安徽高考高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)歸納及常用公式和結(jié)論

1、2022 年安徽高考高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)歸納在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)有相反的單調(diào)性 如所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜,應(yīng)先等價(jià)變形,再判定其奇偶性第一部分集合6函數(shù)的單調(diào)性: 1. 懂得集合中元素的意義 是解決集合問(wèn)題的關(guān)鍵：元素是函數(shù)關(guān)系中自變量的取值？仍是因變量的單調(diào)性的定義：取值？仍是曲線上的點(diǎn)？2 . 數(shù)形結(jié)合 是解集合問(wèn)題的常用方法：解題時(shí)要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋恩圖等工具,將抽象的代數(shù)問(wèn)題詳細(xì)化、形象化、直觀化,然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決f x 在區(qū)間 M 上是增函數(shù)x 1,x2M,當(dāng)x1x2時(shí)有f x 1f x2；f x 在區(qū)間 M 上是減函數(shù)

2、x 1,x2M,當(dāng)x1x2時(shí)有f x 1f x 2；3. 1 元素與集合的關(guān)系：xAxC A ,xC AxA . 單調(diào)性的判定：定義法：一般要將式子fx 1fx2化為幾個(gè)因式作積或作商的形式,以利于判（2）德摩根公式：C UAIBC AUC B C UAUB C AIC B. （3） AIBAAUBBABC BC AAIC BC AUBR斷符號(hào)；導(dǎo)數(shù)法（見(jiàn)導(dǎo)數(shù)部分）；復(fù)合函數(shù)法；圖像法注：證明單調(diào)性主要用定義法和導(dǎo)數(shù)法；7函數(shù)的周期性：留意：爭(zhēng)論的時(shí)候不要遺忘了A的情形 . （4）集合a a2, L , a n 的子集個(gè)數(shù)共有2 n 2 個(gè). n 2個(gè)；真子集有 2 n 1 個(gè)；非空子集有2n

3、 1 個(gè)；1 周期性的定義：對(duì)定義域內(nèi)的任意x ,如有fxTfx（其中 T 為非零常數(shù)） ,就稱函非空真子集有數(shù)fx為周期函數(shù), T 為它的一個(gè)周期； 全部正周期中最小的稱為函數(shù)的最小正周期；如沒(méi)有4是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 特殊說(shuō)明,遇到的周期都指最小正周期；其次部分函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（2）三角函數(shù)的周期：ysinx:T2；ycosx:T2；ytanx:T；1映射： 留意 : 第一個(gè)集合中的元素必需有象；一對(duì)一或多對(duì)一. 2函數(shù)值域的求法：分析法；配方法；判別式法；利用函數(shù)單調(diào)性；換元法；yAsinx,yAcosx:T|2|；ytanx:T|利用均值不等式aba2ba22b2； 利

4、用數(shù)形結(jié)合或幾何意義（斜率、距離、3 與周期有關(guān)的結(jié)論：肯定值的意義等） ；利用函數(shù)有界性（x a 、sinx、cosx等）；平方法；導(dǎo)數(shù)法fxafxa或fx2afxa0 fx 的周期為2 a3復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題: 8基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)：（1）復(fù)合函數(shù)定義域求法：. 指數(shù)函數(shù)：yaxa0,a1 ；對(duì)數(shù)函數(shù) :ylogaxa0 ,a1 ；如 fx 的定義域?yàn)?a,b, 就復(fù)合函數(shù)fgx的定義域由不等式a gx b解出如 fgx的定義域?yàn)?a,b,求 fx的定義域,相當(dāng)于xa,b 時(shí),求gx 的值域 . 冪函數(shù)：yx（R；正弦函數(shù) :ysinx；余弦函數(shù)：ycosx；（2）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判

5、定：第一將原函數(shù)yfgx 分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù)ug x 與外函數(shù)yfu（6）正切函數(shù)：ytanx；一元二次函數(shù)：ax2bxc0（a 0）；其它常用函數(shù)：分別爭(zhēng)論內(nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性正比例函數(shù)：yakxka0；反比例函數(shù)：ykk0；函數(shù)yxaa0依據(jù)“ 同性就增,異性就減” 來(lái)判定原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性. xx4分段函數(shù)： 值域（最值）、單調(diào)性、圖象等問(wèn)題,先分段解決,再下結(jié)論；. 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：mnm；am1（以上am nN ,且n1）. 0,nn5函數(shù)的奇偶性: man函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件. abNlogaNb；logaMNlogaMlogaN；

