初中數(shù)學北師大八年級下冊（2023年修訂）綜合與實踐《平面圖形的鑲嵌》教學設計

1、綜合實踐課程之平面圖形的鑲嵌教學設計成都七中育才學校 汪夢瑤教材分析 “平面圖形的鑲嵌”是北師大八年級數(shù)學下冊綜合實踐課程，是在學生理解并掌握圖形的平移、旋轉及多邊形的內角和與外角和等幾何概念的基礎上，把數(shù)學知識應用于實際生活之中。體現(xiàn)了多邊形在現(xiàn)實生活中的應用價值， 也是開發(fā)、培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維的一個重要渠道。本節(jié)內容為1課時，讓學生經歷探索多邊形的鑲嵌的過程，感受正三角形、四邊形和正六邊形可以平面鑲嵌，可以運用解不定方程來確定多元鑲嵌的可實行性，并能運用這幾種圖形進行簡單的平面鑲嵌設計。教學目標（1）通過探索平面圖形的鑲嵌，使學生了解平面圖形鑲嵌的概念，了解任意正三角形、四邊形或正六邊形可

2、以鑲嵌平面圖形，并能運用這幾種圖形進行簡單的平面圖形鑲嵌設計；（2）運用列不定方程來驗證多元鑲嵌的可能性；（3）培養(yǎng)學生觀察、動手操作能力。（4）引導學生在圖形鑲嵌和拼圖解題的過程中，通過觀察、判斷、歸納、總結并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律去解決一些實際問題，進一步發(fā)展學生的合情推理能力。（5）讓學生在活動中感受數(shù)學的美，進一步發(fā)展學生的審美情趣。教學重點探索多邊形鑲嵌要素以及多邊形鑲嵌要素的過程。教學難點尋找多邊形鑲嵌的要素,并如何運用鑲嵌的要素解決問題。教學過程設置情景，引入課題概念設置情景：老師買新房要裝修地板，請同學們幫忙出出主意。首先向同學們展示班上同學事先給老師拍攝的家庭地磚照片和

3、老師嘗試的失敗案例(如圖).提問學生這些成功的地磚有什么共同特征？從以下三個方面著手： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 每種鋪法用了幾種基本圖形？ = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 這些基本圖形的形狀、大小有什么特點？ = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 有無縫隙、重疊？共同特征：這些圖案是用一種或幾種形狀相同的圖形組成的;這些圖形不但是形狀相同，而且大小也一樣,也就是全等的圖形;這些圖形與圖形之間沒有縫隙，也沒有重疊。3、引入本課課題及“平面圖形的鑲嵌”的概念歸納:這些圖案是“用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此間不留空隙、不重疊地

4、鋪成一片”，這就是數(shù)學上“平面圖形的鑲嵌”，又稱做“平面圖形的密鋪”。這節(jié)課，我們一起來進行課題學習“平面圖形的鑲嵌”。多媒體投影本課課題及“平面圖形的鑲嵌”的概念:用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這叫做平面圖形的鑲嵌，或平面圖形的密鋪.二、拼接紙片，探索鑲嵌條件1、用正三角形、正方形、正五邊形正六邊形硬紙片模擬鋪地面磚同學們之前的分析幫助老師知道了要想成功鋪出地磚，就要實現(xiàn)鑲嵌的事例導入。請同學分別用正三角形、正方形、正五邊形和正六邊形硬紙片拼接圖形,彼此間不留空隙、不重疊地鋪成一片（如圖）,同學們分組同步拼接, 老師在一旁指導。分組討論后

