高等數學函數與極限

1、高等數學函數與極限第1頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四01初等數學預備知識03導數與微分05不定積分07多元函數微分學02極限與連續(xù)04導數的應用06定積分08微分方程C目錄ONTENTS第2頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限3數學既是對于自然界事實的總結和歸納，如英國的哲學家培根所說“一切多依賴于我們把眼睛緊盯在自然界的事實之上”；又是抽象思考的結果，如法國哲學家笛卡爾所說“我思故我在”。這兩個方法造就了目前絢麗多彩，美麗非凡的數學，非常值得欣賞。從事科學研究，最重要的是掌握思維方法。在這里，我舉兩個例子：牛頓是

2、偉大的物理學家和數學家，他在自然哲學的數學原理中敘述了四條法則。其中“法則1：除那些真實而已足夠說明其現象者外，不必去尋找自然界事物的其他原因”。這條法則后來被人們稱作“簡單性原則”，正如愛因斯坦所說：“從希臘哲學到現代物理學的整個科學史中，不斷有人力圖把表面上極為復雜的自然現象歸結為幾個簡單的基本概念和關系。這就是整個自然哲學的基本原理。”數學之美第3頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限4函數1234小結與練習反函數函數的特性函數基本概念第4頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四一、基本概念2022/9/8函數與極限51

3、.集合:具有某種特定性質的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集第5頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限6數集分類:N-自然數集Z-整數集Q-有理數集R-實數集數集間的關系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.第6頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限72.區(qū)間:是指介于某兩個實數之間的全體實數.這兩個實數叫做區(qū)間的端點.稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,第7頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限8稱為半開區(qū)間

4、,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.第8頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限93.鄰域:第9頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限104.常量與變量: 在某過程中數值保持不變的量稱為常量,注意常量與變量是相對“過程”而言的.通常用字母a, b, c等表示常量,而數值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：用字母x, y, t等表示變量.第10頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限115.絕對值:

5、運算性質:絕對值不等式:第11頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限12因變量自變量數集D叫做這個函數的定義域二、函數概念第12頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限13自變量因變量對應法則f函數的兩要素:定義域與對應法則.約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數值.第13頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限14定義:如果自變量在定義域內任取一個數值時，對應的函數值總是只有一個，這種函數叫做單值函數，否則叫與多值函數第14頁，共261頁，

6、2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限15 (1) 符號函數幾個特殊的函數舉例1-1xyo第15頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限16(2) 取整函數 y=xx表示不超過 的最大整數 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線第16頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限17有理數點無理數點1xyo(3) 狄利克雷函數第17頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限18(4)

7、 取最值函數yxoyxo第18頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限19在自變量的不同變化范圍中, 對應法則用不同的式子來表示的函數,稱為分段函數.第19頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限20例1脈沖發(fā)生器產生一個單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U與時間 的函數關系式.解單三角脈沖信號的電壓第20頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限21第21頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限22例2解故第2

8、2頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四三、函數的特性2022/9/8函數與極限23M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX1函數的有界性:第23頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限242函數的單調性:xyo第24頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限25xyo第25頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限263函數的奇偶性:偶函數yxox-x第26頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/

9、8函數與極限27奇函數yxox-x第27頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限284函數的周期性:（通常說周期函數的周期是指其最小正周期）.第28頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限29 直接函數與反函數的圖形關于直線 對稱.四、反函數第29頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四五、小結2022/9/8函數與極限30基本概念集合, 區(qū)間, 鄰域, 常量與變量, 絕對值.函數的概念函數的特性有界性,單調性,奇偶性,周期性.反函數第30頁，共261頁，2022年，5月20日，17

10、點36分，星期四2022/9/8函數與極限31思考題第31頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限32思考題解答設則故第32頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限33練 習 題第33頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限34第34頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限35練習題答案第35頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限36初等函數1234小結與練習雙曲函

11、數和反雙曲函數復合函數基本初等函數第36頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四一、基本初等函數2022/9/8函數與極限371.冪函數第37頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限382.指數函數第38頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限393.對數函數第39頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限404.三角函數正弦函數第40頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限41余弦函數第41頁

12、，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限42正切函數第42頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限43余切函數第43頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限44正割函數第44頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限45余割函數第45頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限465.反三角函數第46頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8

13、函數與極限47第47頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限48第48頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限49 冪函數,指數函數,對數函數,三角函數和反三角函數統稱為基本初等函數.第49頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四二、復合函數 初等函數2022/9/8函數與極限501.復合函數定義:第50頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限51注意:1.不是任何兩個函數都可以復合成一個復合函數的;2.復合函數可以由兩個以上的函數經過復

14、合構成.2.初等函數 由常數和基本初等函數經過有限次四則運算和有限次的函數復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數,稱為初等函數.第51頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限52例1解第52頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限53綜上所述第53頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四三、雙曲函數與反雙曲函數2022/9/8函數與極限54奇函數.偶函數.1.雙曲函數第54頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限55奇函數,有界函數,第5

15、5頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限56雙曲函數常用公式第56頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限572.反雙曲函數奇函數,第57頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限58第58頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限59奇函數,第59頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四四、小結2022/9/8函數與極限60函數的分類:函數初等函數非初等函數(分段函數,有無窮多項等函數)代數函

16、數超越函數有理函數無理函數有理整函數(多項式函數)有理分函數(分式函數)第60頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限61思考題第61頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限62思考題解答不能第62頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限63一、填空題:練 習 題第63頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限64第64頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限65練習題