6、fx是奇函數(shù)fxfx；fx是偶函數(shù)fxfx. logaMlogaMlogaN； logambnnlogab. 奇函數(shù)fx在 0 處有定義,就f0 0Nm. 對(duì)數(shù)的換底公式:logaNlogmN. 對(duì)數(shù)恒等式 :alog a NN . 特殊地： fa+x=fax （xR）y=fx圖像關(guān)于直線x=a 對(duì)稱 . yyf x 的圖象關(guān)于點(diǎn) , a b 對(duì)稱faxfax2b. logam9二次函數(shù)：特殊地：yf x 的圖象關(guān)于點(diǎn) ,0對(duì)稱faxfax. 解析式：一般式：fx ax2bxc；頂點(diǎn)式：fxa xh 2k,h,k為頂點(diǎn)；函數(shù)yf xa與函數(shù)yf ax 的圖象關(guān)于直線xa 對(duì)稱 ; 零點(diǎn)式：fx

7、axx 1xx2（a 0）. 函數(shù)yfax與函數(shù)yf ax 的圖象關(guān)于直線x0對(duì)稱；12函數(shù)零點(diǎn)的求法：二次函數(shù)問(wèn)題解決需考慮的因素：直接法（求f x 0的根）；圖象法；二分法. 開(kāi)口方向；對(duì)稱軸；端點(diǎn)值；與坐標(biāo)軸交點(diǎn)；判別式；兩根符號(hào)；二次函數(shù)yax2bxc的圖象的對(duì)稱軸方程是xb,頂點(diǎn)坐標(biāo)是b,4acb2；4 零點(diǎn)定理：如y=fx在a,b上滿意 fa fb0,b0 ）的漸近線：x2y20；4求解線性規(guī)劃問(wèn)題的步驟是：a2b2a2b2（1）列約束條件； （2）作可行域,寫(xiě)目標(biāo)函數(shù)；（3）確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解；共漸進(jìn)線ybx的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為x2y2為參數(shù), 0 ）；5兩個(gè)公式 : aa2

8、b2點(diǎn) P（x 0,y 0）到直線 Ax+By+C=0的距離：dAx0A2By02C；B雙曲線為等軸雙曲線e2漸近線相互垂直；兩條平行線Ax+By+C1=0 與 Ax+By+C2=0 的距離dC12C22焦點(diǎn)三角形問(wèn)題求解：利用圓錐曲線定義和余弦定理聯(lián)立求解；3直線與圓錐曲線問(wèn)題解法：直接法（通法） ：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程,構(gòu)造一元二次方程求解；AB6圓的方程：留意以下問(wèn)題：聯(lián)立的關(guān)于“x ” 仍是關(guān)于“y ” 的一元二次方程？直線斜率不存在時(shí)標(biāo)準(zhǔn)方程：xa2yb2r2；x2y2r2；考慮了嗎？判別式驗(yàn)證了嗎？一般方程：x 2y 2Dx Ey F 0（D 2E 24 F 0 注： Ax 2+

9、Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圓 A=C 0 且 B=0且 D 2+E 24AF0 7圓的方程的求法：待定系數(shù)法；幾何法；8點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系：（主要把握幾何法）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系： （ d 表示點(diǎn)到圓心的距離）設(shè)而不求（點(diǎn)差法-代點(diǎn)作差法）： -處理弦中點(diǎn)問(wèn)題步驟如下：設(shè)點(diǎn) Ax 1, y1 、Bx 2,y 2 ；作差得 k AB y 1 y 2；解決問(wèn)題；x 1 x 24求軌跡的常用方法： （ 1）定義法：利用圓錐曲線的定義；（2）直接法（列等式） ；（3）代入法（又稱相關(guān)點(diǎn)法或坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法）；待定系數(shù)法； （5）消參法；（6）交軌法；（ 7）幾何法；第七部分平面對(duì)量n=1累乘法

10、（an1cn型）；待定系數(shù)法（an 1ka nb型）轉(zhuǎn)化為an1xkanx 1. 平面上兩點(diǎn)間的距離公式:dA Bx 2x 12y 2y 12,其中 Ax 1,y 1,Bx2,y2. an2. 向量的平行與垂直：設(shè) a =x 1,y 1, b =x2,y2,且 b0 ,就：（6）間接法（例如：an1an4anan11a114）；（7）（理科） 數(shù)學(xué)歸納法； a bb = ax y 2x y 10；annab a0 a b =0 x x2y y 20. 4前 n 項(xiàng)和的求法： 分組求和法；錯(cuò)位相減法；裂項(xiàng)法；3. a b=| a| b|cos= x 1x 2+y1y 2；5等差數(shù)列前n 項(xiàng)和最值

