20屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(提高版)-專(zhuān)題2.16-定積分與微積分(解析版)doc

1、定積分與微積分【套路秘笈 】-始于足下始于足下一定積分的觀點(diǎn) 1定積分的觀點(diǎn) 普通地，假如函數(shù)在區(qū)間上延續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間平分 紅個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作跟 式此中 為小區(qū)間長(zhǎng)度，事先，上述跟 式有限瀕臨 某個(gè)常數(shù)，那個(gè) 常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即.這里，與分不叫做積分下限與積分下限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式.2定積分的多少 何意思 從多少 何上看，假如在區(qū)間上函數(shù)延續(xù)且恒有，那么定積分表現(xiàn) 由直線(xiàn)，跟 曲線(xiàn)所圍成的曲邊梯形的面積.這確實(shí)是定積分的多少 何意思 .3定積分的性子 由定積分的界說(shuō) ,能夠 失掉定積分的如下性子 ：；此中 .

2、二微積分根本定理普通地，假如是區(qū)間上的延續(xù)函數(shù)，同時(shí)，那么.那個(gè) 論斷 叫做微積分根本定理，又叫做牛頓-萊布尼茨公式.為了便利 ，咱們 經(jīng)常把記成，即.【修煉套路】-為君聊賦昔日詩(shī)，盡力 請(qǐng)從昔日始考向一 應(yīng)用定積分的多少 何意思 求曲線(xiàn)的面積【例1】1定積分011-x2的值即是 。2曾經(jīng)明白fx是偶函數(shù)，且05fxdx=6，那么-55fxdx=_.(3) xdx= 。(4)cos xdx= ?！局i底 】14 212(3)0; (4)0【剖析 】1由y=1-x2得x2+y2=1x0,1，依照定積分的意思 可知，扇形的面積S=1412=4 即為所求.2fx是偶函數(shù)-55fxdx205fxdx又0

3、5fxdx6，-55fxdx12故謎底 為：12(3)如圖，xdxA1A10.(4)如圖，cos xdxA1A2A30.【套路總結(jié)】應(yīng)用定積分的多少 何意思 求解時(shí)，罕見(jiàn)的破 體圖形的外形是三角形、直角梯形、矩形、圓等可求面積的破 體圖形.2.對(duì)于 龐雜 圖形的面積求解，咱們 能夠 直截了當(dāng) 應(yīng)用 定積分的多少 何意思 ，如今，1斷定 積分上、下限，普通為兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo).2斷定 被積函數(shù)，普通是上曲線(xiàn)與下曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)函數(shù)的差.如此 所求的面積咨詢(xún) 題就轉(zhuǎn)化為應(yīng)用 微積分根本定理盤(pán)算 定積分了.3.設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上延續(xù)，那么假設(shè) 是偶函數(shù)，那么；假設(shè) 是奇函數(shù)，那么.【觸類(lèi)旁通】1定積分-aaa2-

4、x2dx即是 ?！局i底 】12a2 【剖析 】由題意可知定積分表現(xiàn) 半徑為a的半個(gè)圓的面積，因而 S=12(a2)=12a2.2曾經(jīng)明白函數(shù)f(x)求f(x)在區(qū)間1,3上的定積分【謎底 】【剖析 】由定積分的多少 何意思 知：f(x)x5是奇函數(shù)，故x5dx0；0(如圖(1)所示)；xdx (1)(1) (如圖(2)所示)f(x)dxx5dxxdxxdx應(yīng)用定積分的多少 何意思 求，此中 .【謎底 】見(jiàn)地析【剖析 】.為奇函數(shù)，.應(yīng)用定積分的多少 何意思 ，如圖，故.考向二 微積分定理的應(yīng)用 【例2】盤(pán)算 以下定積分：1； 2；3； 4.【剖析 】1.2.3.4.【觸類(lèi)旁通】1-101-2x

5、1-3x2dx=_【謎底 】-12【剖析 】-101-2x1-3x2dx=-10(1-3x2-2x+6x3)dx=x-x3-x2+32x4|-10=-122-11（1-x2+x）dx=_【謎底 】2【剖析 】由定積分的多少 何意思 知-111-x2dx表現(xiàn) 以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓的面積的二分之一，即-111-x2dx=2，-111-x2+xdx=-111-x2dx+-11xdx=2+x22-11=23-11（x2+1-x2)dx= _.【謎底 】23+2【剖析 】原式化為-11x2dx+-111-x2dx ，-11x2=13x3|-11=23，依照定積分的多少 何意思 可知，-111-x

6、2即是 以原點(diǎn)為圓心，以1 為半徑的圓面積的一半，即-111-x2=2，因而 -11(x2+1-x2)dx=23+2 ，故謎底 為23+2.413(x-1x2)dx= _【謎底 】103【剖析 】13x-1x2dx=12x2+1x|13=129+13-12+1=103，故謎底 為：103.考點(diǎn)三 積分在多少 何中的應(yīng)用 【例3】求由曲線(xiàn)與，所圍成的破 體圖形的面積畫(huà)出圖形.【謎底 】1【剖析 】畫(huà)出曲線(xiàn)與，那么以下列圖中的暗影局部即為所請(qǐng)求 的破 體圖形.解方程組，可得.故破 體圖形的面積為=1.因而 所求圖形的面積為1【套路總結(jié)】定積分可正、可負(fù)或?yàn)榱悖?體圖形的面積總長(zhǎng)短 負(fù)的.2假設(shè)

