新編第四章?lián)Q元積分法課件

1、新編第四章?lián)Q元積分法新編第四章?lián)Q元積分法問題？解決方法利用復合函數(shù)，設置中間變量.過程令一、第一類換元法說明結果正確問題？解決方法利用復合函數(shù)，設置中間變量.過程令一、第一類換將上例的解法一般化：設則如果（可微）將上述作法總結成定理，使之合法化，可得換元法積分公式將上例的解法一般化：設則如果（可微）將上述作法總結成定理，使第一類換元公式（湊微分法）說明使用此公式的關鍵在于將化為觀察重點不同，所得結論不同.定理1第一類換元公式（湊微分法）說明使用此公式的關鍵在于將化為觀察注定理說明：若已知則因此該定理的意義就在于把中的換成另一個的可微函數(shù)后，式子仍成立又稱為積分的形式不變性這樣一來，可使基本積分

2、表中的積分公式的適用范圍變得更加廣泛。由定理可見，雖然是一整體記號，但可把視為自變量微分湊微分注定理說明：若已知則因此該定理的意義就在于把中的換成另一個湊微分法就在湊微分上，其基本思想就是對被積 表達式進行變形，主要考慮如何變化湊微分法的基本思路： 與基本積分公式相比較，將不同的部分中間變量和積分變量變成相同步驟：湊微分；換元求出積分；回代原變量例1 求解（一）湊微分法就在湊微分上，其基本思想就是對被積湊微分法的基本思解（二）解（三）例2 求解解（二）解（三）例2 求解一般地例3 求解一般地例3 求解例4 求解例4 求解例5解例6 求解例5解例6 求解例7解注意：分子拆項是常用的技巧例7解注意

3、：分子拆項是常用的技巧例8 求解例8 求解例9 求解例9 求解例10 求解例10 求解例11 求原式例11 求原式例12 求解或例12 求解或例13 求解說明當被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇次項去湊微分.例13 求解說明當被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇次項去湊例14 求解例14 求解例15 求解（一）（使用了三角函數(shù)恒等變形）例15 求解（一）（使用了三角函數(shù)恒等變形）解（二）解（三）解（二）解（三）類似地可推出類似地可推出解例16 設 求 .令解例16 設 例17 求解例17 求解例18解（一）分子分母同乘以例18解（一）分子分母同乘以解（二）分子分母和差化積解（三）分子恰為分母的導數(shù)解

4、（二）分子分母和差化積解（三）分子恰為分母的導數(shù)新編第四章?lián)Q元積分法 第一類換元積分法在積分中是經(jīng)常使用的方法，不過如何適當?shù)剡x取代換卻沒有一般的規(guī)律可循，只能具體問題具體分析。要掌握好這種方法，需要熟記一些函數(shù)的微分公式，并善于根據(jù)這些微分公式對被積表達式做適當?shù)奈⒎肿冃危礈惓龊线m的微分因子。 第一類換元積分法在積分中是經(jīng)常使用的方法，問題解決方法改變中間變量的設置方法.過程令（應用“湊微分”即可求出結果）二、第二類換元法問題解決方法改變中間變量的設置方法.過程令（應用“湊微分”即證設 為 的原函數(shù),令則則有換元公式定理2證設 為 第二類積分換元公式第二類積分換元公式例19 求解令例19

5、求解令例20 求解令例20 求解令例21 求解令例21 求解令說明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當被積函數(shù)中含有可令可令可令注意：所作代換的單調性。對三角代換而言，掌握著取單調區(qū)間即可。說明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉說明(2)積分中為了化掉根式除采用三角代換外還可用雙曲代換.也可以化掉根式例 中, 令說明(2)積分中為了化掉根式除采用三角代換外還可用雙曲代換.說明(3) 積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換（或雙曲代換）并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定.例22 求（三角代換很繁瑣）解令說明(3) 積分中為了化掉根式是否例23 求解令例23 求解令說明(4)當分母的階較高時, 可采用倒代換例24 求解令說明(4)當分母的階較高時, 可采用倒代換例24 求解令例25 求解令（分母的階較高）例25 求解令（分母的階較高）新編第四章?lián)Q元積分法說明(5)當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式 時，可采用令 （其中 為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)） 例26 求解令說明(5)當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式 新編第四章?lián)Q元積分法基本積分表基本積分表新編第四章?lián)Q元積分法三、小結兩類積分換元法