復(fù)變函數(shù)與積分變換柯西積分定理

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換柯西積分定理第1頁，共14頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)12分，星期二問題:復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)滿足什么條件在單連通區(qū)域D內(nèi)沿閉路徑的積分為零?要使只要這只須u與v具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且ux=vy, uy=-vx.Cauchy： 若f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析,且f(z)連續(xù),則對D內(nèi)任意閉曲線C有第2頁，共14頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)12分，星期二Cauchy-Coursat定理: 若f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析,則對D內(nèi)任意閉曲線C有第3頁，共14頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)12分，星期二二、原函數(shù)與不定積分推論：如果函數(shù) f

2、(z)在單連通域D內(nèi)處處解析, C屬于D，與路徑無關(guān)僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。其中C： 。固定z0,z1=z在D內(nèi)變化,于是 在D內(nèi)確定了關(guān)于z的單值函數(shù):變上限積分。第4頁，共14頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)12分，星期二定理2 如果函數(shù) f (z)在單連通域D內(nèi)解析, 則F(z) 在D內(nèi)也是解析的，且證明：第5頁，共14頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)12分，星期二因f(z)在D內(nèi)解析，故f(z)在D內(nèi)連續(xù)第6頁，共14頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)12分，星期二特別地定義：若在單連通區(qū)域D內(nèi)恒有F(z)=f(z),則稱F(z)為f(z)的一個原函數(shù).f(z)的原函數(shù)的全體稱為f(z

3、)的不定積分,記為解析函數(shù)的原函數(shù)仍為解析函數(shù)第7頁，共14頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)12分，星期二例題1C 如圖所示： 存在 f (z)的解析單連通域D包含曲線 C ，故積分與路徑無關(guān)，僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。解：從而第8頁，共14頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)12分，星期二這里D為復(fù)連通域。第9頁，共14頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)12分，星期二可將柯西積分定理推廣到多連通域的情況，有定理2 假設(shè)C及C1為任意兩條簡單閉曲線, C1在C內(nèi)部,設(shè)函數(shù) f (z)在C及C1所圍的二連域D內(nèi)解析, 在邊界上連續(xù)，則證明：取這說明解析函數(shù)沿簡單閉曲線積分不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值。-閉路變形原理第10頁，共14頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)12分，星期二推論（復(fù)合閉路定理）：(互不包含且互不相交)， 所圍成的多連通區(qū)域， 第11頁，共14頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)12分，星期二例題2C為包含0與1的任何正向簡單閉曲線。解： （由閉路變形原理）第12頁，共14頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)12分，星期二第13頁，共14頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)12分，星期二 從以上例子可以看出，復(fù)合閉路定理可以把沿任意簡單閉曲線上的積分化為以所圍奇點(diǎn)為中心的圓周上的積分，也就是說，閉曲線任意變形，只要在變形過程中不經(jīng)過函數(shù)f(z)的奇點(diǎn)，則