11、的求法：注：| a|cos叫做 a 在 b 方向上的投影；| b|cos叫做 b 在 a 方向上的投影；S 最大值an100或S n最小值an100；利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；anana b 的幾何意義： a b 等于 | a| 與| b| 在 a 方向上的投影 | b|cos的乘積；4. cos=|ab|；第九部分不等式a|b1均值不等式：aba2ba222 ba ,b0 5. 三點(diǎn)共線的充要條件：P,A,B三點(diǎn)共線uuur OPuuur xOAuuur yOB 且xy1；第八部分?jǐn)?shù)列留意：一正二定三相等；變形：aba2b2a22b2a ,bR；1定義：2極值定理： 已知x,y都是正數(shù),就有

12、：1 等差數(shù)列a na n1andd 為常數(shù),nN）ana n1d n2 2 anan1an1n,2nN*anknbS nAn2Bn1 假如積 xy是定值 p ,那么當(dāng)xy時(shí)和xy有最小值2p；等比數(shù)列anan1qq0an2an1-an1n2,nN2 假如和xy是定值 s ,那么當(dāng)xy時(shí)積 xy 有最大值1 s . 4a n3. 解一元二次不等式ax2bxc0 或0: 如a0, 就對(duì)于解集不是全集或空集時(shí), 對(duì)應(yīng)的2等差、等比數(shù)列性質(zhì)：解集為“ 大兩邊,小中間”. 如: 當(dāng)x 1x2,xx 1xx20 x 1xx2；等差數(shù)列等比數(shù)列xx 1xx 20 xx2 或xx 1. 通項(xiàng)公式a na1n

13、1 dana 1qn14. 含有肯定值的不等式：當(dāng)a0時(shí),有：xax2a2axa；前 n 項(xiàng)和S nn a 12anna 1n n1d.1q1 時(shí),Snna1;qnxax2a2xa 或 xa . 5. 分式不等式：.2q1 時(shí),Sna1 1（1）fx0fxgx0；（ 2）fx0fxgx0；21qgxgxa1anq（3）fx0fxgx0；（4）fx0fxgx0. 1qgx0gx0gxgx性質(zhì)an=am+ n md, a n=amq n-m; 6. 指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式m+n=p+q時(shí) am+an=ap+aq m+n=p+q時(shí) aman=apaq f x 0S k,S 2kS k,S 3kS 2

14、k,成 AP S k,S 2kS k,S 3kS 2k,成 GP 1 當(dāng)a1時(shí),af x ag x f x g x ；logaf x logag x g x 0. ak,a km,a k2m,成 AP,dmdak,akm,ak2m,成 GP,qqmf x g x f x 03常見(jiàn)數(shù)列通項(xiàng)的求法：2 當(dāng) 0a1 時(shí),af ag xf x g x ；logaf x logag x g x 0定義法（利用AP,GP的定義）；累加法（an1ancn型）；公式法：an= S1f x g x SnSn-1 n2 3不等式的性質(zhì)：0古典概型：PA A包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)；abba；ab,bcac；abacb

15、c；ab,cd基本領(lǐng)件的總數(shù)acbd；ab,c0acbd；ab,c0acbc；ab0 ,cd幾何概型：PA 構(gòu)成大事 A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積等）等）；試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積acbd ; ab0anbn0nN; ab0nanbnN第十二部分統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例第十部分復(fù)數(shù)1抽樣方法：1概念：簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣：一般地,設(shè)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為N,通過(guò)逐個(gè)不放回的方法從中抽取一個(gè)容量；z=a+bi Rb=0 a,b Rz= z z2 0 ；z=a+bi 是虛數(shù)b0a,b R；為 n 的樣本,且每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等,就稱這種抽樣為簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣；z=a+bi 是純虛數(shù)a=0 且 b0a,b Rz

16、 z 0（z 0 ）z20 時(shí),變量x,y正相關(guān)； r 0 （1）fxfxa ,就fx的周期 T=a；1. 容斥原理：card AUBcardAcardBcard AIBIC. （2）fxafx ,或fxa f1fx0,或f xa 1 0, xf x card AUBUCcardAcardBcardCcard AIB就fx 的周期 T=2a；card AIBcard BICcard CIAcard AIB11. 等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式 :ana1n1d, 或anamnmddanam. 2. 從集合Aa1,a2,a3,an到集合Bb 1,b2,b 3,bm的映射有n m 個(gè) . nm3. 函數(shù)的

17、的單調(diào)性：前 n 項(xiàng)和公式 : s nn a 12a nna 1n n1dd n 22a 11d n . 1 設(shè)x 1,x2a ,b,x1x2那么22x 1x 2f x 1f x 20fx 1fx20fx在a,b上是增函數(shù)；12. 設(shè)數(shù)列a n是等差數(shù)列,S 奇是奇數(shù)項(xiàng)的和,S 偶是偶數(shù)項(xiàng)的和,S 是前 n 項(xiàng)的和,就x 1x20,前 n 項(xiàng)的和SnS 奇S 偶；x 1x 2f x 1f x 20fx 1fx 20fx在a,b上是減函數(shù) . 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí),S偶S奇nd,其中 d 為公差；x 1x 222 設(shè)函數(shù)yfx在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),假如fx0,就fx為增函數(shù)；假如fx當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí),就

