3y2-5y-2=(y-2)(3y+1,，所以可設(shè)：原式=(axy一2,(bx+慮2x2-2=(2x2,(x一1,，所以可設(shè)：原式=(2x+my+2,(x+ny一1)，這里只解前者。解:設(shè)2x2+kxy3y2一5y-2=Cax+y-2,(bx+*.*Caxy-2,(bx+3y+1,=abx2+(3a+bXy+3y2+(a-2b-5

5、y-22x2kxy3y2-5y-2abx2+(3a+bhy+3y2+Ca-2bL-5y-2ab=2a=2a=一2由兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得：3ba=k，解此方程組得b=1或b=-1a2b=0k=7k=-7:當(dāng)k=7時(shí)，原式可分解為2x2+kxy+3y2一5y一2=(2x+y一2Xx+3y+1)；當(dāng)k=7時(shí)，原式可分解為2x2,kxy,3y2一5y一2=C2x+y一2)Cx+3y+1)練習(xí)：a為何值時(shí)，6x2xy-2y2,ay-6能分解成兩個(gè)一次式的乘積，并進(jìn)行分解。m=3答案：解得n=2原式可分解為6x2xy一2y2,ay一6=(3x2y3(2x+y+2a=7說(shuō)明：上面方法是常用的兩種方法，特別是

6、求待定系數(shù)很有效；不含待定系數(shù)的也可用雙十字相乘法。方法三、雙十字相乘法雙十字相乘法即運(yùn)用兩次十字相乘法，第一次運(yùn)用十字相乘法將多項(xiàng)式中的二次齊次式分解因式，然后再運(yùn)用一次十字相乘法。其理論依據(jù)：若Ax2,Bxy,Cy2,Dx,Ey,F可分解為(ax+by+cXdx+ey+f,則當(dāng)c=f=0時(shí)，Ax2,Bxy,Cy2,Dx,Ey,F=Ax2+Bxy+Cy2=(ax+by)(dx+ey例3、把x2,2xy3y25x7y,6分解因式。x3y解：可先用十字相乘法，把x2,2xy3y2分解，然后再用十字相乘法xyx，3yxy練習(xí)23于是原式=G+3y2)(xy分解因式2x2xy6y2,8x,5y,6答

7、案:原式=(2x,3y,2)(x2y,3方法四、雙零分解法()()理論依據(jù)：若Ax2,Bxy,Cy2,Dx,Ey,F可分解為(ax,by,c)(dx,ey,f)，則當(dāng)y=0時(shí)有Ax2,Bxy,Cy2,Dx,Ey,F=Ax2,Dx,F=(ax,c)(dx,f)；當(dāng)x=0時(shí)有Ax2,Bxy,Cy2,Dx,Ey,F=Cy2,Ey,F=(by,c)(ey,f)。因此在分解上述二元二次多項(xiàng)式時(shí)，可令y=0得關(guān)于x的二次三項(xiàng)式Ax2+Dx+F分解為(ax,c)(dx,f)；再令x=0得關(guān)于y的二次三項(xiàng)式Cy2,Ey,F并分解為(by,c)Cy,f)；注意這里兩分解式中的常數(shù)項(xiàng)應(yīng)相同，如果不同就要變形使其相

8、同(ax+by+c)(dx+ey+f)。這時(shí)有Ax2,Bxy,Cy2,Dx,Ey,F=例4、分解因式6x2,13xy,5y2,7x,7y,2解：令y=0有6x2,13xy,5y2,7x,7y,2=6x2+7x+2=(2x,1)(3x+2)；令x=0有6x2,13xy,5y2,7x,7y,2=5y2+7y+2=(y,1)(5y+2)所以6x2,13xy,5y2,7x,7y,2(2x+y+1)Gx+5y+2)練習(xí)：分解因式x2,xy6y2,2x,11y3答案：原式=(x2y+3)(x+3y1)方法五：分析二次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)法若已知它的一個(gè)因式，可用分析二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)的方法，較容易的求得。例5、若多項(xiàng)式x2,2xy8y2,2x,14y3有一個(gè)因式x2y+3，則另一個(gè)因式為。解：由于多項(xiàng)式x2,2xy8y2,2x,14y3有一個(gè)因式x2y+3，且原式二次項(xiàng)中含有x2和-8y2，所以另一個(gè)因式中必有一次項(xiàng)