7、 圖形比擬龐雜 ，能夠 求出曲線(xiàn)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將積分區(qū)間細(xì)化，分不求出響應(yīng) 區(qū)間上破 體圖形的面積再求跟 ，留意在每個(gè)區(qū)間上被積函數(shù)均是由上減下.【觸類(lèi)旁通】1由直線(xiàn)x=-6，x=6，y=0與曲線(xiàn)y=cosx 所圍成的封鎖圖形的面積為 。【謎底 】1 【剖析 】標(biāo)題所求封鎖圖形的面積為定積分-66cosxdx=sinx|-66=sin6-sin-6=12+12=1.2如圖，求曲線(xiàn)所圍成圖形的面積.【剖析 】由解得.由解得.因而 所求暗影局部的面積為.3曲線(xiàn)yx與直線(xiàn)y2x1及x軸所圍成的封鎖圖形的面積為 ?！局i底 】512 【剖析 】由剖析 式作出如下列圖簡(jiǎn)圖：由圖像可知封鎖圖形面積為曲線(xiàn)與

8、x軸圍成曲邊三角形OCB的面積與ABC的面積之差.聯(lián)破 兩函數(shù)剖析 式，求出交點(diǎn)C的坐標(biāo)為：(1,1)，那么點(diǎn)B的坐標(biāo)為：(1,0)，求出直線(xiàn)與x軸交點(diǎn)A坐標(biāo)為：(0.5,0)，那么曲邊三角形的面積為：SOCB=01x12dx=23，ABC的面積為：SABC=12121=14，因而 兩線(xiàn)與x軸圍成圖形的面積為：512.考向四 定積分在物理中的使用【例4】設(shè)有一長(zhǎng)25 cm的彈簧，假設(shè) 加以100 N的力，那么彈簧伸長(zhǎng)到30 cm，又曾經(jīng)明白彈簧伸長(zhǎng)所需求的拉力與彈簧的伸長(zhǎng)量成反比，求使彈簧由25 cm伸長(zhǎng)到40 cm所做的功.【謎底 】見(jiàn)地析【剖析 】設(shè)x表現(xiàn) 彈簧伸長(zhǎng)的量(單元 ：m)，表現(xiàn)

9、 加在彈簧上的力(單元 ：N).由題意，得，且事先，即，解得，那么.故將彈簧由25 cm伸長(zhǎng)到40 cm時(shí)所做的功為.【套路總結(jié)】1曾經(jīng)明白變速直線(xiàn)活動(dòng) 的方程，求在某段時(shí)辰 內(nèi)物體活動(dòng) 的位移或許通過(guò)的行程 ，確實(shí)是求速率 方程的定積分.2應(yīng)用定積分求變力做功的咨詢(xún) 題，要害 是求出變力與位移之間的函數(shù)關(guān)聯(lián) ，斷定 好積分區(qū)間，失掉積分表白 式，再應(yīng)用微積分根本定理盤(pán)算 即可.【觸類(lèi)旁通】1曾經(jīng)明白甲、乙兩車(chē)由統(tǒng)一 同點(diǎn)同時(shí)動(dòng)身 ，并沿統(tǒng)一 道路(假設(shè) 為直線(xiàn))行駛.甲車(chē)、乙車(chē)的速率 曲線(xiàn)分不為跟 (如下列圖).那么對(duì)于 圖中給定的t0跟 t1，以下推斷 中必定 準(zhǔn)確 的選項(xiàng)是A在t1時(shí)辰，

10、甲車(chē)在乙車(chē)前面 Bt1時(shí)辰后，甲車(chē)在乙車(chē)前面C在t0時(shí)辰，兩車(chē)的地位一樣 Dt0時(shí)辰后，乙車(chē)在甲車(chē)前面【謎底 】A 【剖析 】由圖可知，曲線(xiàn)，直線(xiàn)跟 t軸所圍成圖形的面積年夜 于曲線(xiàn)，直線(xiàn)跟 t軸所圍成圖形的面積，那么在t0時(shí)辰，甲車(chē)在乙車(chē)前面，故C過(guò)錯(cuò) ；同理，在t1時(shí)辰，甲車(chē)在乙車(chē)前面，故A準(zhǔn)確 ，D過(guò)錯(cuò) ；t1時(shí)辰后，甲車(chē)會(huì)搶先乙車(chē)一小段時(shí)辰 ，但從兩曲線(xiàn)的趨向可猜測(cè) 總會(huì)有某時(shí)辰乙車(chē)會(huì)超越甲車(chē)，故B過(guò)錯(cuò) .【應(yīng)用 套路】-紙上得來(lái)終覺(jué)淺,絕知此事要躬行10121-x2dx= 。【謎底 】2 【剖析 】函數(shù)y=1-x2表現(xiàn) 單元 圓位于x軸上方的局部，聯(lián)合 定積分的多少 何意思 跟 定積