18、S 奇S偶a 中,S 奇n21a 中,S偶n21a中,S奇n1,就f x為減函數(shù) . S偶n14. 函數(shù)yf x 的圖象的對(duì)稱性: S 奇SnS 偶S 奇S偶n（其中a中是等差數(shù)列的中間一項(xiàng)）yf x 的圖象關(guān)于直線xa 對(duì)稱f axf axf2axf x ；S 奇S偶yf x 的圖象關(guān)于直線xa2b對(duì)稱f a x f b x f a b x f x ；13. 如等差數(shù)列an和b n的前2n1項(xiàng)的和分別為S2n1和T 2 n1,就an2 =S 2n1. kS 2k. b nT 2n,14. 數(shù)列a n是等比數(shù)列,S 是其前 n 項(xiàng)的和,nkN*,那么（S2kS k1S 3yf x 的圖象關(guān)于點(diǎn)

19、 ,0對(duì)稱fxf2axfaxfax0）S kyf x 的圖象關(guān)于點(diǎn) , a b 對(duì)稱fx2 bf2 axfaxfax2 b. 15. 分期付款 按揭貸款 ：每次仍款xab1b n元 貸款 a 元, n 次仍清 , 每期利率為 b . . 就其重心的坐標(biāo)是Gx 1x 2x 3,y 1y2y 3. . n1331b26. 點(diǎn)的平移公式xxhxxh,uuur OPuuur OPuuur PP 圖形 F 上的任意一點(diǎn)16. 裂項(xiàng)法：n111n11；2 n112n1111211；nn22 nnyykyyky ,且uuur PPa1ba1bab；nn1.1n11. 的坐標(biāo)為 , ；Px ,y 在平移后的圖

20、形F 上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 P xn.函數(shù)yfx按向量ah ,k平移后的解析式為ykfxh. 17常見(jiàn)三角不等式: （1）如x0,2,就 sinxxtanx . 27. “ 按向量平移” 的幾個(gè)結(jié)論（1）點(diǎn)P x y 按向量 a= , h k 平移后得到點(diǎn)Pxh yk . 2 函數(shù)yf x 的圖象 C 按向量 a= , 平移后得到圖象 C , 就 C 的函數(shù)解析式2 如xx0,就 12|cos x | 1. sinxcosx2. 為yf xhk . |3 | sin3 圖象 C 按向量 a= , h k 平移后得到圖象C , 如 C 的解析式y(tǒng)f x , 就 C 的函數(shù)解析式18. 正弦、余弦的誘導(dǎo)公

21、式：為yf xhk . nn4 曲線 C :f x y , 0按向量 a= , h k 平移后得到圖象 C , 就 C 的方程為f xh yk0sinn 1 sins,n 為偶數(shù)；cosn 12cos ,n 為偶數(shù). 5 向量 m= , x y 按向量 a= , 平移后得到的向量仍舊為m= , x y . n1,n 為奇數(shù) 1n1,n 為奇數(shù)22 12co2sin28.三角形四“ 心” 向量形式的充要條件：即: “ 奇變偶不變 , 符號(hào)看象限”. 如cos2sin,coscos. 設(shè) O 為 ABC 所在平面上一點(diǎn),角 A B C 所對(duì)邊長(zhǎng)分別為uuur 2 uuur 2 uuur 2（1）

22、O為 ABC的外心 OA uuur uuur OB uuur OC r . （2） O為 ABC的重心 OA uuur uuur OB uuur uuur OC 0 . uuur uuur（3） O為 ABC的垂心 OA OBuuur uuur OB OCuuur OC OAr（4） O為 ABC的內(nèi)心 aOA bOB cOC 0 . a b c ,就：. 19. 萬(wàn)能公式 :sin 212tan2；cos21tan2；tan 212tan2（正切倍角公式）1tan2tantan20. 半角公式 :tan21sin1cos. cossin29. 常用不等式：1a bRa2b22ababa22b

23、2 當(dāng)且僅當(dāng)ab 時(shí)取“=” 號(hào) 21. 三角函數(shù)變換 : 相位變換 :ysinx的圖象向左0或向右0平移個(gè)單位ysinx的圖象；2a bRa2bababa2b2 當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)取“=” 號(hào) 周期變換 :ysinx的圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)01或縮短1到原先的1倍ysinx的圖象；振幅變換 :ysinx的圖象縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)A1或縮短0A1到原先的A 倍yAsinx的圖象 . 3 a3b3c33abcabc3 abc 3 當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取“=” 號(hào) 22. 在 ABC中,有4 肯定值不等式：|a|b|ab|a|b| 留意等號(hào)成立的條件. ABCCABC2A2B2C22AB ；5111aba2ba22b

