專題天體運動的三大難點破解3-剖析宇宙中的雙星、三星模型(講義)

1、1 12 21 2 1 21 21 2高中物理剖析宇宙中的雙星、三星模型一、考點突破： 考點課程目標備注1.2.掌握雙星、三星模型的向心力來 源；雙星問題是萬有引力定律在天文學(xué)雙星、3. 上的應(yīng)用的一個重要內(nèi)容，主要考 4.會根據(jù)萬有引力定律求解雙星、 查轉(zhuǎn)動星體向心力來源及參數(shù)之間三星模型三星模型的周期，線速度等物理 量；5.6.掌握兩種模型的特點。的關(guān)系，高考重點，屬于高頻考點中等難度，命題形式選擇題居多。二、重難點提示：重點：1.根據(jù)萬有引力定律求解雙星、三星模型的周期，線速度等物理量；2.雙星、三星兩種模型的特點。難點：雙星、三星模型的向心力來源。一、雙星模型繞公共圓心轉(zhuǎn)動的兩個星體組

2、成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)，如圖所示，雙星系統(tǒng)模 型有以下特點：（1）各自需要的向心力由彼此間的萬有引力相互提供即Gm m Gm m 1 2 m r ， 1 2 L2 L2m r ；（2）兩顆星的周期及角速度都相同即 T T ， ；（3）兩顆星的半徑與它們之間的距離關(guān)系為r r L；（4）兩顆星到圓心的距離 r 、r 與星體質(zhì)量成反比1 / 51 2即m r1 2m r2 1；（5）雙星的運動周期L3T2 ； G ( m m )1 2（6）雙星的總質(zhì)量公式m m 4 2 L3 T 2 G。二、三星模型第一種情況：三顆星連在同一直線上，兩顆星圍繞中央的星（靜止不動）在同一半徑為 R 的圓軌道上

3、運行。特點：1.周期相同；2.三星質(zhì)量相同；3.三星間距相等；4.兩顆星做圓周運動的向心力相等。原理：A、C 對 B 的引力充當(dāng)向心力，即：可得：，T 4R 35Gm5Gm R，同理可得線速度： 。2 R第二種情況：三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿等邊三角形的外接圓軌道運行。特點：1.運行周期相同；2.半徑相同；3.質(zhì)量相同；2 / 5合 4.所需向心力相等。原理：B、C 對 A 的引力的合力充當(dāng)向心力，即：Gm 2 4 2 F 2 cos 30 m rR 2 T 2，其中3r R3，可得：運行周期T 2RR3Gm。例題 1 如圖，質(zhì)量分別為 m 和 M 的兩顆星球 A 和 B 在引力作

4、用下都繞 O 點做勻速圓周運 動，星球 A 和 B 兩者中心之間距離為 L。已知 A、B 的中心和 O 三點始終共線，A 和 B 分別在 O 的兩側(cè)。引力常數(shù)為 G。（1）求兩星球做圓周運動的周期。（2）在地月系統(tǒng)中，若忽略其他星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A 和 B， 月球繞其軌道中心運行的周期記為 T 。但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周1運動的，這樣算得的運行周期為 T 。已知地球和月球的質(zhì)量分別為 5.981024kg 和27.351022kg。求 T 與 T 兩者平方之比。（結(jié)果保留 3 位有效數(shù)字）2 1思路分析：（1）A 和 B 繞 O 做勻速圓周運動，它們

5、之間的萬有引力提供向心力，則 A 和 B 的向心力相等。且 A 和 B 和 O 始終共線，說明 A 和 B 有相同的角速度和周期。因此有m 2r M2 R，r R L，連立解得R m M L ， r Lm M m M。對 A 根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得GMm 2 M m ( ) 2 LL2 T M m，化簡得：T 2L3 G ( M m)。（2）將地月看成雙星，由得T 21L3 G( M m)。將 月 球 看 作 繞 地 心 做 圓 周 運 動 ， 根 據(jù) 牛 頓 第 二 定 律 和 萬 有 引 力 定 律 得GMm 2 m ( ) 2 LL2 T。3 / 51 2 1 2合 化簡得：T

6、 22L3GM。所以兩種周期的平方比值為T m M 5.98 10 24 7.35 10 ( 2 ) 2 T M 5.98 10 24 1221.01答案：（1）T 2L3 G ( M m)（2）1.01例題 2 宇宙中存在一些離其他恒星較遠的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常 可忽略其他星體對它們的引力作用。已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式 :一 種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為 R 的圓軌道上運行;另一種形 式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行。設(shè)每個 星體的質(zhì)量均為 m。（1）試求第一種形式下，星體運動的線速度和

7、周期。（2）假設(shè)兩種形式下星體的運動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應(yīng)為多少?思路分析：（1）對于第一種運動情況，以某個運動星體為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律 和萬有引力定律有：Gm 2 Gm 2 F = ， F R 2 (2 R) 2，F(xiàn) +F =mv2/R運動星體的線速度:v=5Gm R2R；周期為 T，則有 T=2 Rv，T=4R 35Gm。（2）設(shè)第二種形式星體之間的距離為 r，則三個星體做圓周運動的半徑為 R=r / 2cos 30。由于星體做圓周運動所需要的向心力靠其他兩個星體的萬有引力的合力提供，由力的合成和牛頓運動定律有：F =2Gmr 22cos30，4 / 5合 2 1

8、1 1 22 2 3 1 1 1 1 2F =m4 2T 2R，12()所以 r=5答案：（1）13R。5Gm R R 342R 5Gm（2）12(51) 3 R【知識脈絡(luò)】一、滿分訓(xùn)練：我們的銀河系的恒星中大約四分之一是雙星。某雙星由質(zhì)量不等的星體 S1和 S 構(gòu)成，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點 C 做勻速圓周運動。 由天文觀察測得其運動周期為 T，S 到 C 點的距離為 r ，S 和 S 的距離為 r，已知引力常量為 G。由此可求出 S 的質(zhì)量為（） 42r 2 ( r r ) 4 rA. B.GT 2 GT 2C.4 2 rGT 23D.4 2 rGT22r1思路分析：雙星的運動周期是一樣的