工程數(shù)學(xué)21常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值方法基礎(chǔ)

1、第七章 常微分方程數(shù)值解法初步第一節(jié) 求解初值問(wèn)題數(shù)值方法 的基本原理第二節(jié) 高精度的單步法 考慮一階常微分方程的初值問(wèn)題 /*Initial-Value Problem /:只要 f (x, y) 在a, b R1 上連續(xù)，且關(guān)于y 滿足 Lipschitz 條件，即存在與x, y無(wú)關(guān)的常數(shù)L 使對(duì)任意定義在a, b上的 y1(x) 和 y2(x) 都有成立，則上述IVP存在唯一解。第一節(jié) 求解初值問(wèn)題數(shù)值方法的基本原理(1)一、初值問(wèn)題的數(shù)值解要計(jì)算出解函數(shù) y(x) 在一系列節(jié)點(diǎn) a = x0 x10,使得對(duì)一切 成立,則該方法收斂,且有 由該定理可知整體截?cái)嗾`差總比局部截?cái)嗾`差低一階

2、對(duì)改進(jìn)的Euler法,于是有設(shè)L為f關(guān)于y的Lipschitz常數(shù),則由上式可得限定h即可知Q滿足Lipschitz條件,故而改進(jìn)的Euler法收斂.例：考察初值問(wèn)題 在區(qū)間0, 0.5上的解。分別用歐拉顯、隱式格式和改進(jìn)的歐拉格式計(jì)算數(shù)值解。0.00.10.20.30.40.5精確解改進(jìn)歐拉法 歐拉隱式歐拉顯式 節(jié)點(diǎn) xi 1.00002.0000 4.00008.0000 1.6000101 3.2000101 1.00002.5000101 6.25001021.56251023.90631039.76561041.00002.50006.25001.56261013.90631019.

3、76561011.00004.97871022.47881031.23411046.14421063.05901073. 穩(wěn)定性定義若某算法在計(jì)算過(guò)程中任一步產(chǎn)生的誤差在以后的計(jì)算中都逐步衰減，則稱該算法是絕對(duì)穩(wěn)定的/absolutely stable /。一般分析時(shí)為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，只考慮試驗(yàn)方程 /test equation /常數(shù)，可以是復(fù)數(shù)當(dāng)步長(zhǎng)取為h 時(shí),將某算法應(yīng)用于上式，并假設(shè)只在初值產(chǎn)生誤差 ，則若此誤差以后逐步衰減，就稱該算法相對(duì)于 絕對(duì)穩(wěn)定， 的全體構(gòu)成絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域。我們稱算法A 比算法B 穩(wěn)定，就是指A 的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域比B 的大。例：考察顯式歐拉法由此可見(jiàn)，要保證初始誤差0 以后逐步衰減，必須滿足：0-1-2ReImg例：考察隱式歐拉法可見(jiàn)絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域?yàn)椋?10ReImg注：一般來(lái)說(shuō)，隱式歐拉法的絕對(duì)穩(wěn)定性比同階的顯式法的好。第二節(jié) 高精度的單步法在高精度的單步法中,應(yīng)用最廣泛的是Runge-Kutta(龍格-庫(kù)塔)方法一、Runge-Kutta法的基本思想（1）Runge-Kutta法的基本思想（2