24、2a0,b0. 2absinAsinB（留意是在ABC 中） . ab23. 線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)P x y 1,P 2x2,y 2,P x y 是線段P P 的分點(diǎn) ,是實(shí)數(shù),（6）柯西不等式：a2b2c2d2acbd2 , , , , a b c dR .且uuur PP 1uuur PP 2,就xx 1x 2uuur OPuuur OP 1uuur OP 2uuur OPuuur tOP 11uuur t OP 230. 最大值最小值定理: 假如fx是閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù) , 那么fx在閉區(qū)間a,b上有最大值1yy 1y 21和最小值 . 131.fx在x 處的導(dǎo)數(shù)（或變化率或微商

25、）fx 0yx x 0lim x 0ylim x 0f x 0 xf x 0. （其中t1）. ,就 A 、 B 、 C 共線的充要條件是xy1. xx1 uuurxOBuuur 24. 如 OAuuur yOB32. 瞬時(shí)速度s t lim t0slim t0s tts t . tt25. 三角形的重心坐標(biāo)公式: ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為Ax ,y 、1 1Bx ,y 22 、Cx ,y 33 , 33. 瞬時(shí)加速度av t lim t 0vlim t 0v ttv t . uuuur OZ 1uuuur OZ 2z 1z 的實(shí)部為零z 2為純虛數(shù)|z 1z 22 |z 12 |z22 |

26、ttz 134.fx 在a,b的導(dǎo)數(shù)f ydydflim x0ylim x0f xx f x . |z 1z 22 |z 12 |z 22 |z 1z 2| |z 1z 2|acbd0z 1iz2dxdxxx 為非零實(shí)數(shù) . 35. 函數(shù)yfx在點(diǎn)x 處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)yfx在點(diǎn)0 x處的導(dǎo)數(shù)是曲線yf x 46. 對(duì)虛數(shù)單位 i , 有i4n1i,i4n21 ,i4n3i,i4n1. 在P x0,fx0處的切線的斜率f0 x,相應(yīng)的切線方程是yy 0fx 0 xx 036. 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：47. 共軛復(fù)數(shù) : 當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等, 虛部互為相反數(shù)時(shí), 這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)

27、數(shù). 如abi（1）fx0與fx為增函數(shù)的關(guān)系：fx 0能推出fx為增函數(shù),但反之不肯定. 如函數(shù)與abia,bR互為共軛復(fù)數(shù) . fx x3在,單調(diào)遞增, 但f x 0,故fx0是f x為增函數(shù)的充分不必要條件. 48.3112101或13i. （2）f x 0與f x為增函數(shù)的關(guān)系：fx為增函數(shù),肯定可以推出fx0,但反之不肯定,2249.AxByC0或0 所表示的平面區(qū)域：由于fx0,即為fx0或fx0. 當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有fx0,就fx為常數(shù),設(shè)直線l:AxByC0,就AxByC0或0 所表示的平面區(qū)域是：如B0,當(dāng) B 與 AxByC 同號(hào)時(shí),表示直線l的上方的區(qū)域；當(dāng)B與 Ax

28、ByC 異號(hào)時(shí),函數(shù)不具有單調(diào)性. fx0是fx為增函數(shù)的必要不充分條件. 表示直線 l 的下方的區(qū)域 . 簡(jiǎn)言之 , 同號(hào)在上 , 異號(hào)在下 . 如 B 0,當(dāng) A 與 Ax By C 同號(hào)時(shí),表示直線 l的右方的區(qū)域；當(dāng)A與 AxByC 異號(hào)時(shí),37. 常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù): C0（ C 為常數(shù)）；xnnxn1nQ；sinxcosx；表示直線 l 的左方的區(qū)域 . 簡(jiǎn)言之 , 同號(hào)在右 , 異號(hào)在左 . 50. 圓的方程的四種形式：cosxsinx；lnx1,logax1logae；x eex,axaxlna. （1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:xa2yb 2r2. （2）圓的一般方程:x2y2DxEyF0D