11、分的運(yùn)算法那么可得：0121-x2dx=2011-x2dx=21412=2.2假設(shè) 函數(shù)fx=Asinx-6A0,0的圖象如下列圖，那么圖中的暗影局部的面積為 ?！局i底 】2-34 【剖析 】由圖可知，A=1，T2=3-(-6)=2，即T=.=2，那么f(x)=sin(2x-6).圖中的暗影局部面積為S=-012sin(2x-6)dx=12cos(2x-6)120=12cos(6-6)-cos(-6)=12(1-32)=2-343從圖示中的長(zhǎng)方形地區(qū) 內(nèi)任取一點(diǎn)M，那么點(diǎn)M取自圖中暗影局部的概率為 ?！局i底 】13 【剖析 】圖中暗影局部的面積為013x2dx=x3|01=1，長(zhǎng)方形地區(qū) 的面

12、積為133，因而，點(diǎn)M取自圖中暗影局部的概率為134假設(shè) ，那么的巨細(xì) 關(guān)聯(lián) 為 ?！局i底 】 【剖析 】，因而 .5.曾經(jīng)明白函數(shù)為偶函數(shù)，且，那么_.【謎底 】16 【剖析 】因?yàn)?函數(shù)為偶函數(shù)，因而 .6.假設(shè) ，那么實(shí)數(shù)即是 _.【謎底 】-1 【剖析 】取，那么，因而 ，解得.7物體以的速率 在不斷線(xiàn)上活動(dòng) ，物體在直線(xiàn)上，且在物體的正后方5m處，同時(shí)以的速率 與同向活動(dòng) ，動(dòng)身 后物體追上物體所用時(shí)辰 為 【謎底 】5s 【剖析 】物體A通過(guò)ts行駛的行程 為，物體B通過(guò)ts行駛的行程 為，那么有，解得t=5.10.曾經(jīng)明白函數(shù)，那么 .【謎底 】 【剖析 】，此中 ，由定積分的多

13、少 何意思 可知，其表現(xiàn) 半徑為的圓的面積的，即，故.故填.11如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)，暗影局部是由兩曲線(xiàn)圍成，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，且此點(diǎn)取自暗影局部的概率是，那么函數(shù)的值域?yàn)開(kāi).【謎底 】 【剖析 】設(shè)暗影局部的面積為S，那么，又正方形的面積為1，因而 .故，那么的值域?yàn)?12曾經(jīng)明白函數(shù)f(x)=cosx,x-2,01-x2,x(0,1，假設(shè) -21f(x)dx=_【謎底 】1+4【剖析 】由曾經(jīng)明白得-20cosxdx+011-x2dx=sinx|-20+4=1+4.13定積分e1(x-1-x2)dx的值為_(kāi).【謎底 】12-4【剖析 】01x-1-x2dx=01xdx-011-x

14、2dx，此中 011-x2dx的多少 何意思 為函數(shù)y=1-x2與直線(xiàn)x=0,x=1及x軸所圍成的圖形的面積，即圓x2+y2=1在第一象限的局部的面積，其值為4.而01xdx=12x2|01=1212-1202=12.因而 原式=12-4.故謎底 為：12-4.14曾經(jīng)明白界說(shuō) 在R上的函數(shù)fx與gx，假設(shè) 函數(shù)fx為偶函數(shù)，函數(shù)gx為奇函數(shù)，且0afxdx=6，那么-aafx+2gxdx=_【謎底 】12.【剖析 】函數(shù)fx為偶函數(shù)，函數(shù)gx為奇函數(shù)，函數(shù)fx的圖象對(duì)于 y軸對(duì)稱(chēng)，函數(shù)gx的圖象對(duì)于 原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)-aafxdx=20afxdx=12，-aagxdx=0，-aafx+2gxdx=-

15、aafxdx+2-aagxdx=1215曾經(jīng)明白212(k+1)dx4，那么實(shí)數(shù)k的取值范疇 是_【謎底 】1,3【剖析 】依題意得12k+1dx=k+1x|12=k+1，即2k+14，解得1k3.故k的取值范疇 是1,3.16-4416-x2dx+-22x3dx=_【謎底 】8【剖析 】因?yàn)?y=16-x2表現(xiàn) 圓心在原點(diǎn)，半徑為4的圓的上半局部，故-4416-x2dx =1242=8.-22x3dx =x44|-22=0.故原式=8.17盤(pán)算 由直線(xiàn)y=x-4,曲線(xiàn)y=2x以及x軸所圍圖形的面積S 為 ?！局i底 】403【剖析 】做出草圖如下， 解方程組y=2xy=x-4 ，失掉交點(diǎn)為8,4，直線(xiàn)y=x-4與x軸的交點(diǎn)為4,0，因而，由y=2x與y=x-4，以及x軸所求圖形面積為：042xdx+482x-x+4dx=22x04+22x-12x2+4x48=40318求-22(x2sinx+ex)dx的值 。【謎底 】e2-1e2【剖析 】y=x2sinx為奇函數(shù)，-22(x2sinx)dx=0-22(x2sinx+ex)