5、請小組到黑板上來擺出拼接的圖案。在動手過程中，同學們發(fā)現(xiàn)，可以實現(xiàn)鑲嵌的有：正三角形、正方形和正六邊形，而正五邊形無法實現(xiàn)鑲嵌。讓學生想一想下列問題, 分組討論、交流, 探索多邊形鑲嵌的要素？讓學生討論得出: = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 因為正六邊形的每一個內角是1200，在每一個拼接頂點處有3個正六邊形, 分別有一個內角,它們彼此相鄰,這三個內角的和是360。如圖，正三角形、正方形鑲嵌也滿足以拼接點為頂點的各角之和為360o。 從第 看出,如果一種平面圖形能鑲嵌,那么這種圖形的若干個內角的和是多少度? 讓學生討論得出:如果一種平面圖形能鑲嵌,那么這種圖形的若干個內角的和是

6、360. 正五邊形的每個內角是多少度?它的若干個內角的和能等于360o嗎?想一想,全等的正五邊形能鑲嵌嗎?讓學生討論得出:不能。因為正五邊形的每一個內角是1080，不存在正整數(shù)，使成立，所以只用正五邊形不能進行鑲嵌。(如圖）由上得出多邊形鑲嵌的要素:以拼接點為頂點的各角之和為360o。進一步得到正多邊形能夠鑲嵌的條件是：正多邊形的內角讀書是360的因數(shù)。2、用老師只能買到邊角余料的事例導入用不規(guī)則四邊形鋪地板，讓學生深入理解鑲嵌的要素。讓學生分小組動手操作看看是否能將形狀大小完全相同的不規(guī)則四邊形實現(xiàn)鑲嵌呢？你是怎么做到的呢？為了輔助學生操作并且歸納，老師將每一塊四邊形的內角都編號。我們知道，

7、任意四邊形的內角和為，即。把一批形狀、大小完全相同但不規(guī)則的四邊形邊角余料用來鋪地板，按照圖示拼接，只需要將每一個內角都放置在一個拼接頂點處，就可以不留空隙，鋪成一大片（演示大面積拼法）。（在活動過程中，可能會有學生將不相等的邊拼接在一起產生了不同的鑲嵌方式，將思考這兩類不同的鑲嵌方式的根本區(qū)別、是否都能大面積密鋪、哪一種方式更方便鋪滿整個平面作為課后思考題。）三、開放操作，培養(yǎng)動手能力感受數(shù)學之美1、用2種基本圖形實現(xiàn)鑲嵌，進一步鞏固鑲嵌的要素在經歷使用一種基本圖形實現(xiàn)鑲嵌之后，引導學生使用2種基本圖形實現(xiàn)多元鑲嵌。在這一環(huán)節(jié)中，學生通過動手操作可能會拼接出各樣的圖形，但是很多孩子會忽略掉鑲

8、嵌的要素而只是通過直觀層面看可否拼接。分組活動后請2到3個小組上臺展示成果，這時老師需要在黑板上明確演算360度的計算過程，讓孩子們明確手工操作有誤差，要確認是否可以鑲嵌還是要回歸到要素的計算上面去。利用解不定方程來確定多元鑲嵌是否能夠實現(xiàn)在上一環(huán)節(jié)中學生操作了用2種基本圖形來鑲嵌，老師提問：在同學們手上沒有模型的情況下，能不能解決正三角形和正八邊形是否能夠鑲嵌的問題呢？請學生思考并請同學作答。我們知道正三角形的內角為，正八邊形內角為，假設在一個頂點處有個正三角形，個正八邊形，如果能夠實現(xiàn)鑲嵌，則需要滿足，化簡可得，結合都是正整數(shù)故而無解。通過計算過程，學生借助簡單的不定方程來解決鑲嵌問題。課堂升華，感受數(shù)學之美首先老師展示一個較為簡單的鑲嵌過程，讓學生感受可以通過剪切、平移、粘貼來進行鑲嵌設計、鑲嵌不僅僅局限于多邊形。接下來通過微課展示一個相對復雜的鑲嵌設計，鼓勵學生設計自己的鑲嵌圖形。微課演示老師設計鑲嵌圖形的過程，引導學生通過剪切、重拼、粘貼、裝飾，挑戰(zhàn)老師設計出更美麗的鑲嵌圖案。將設計好的作品粘貼