29、2E24 F 0. xx38. 可導(dǎo)函數(shù)四就運(yùn)算的求導(dǎo)法就: （3）圓的參數(shù)方程:xarcos. uvuv；uvuvu v,CuC u；uuvv2uvv0. ybrsin（4）圓的直徑式方程:xx 1xx 2yy 1yy 20v39. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法就：設(shè)函數(shù) u x 在點(diǎn) x 處有導(dǎo)數(shù)f u ,就復(fù)合函數(shù) y f u x x ,函數(shù)yyfu在點(diǎn) x 處的對(duì) 圓的直徑的端點(diǎn)是A x 1,y 1、B x 2,y2. 應(yīng)點(diǎn)U 處有導(dǎo)數(shù)uy在點(diǎn) x 處有導(dǎo)數(shù),且y u u ,或?qū)懽?1. 圓中有關(guān)重要結(jié)論: x1 如 P0 x ,0y 是圓x2y2r2上的點(diǎn) , 就過(guò)點(diǎn) Px ,y 的切線方程為x

30、x 0yy 0r2. xf f x . 2 如Px ,y0 是 圓xa2yb2r2上 的 點(diǎn) , 就 過(guò) 點(diǎn)Px0,0y 的 切 線 方 程 為40. 復(fù)數(shù)的相等：abicdiac bd . （a b c dR ）x 0axay0bybr2. 41. 復(fù)數(shù) zabi 的模（或肯定值） ： |z =|abi =2 ab2. 42. 復(fù)數(shù)的四就運(yùn)算法就：3 如 P0 x ,0y 是圓x2y22 r 外一點(diǎn) , 由 Px ,y 向圓引兩條切線, 切點(diǎn)分別為A、B,就直線1 abicdiac bd i ; 2 abicdiac bd i ; AB的方程為xx 0yy 02 r . 3 abicdiac

31、bdbcad i ; 4 如 P0 x ,y 是圓xa2yb2r2外一點(diǎn) , 由 Px ,y 向圓引兩條切線, 切點(diǎn)分別為4abicdiacbdbcadi cdi0. A、B,就直線 AB的方程為x 0axa y0b ybr2. c2d2c2d243. 復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算律：對(duì)于任何z z2,z 3C ,有：交換律 :z 1z2z 2z . 52. 圓的切線方程：結(jié)合律 :z 1z 2z 3z 1z 2z 3. 安排律 :z 1z 2z 3z 1z 2z 1z . 1 已知圓x2y2DxEyF044. 復(fù)平面上的兩點(diǎn)間的距離公式：如已知切點(diǎn)x0,y0在圓上,就切線只有一條,其方程是d|z 1z

32、2|x 2x 12y 2y 12（z 1x 1y i ,z 2x2y i ）. x xy yD x 0 xE y0yF0. 45. 向量的垂直：abi ,2zcdi 對(duì)應(yīng)的向量分別是uuuur OZ 1,uuuur OZ 2,就22非零復(fù)數(shù)1z當(dāng) x 0 , y 0 圓外時(shí) , x x y y D x 0 x E y 0 y F 0 表示過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程2 2過(guò)圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為 y y 0 k x x 0 ,再利用相切條件求 k,這時(shí)必有兩條切線,留意不要漏掉平行于 y 軸的切線斜率為 k 的切線方程可設(shè)為 y kx b ,再利用相切條件求 b,必有兩條切線2 2 2 22 已知

33、圓 x y r ,過(guò)圓上的 P 0 x 0 , y 0 點(diǎn)的切線方程為 x x y y r . 53. 橢圓 x 22 y2 21 a b 0 的參數(shù)方程是 x a cos. a b y b sin2 2 254.1 橢圓 x2 y2 1 a b 0 的準(zhǔn)線方程為 x a, 焦半徑公式 PF a ex p；a b c2 2 22 橢圓 x2 y2 1 a b 0 的準(zhǔn)線方程為 y a, 焦半徑公式 PF a ey p . b a c55. 橢圓的切線方程：2 22P 是雙曲線 x2 y2 1 a 0, b 0 上一點(diǎn) ,F 1、F2是它的兩個(gè)焦點(diǎn) , F1 P F 2 = ,就a b P F

34、1 F 2 的面積 = b 2 cot . 2260. 拋物線 y 2 2 px 上的動(dòng)點(diǎn) P x 0, y 0 可設(shè)為 P y 0 , y 0 或 P 2 pt 2 , 2 pt . 2 p61.1P 0 x , 0y 是拋物線 y 22 px 上的一點(diǎn) , F 是它的焦點(diǎn) , 就 PF x 0 p；22 拋物線 y 2 2 px 的焦點(diǎn)弦長(zhǎng) l 2 p2 , 其中 是焦點(diǎn)弦與 x 軸的夾角；sin3 拋物線 y 2 2 px 的通徑長(zhǎng)為 2 p . 62. 拋物線的切線方程：1 拋物線y22px上一點(diǎn)P x 0,y0處的切線方程是y yp xx 0. 1 橢圓x2y21 ab0上一點(diǎn)P x

