2021-2022學年高二物理競賽課件：能帶的計算方法

1、能帶的計算方法能帶的計算方法對于三維的周期場中的單電子問題，通常采用各種近似方法求解。首先，選取某個具有布洛赫函數(shù)形式的完全集，把晶體電子態(tài)的波函數(shù)用此函數(shù)集展開，然后代人薜定諤方程，確定展開式的系數(shù)所必須滿足的久期方程，據(jù)此可求得能量本征值，再依照逐個本征值確定波函數(shù)展開的系數(shù)。選擇不同的函數(shù)集合，有不同的計算方法。借助快速大容量的電子計算機，使實際的計算更快捷。能帶的計算方法一、平面波方法平面波方法：以波矢相差一個倒格子矢量的一組平面波作為基函數(shù)。勢能是具有晶格周期性的函數(shù)，可以展開成傅里葉級數(shù)：其中，Gm是倒格子矢量，Gm=m1b1+m2b2+m3b3b1,b2,b3是晶體的倒格子基矢，

2、m1,m2,m3是整數(shù)。傅里葉展開系數(shù)：原胞能帶的計算方法一、平面波方法展開后代入：得到本征能量值En(k)平面波方法概念簡單，結(jié)果物理意義清晰。缺點是需要大量平面波的組合來表示Bloch函數(shù)，計算量大，收斂速度很慢。能帶的計算方法二、正交化平面波方法平面波方法計算固體能帶的優(yōu)點是概念簡單明了，缺點是收斂很慢，即使借助現(xiàn)代高速大容量的計算機作計算也不現(xiàn)實，于是CHerring提出了正交化平面波方法。其基本思想是展開波函數(shù)的基不但含有動量k+K較小的平面波成分，還有原子核附近具有大動量的孤立原子波函數(shù)的成分，并且與孤立原子芯態(tài)波函數(shù)組成布洛赫正交，這種基函數(shù)稱為正交化平面波。二、正交化平面波方法

3、1940年 Herring提出了OPW 方法，取波函數(shù)為平面波和緊束縛波函數(shù)的線性組合，并要求與離子實不同殼層緊束縛波函數(shù)正交，從而自然地兼顧了波函數(shù)在離子實附近以及在離子之間應有的特征，求解時，往往只需要取幾個正交平面波，結(jié)果就很好了。其中： 是一個平面波， 是一個原子波函數(shù)，對 求和要遍及所有被電子占據(jù)的原子殼層，例如 Na 要對 1s,2s,2p殼層求和，系數(shù) 的選擇要使代表3s 的 與芯函數(shù) 正交。能帶的計算方法能帶的計算方法二、正交化平面波方法能帶的計算方法二、正交化平面波方法使用OPW方法很方便的求出了 Li 的價帶，求出了半導體 Si 和 Ge的能帶。從上圖可以看出：（a）是平面

4、波，（b) 是離子實波，（c）是正交化平面波。后者本身包括了電子在離子實區(qū)的多次振蕩特征，已經(jīng)十分接近真實波函數(shù)了。因此正交平面波法是描述價帶和導帶電子波函數(shù)（即外層電子）的好表象，是定量計算能帶的重要方法。能帶的計算方法三、贗勢方法贗勢方法：在求解固體的單電子波動方程時，用假想的勢能代替離子實內(nèi)部的真實勢能，若不改變電子的能量本征值及其在離子實之間區(qū)域的波函數(shù)，則這個假想的勢能叫贗勢。 OPW 方法中，函數(shù) 具有我們所要求的特點，在遠離離子實時， 可以忽略不計， 是一個平面波。在離子實處，原子波函數(shù)是顯著的，引起快速振蕩的作用。如下圖 a 所示。如果將 代入薛定諤方程并整理各項，則有：能帶的

5、計算方法三、贗勢方法式中：正交化項起著抵消勢能的作用，給出一個弱得多的有效勢。上述結(jié)果很有趣，有效勢場不是 U，而是 U，通常 UU ，起作用的是一個很弱的勢U，被稱作贗（假的、偽造的）勢給出的波函數(shù)叫贗波函數(shù)。能帶的計算方法三、贗勢方法能帶的計算方法三、贗勢方法能帶的計算方法三、贗勢方法綜上所述，我們可以找出一個贗波動方程，它與嚴格的Bloch函數(shù)的能量本征值相同，因此計算能帶時可以不必先求Bloch函數(shù)，而是先求解贗勢，然后用贗波動方程求解出平滑函數(shù)所對應的能量 Ek 值。這就是建立在OPW基礎(chǔ)上的贗勢方法。能帶的計算方法四、綴加平面波方法 1937年Slater 從原胞法結(jié)果中發(fā)現(xiàn)晶體離子之間的廣大區(qū)域里，晶體勢幾乎沒有變化，因此采用了一種特殊的勢重新求解?！癿uffin-tin” （糕模勢）在離子實處就是自由離子勢，在離子實外面嚴格是一個常數(shù)（見下頁圖）。因此波函數(shù)為在 時是平面波：而在 時，為原子波函數(shù)。r0 是離子