35、 0,y 0處的切線方程是x xy y1. 1. （2）過(guò)拋物線y22px外一點(diǎn)P x 0,y 0所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是y yp xx 0. a2b2a2b2（3）拋物線y22px p0與直線AxByC0相切的條件是pB22AC . （2）過(guò)橢圓x2y21 ab0外一點(diǎn)P x 0,y0所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是x xy y63. 圓錐曲線F x y , 0關(guān)于點(diǎn)P x0,y0成中心對(duì)稱的曲線是F2x x- ,2y0y0. a2b2a2b264. 圓錐曲線的兩類對(duì)稱問(wèn)題（3）橢圓x2xy2y1ab0與直線AxByCx0相切的條件是2 A a22 2B ba2 c .；（1）曲線F x y0關(guān)

36、于點(diǎn)P x 0,y0成中心對(duì)稱的曲線是F2x x- ,2y 0y0. 2b 22a（2）曲線F x y0關(guān)于直線AxByC0成軸對(duì)稱的曲線是：21 a0,b0的準(zhǔn)線方程為a2, 焦半徑公式PFex p56.1 雙曲線F x 2 A Ax2A65. “ 四線” 一方程：ByC,y2 B AxByC0. a2b2cB22 A2 B2 雙曲線x2y21 a0,b0的準(zhǔn)線方程為ya2,焦半徑公式PFaeyp. 22對(duì)于一般的二次曲線Ax2BxyCy2DxEyF0,用0 x x 代2 x ,用0y y 代2 y ,bac57.1 雙曲線x2y21 a0,b0的漸近線方程為ybx；用x y2xy 代 xy

37、 ,用x 02x 代 x ,用y 02y 代 y 即得方程a2b2a2 雙曲線x2y21 a0,b0的漸近線方程為yax. Ax xBx y2xy 0Cy yDx 02xEy 02yF0,曲線的 切線,切點(diǎn)弦,中點(diǎn)弦,b2a2b弦中點(diǎn)方程 均是此方程得到. uuur A、B、C,滿意 OPuuur xOAuuur yOBuuur zOC,58. 雙曲線的切線方程：1 雙曲線x2y21 a0,b0上一點(diǎn)P x 0,y0處的切線方程是x xy y1. 66. 對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)就四點(diǎn) P、A、B、 C共面xyz1a2b2a2b2（2 過(guò)雙曲線2 xy21 a0,b0外一點(diǎn)P x 0,y0

38、所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是67. 空間兩個(gè)向量的夾角公式:cosa,ba12a 1b 1aa2b2b 1a3b 322b 32,其中2a2ba2222b3x xy y1. a2b2aa 1,a2,a 3,bb 1,b 2,b 3. 異面直線所成角的求法：coscosa,b（3）雙曲線x2y21 a0,b0與直線AxByC0相切的條件是2 A a22 B b22 c .a22 b68. 直線 AB 與平面所成角滿意 :sincosAB,mABm, 其中 m 為面的法向量 . 59.1P是橢圓x2y21 ab0上一點(diǎn) ,F 1、F2是它的兩個(gè)焦點(diǎn), F1 P F 2 = ,就a2b2ABm69.

39、二面角l的平面角滿意 : coscosm,n, 其中 m 、 n 為平面、的法向量 . P F 1 F2的面積 =b2 tan2. 70. 空間兩點(diǎn)間的距離公式: 如Ax 1,y 1,z 1Bx2,y 2,z2, 就aPA, 向量NCnCnnCn2nCnnCnmn. m 堆,其安排方法數(shù)共有dA,Bx2x 12y2mnmnmn2nn .m2z 12. yz212（2） 平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題 將相異的 m n 個(gè)物體等分為無(wú)記號(hào)或無(wú)次序的, 點(diǎn) P 在直線 l 上, 直線 l 的方向向量1b271. 點(diǎn) Q 到直線 l 的距離 :haabNCnCnnCn mn2n.CnCnmn. mnmn2nna

40、m .m .n .mb PQ . AB n72. 點(diǎn) B 到平面 的距離 : d , n 為平面 的法向量 , AB 是面 的一條斜線 , A . n73.1 設(shè)直線 OA為平面 的斜線 , 其在平面內(nèi)的射影為 OB,OA與OB所成的角為 1, OC 在平面內(nèi), 且與 OB 所成的角為 2, 與 OA 所成的角為 , 就 cos cos 1 cos 2 . 2 如經(jīng)過(guò) BOC 的頂點(diǎn)的直線 OA與 BOC 的兩邊 OB 、 OC 所在的角相等,就 OA在 BOC 所在平面上的射影為 BOC的角平分線；反之也成立 . 74. 面積射影定理 : S S 平面多邊形及其射影的面積分別是 S 、S ,

41、所在平面成銳二面角 . cos75. 分類計(jì)數(shù)原理 : N m 1 m 2 L m n . 分步計(jì)數(shù)原理 : N m 1 m 2 L m n . 76. 排列恒等式 : A n m n m 1 A n m 1； A n m nA n m1； A n mnA n m1 1；n mn n 1 n m m m 1 nA n A n 1 A ； A n 1 A n mA n . 77. 常見(jiàn)組合恒等式 : C n m n m 1C n m 1; C n m nC n m1 ; C n m nC n m1 1; kC n knC n k1 1m n m mr r r r r 1 0 1 2 r n n

42、C r C r 1 C r 2 C n C n 1 . 6 C n C n C n C n C n 2 . 7 C n 1 C n 3 C n 5 C n 0 C n 2 C n 4 2 n 1. 8 C n 1 2 C n 2 3 C n 3 nC n n n 2 n 1m m78排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系是：A n m C n79單條件排列 ：以下各條的大前提是從 n 個(gè)元素中取 m 個(gè)元素的排列 .m 1 m m 1（1）“ 在位” 與“ 不在位”：某（特）元必在某位有 A n 1 種；某（特）元不在某位有 A n A n 11 m 1 m 1 m 1（補(bǔ)集思想）A n 1 A n 1（著眼位

43、置）A n 1 A m 1 A n 1（著眼元素）種 . （2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）：定位緊貼：k k m n 個(gè)元在固定位的排列有 A kA kn mk k種. 浮動(dòng)緊貼：n 個(gè)元素的全排列把 k 個(gè)元排在一起的排法有 A n nk k1 1 A k k 種. 此類問(wèn)題常用捆綁法；插空：兩組元素分別有 k、h 個(gè)（k h 1）,把它們合在一起來(lái)作全排列,k 個(gè)的一組互不能挨h k近的全部排列數(shù)有 A hA h 1種 . （3）兩組元素各相同的插空： m 個(gè)大球 n 個(gè)小球排成一列,小球必分開(kāi),問(wèn)有多少種排法？n當(dāng) n m 1 時(shí),無(wú)解；當(dāng) n m 1 時(shí),有 A mn 1C m n1

44、 種排法 . A nn（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有 m個(gè)和 n 個(gè),各組元素分別相同的排列數(shù)為 C m n . 80安排問(wèn)題：（ 1） 平均分組有歸屬問(wèn)題 將相異的m n 個(gè)物件等分給m 個(gè)人,各得n 件,其安排方法數(shù)共有 非平均分組有歸屬問(wèn)題 將相異的 PP=n +n + 1 2 L +n m 個(gè)物體分給 m 個(gè)人, 物件必需被分完,分別得到 1n ,2n , ,n m 件,且 n ,2n , ,n m 這 m 個(gè)數(shù)彼此不相等,就其安排方法數(shù)共有N C np1 C p n 2n 1 . C n nmm m . p . m . . n 1 . n 2 . n m .（4） 非完全平均分

45、組有歸屬問(wèn)題 將相異的 PP=n +n + 1 2 L +n m 個(gè)物體分給 m 個(gè)人,物件必需被分完,分別得到 1n ,n , ,n 件,且 1n ,n , ,n 這 m 個(gè)數(shù)中分別有 a、b、c、 個(gè)相等,就其C np1 C np2n 1 . C n nm mm . p m .安排方法數(shù)有 N . a . b . c . n n 2 . n m . a b c . . .（5） 非平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題 將相異的 PP=n +n + 1 2 L +n m 個(gè)物體分為任意的 n ,n , ,n m 件無(wú)記號(hào)的 m 堆,且 1n ,n , ,n m 這 m 個(gè)數(shù)彼此不相等,就其安排方法數(shù)有 N p

46、 . n 1 . n 2 . n m .（6） 非完全平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題 將相異的 PP=n +n + 1 2 L +n m 個(gè)物體分為任意的 1n ,2 n , ,n m 件無(wú)記號(hào)的 m 堆,且 n ,n , ,n 這 m 個(gè)數(shù)中分別有 a、b、 c、 個(gè)相等,就其安排方法數(shù)有p .N . n 1 . n 2 . n m . a . b . c .（7）限定分組有歸屬問(wèn)題 將相異的 p（p n 1+ n 2 + L + n m）個(gè)物體分給甲、 乙、丙, 等 m 個(gè)人,物體必需被分完,假如指定甲得 1n 件,乙得 n 件,丙得 3n 件, 時(shí),就無(wú)論 n ,n , ,n 等m 個(gè)數(shù)是否全相異或不全相異其安排方法數(shù)恒有 N C p n 1C np 2n 1 . C n nm m p . . n 1 . n 2 . n m .n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 r n r r n n81二項(xiàng)式定理 : a b C n a C n a b C n a b C n a b C