17、答案第65頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限66第66頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限67數列的極限1234小結與練習數列極限的性質數列的極限數列的定義第67頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四一、概念的引入2022/9/8函數與極限68“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：播放劉徽第68頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限69正六邊形的面積正十二邊形的面積正 形的面積第6

18、9頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限702、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”第70頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四二、數列的定義2022/9/8函數與極限71例如第71頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限72注意：1.數列對應著數軸上一個點列.可看作一動點在數軸上依次取2.數列是整標函數第72頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限73播放三、數列的極限第73頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分

19、，星期四2022/9/8函數與極限74問題:當 無限增大時, 是否無限接近于某一確定的數值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數學語言刻劃它.通過上面演示實驗的觀察:第74頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限75第75頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限76如果數列沒有極限,就說數列是發(fā)散的.注意：第76頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限77幾何解釋:其中第77頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四20

20、22/9/8函數與極限78數列極限的定義未給出求極限的方法.例1證所以,注意：第78頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限79例2證所以,說明:常數列的極限等于同一常數.小結:用定義證數列極限存在時,關鍵是任意給定 尋找N,但不必要求最小的N.第79頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限80例3證第80頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限81例4證第81頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四四、數列極限的性質2022/9/8函數

21、與極限821.有界性例如,有界無界第82頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限83定理1 收斂的數列必定有界.證由定義,注意：有界性是數列收斂的必要條件.推論 無界數列必定發(fā)散.第83頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限842.唯一性定理2 每個收斂的數列只有一個極限.證由定義,故收斂數列極限唯一.第84頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限85例5證由定義,區(qū)間長度為1.不可能同時位于長度為1的區(qū)間內.第85頁，共261頁，2022年，5月20日，

22、17點36分，星期四3.(收斂數列與其子數列間的關系) 如果數列收斂于a，那么它的任一子數列也收斂，且極限也是a2022/9/8函數與極限86第86頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四五.小結2022/9/8函數與極限87數列:研究其變化規(guī)律;數列極限:極限思想,精確定義,幾何意義;收斂數列的性質:有界性唯一性.第87頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限88思考題證明要使只要使從而由得取當 時，必有 成立第88頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限89思考題解答（等價）證明

23、中所采用的實際上就是不等式即證明中沒有采用“適當放大” 的值第89頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限90從而 時，僅有 成立，但不是 的充分條件反而縮小為第90頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限91練 習 題第91頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限92“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：劉徽一、概念的引入第92頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四三、數列的極限2022/9

24、/8函數與極限93第93頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限94三、數列的極限第94頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限95三、數列的極限第95頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限96三、數列的極限第96頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限97三、數列的極限第97頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限98三、數列的極限第98頁，共261頁，2022年

25、，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限99三、數列的極限第99頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限100三、數列的極限第100頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限101三、數列的極限第101頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限102三、數列的極限第102頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限103三、數列的極限第103頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四

26、2022/9/8函數與極限104三、數列的極限第104頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限105三、數列的極限第105頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限106函數的極限1234小結與練習函數極限的性質自變量趨向有限值時函數的極限自變量趨向無窮大時函數的極限第106頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四一、自變量趨向無窮大時函數的極限2022/9/8函數與極限107播放第107頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限108通過上

27、面演示實驗的觀察:問題:如何用數學語言刻劃函數“無限接近”.第108頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限109第109頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限1102.另兩種情形:第110頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限1113.幾何解釋:第111頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限112例1證第112頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四二、自變量趨向有限值時函數的極限20

28、22/9/8函數與極限113第113頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限114第114頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限1152.幾何解釋:注意：第115頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限116例2證例3證第116頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限117例4證函數在點x=1處沒有定義.第117頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限118例5證第

29、118頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限1193.單側極限:例如,第119頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限120左極限右極限第120頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限121左右極限存在但不相等,例6證第121頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四三、函數極限的性質2022/9/8函數與極限1221.有界性2.唯一性第122頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限123推論

30、3.不等式性質定理(保序性)第123頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限124定理(保號性)推論第124頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限1254.子列收斂性(函數極限與數列極限的關系)定義定理第125頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限126證第126頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限127例如,函數極限與數列極限的關系函數極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.第127頁，共

31、261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限128例7證第128頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限129二者不相等,第129頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四四、小結2022/9/8函數與極限130函數極限的統一定義(見下表)第130頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限131過 程時 刻從此時刻以后 過 程時 刻從此時刻以后 第131頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限132思考題第

32、132頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限133思考題解答左極限存在,右極限存在,不存在.第133頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限134一、填空題:練 習 題第134頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限135第135頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限136練習題答案第136頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限137一、自變量趨向無窮大時函數的

33、極限第137頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限138一、自變量趨向無窮大時函數的極限第138頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限139一、自變量趨向無窮大時函數的極限第139頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限140一、自變量趨向無窮大時函數的極限第140頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限141一、自變量趨向無窮大時函數的極限第141頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四

34、2022/9/8函數與極限142一、自變量趨向無窮大時函數的極限第142頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限143一、自變量趨向無窮大時函數的極限第143頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限144一、自變量趨向無窮大時函數的極限第144頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限145一、自變量趨向無窮大時函數的極限第145頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限146無窮大與無窮小1234小結與練習反函數無

35、窮大無窮小第146頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四一、無窮小2022/9/8函數與極限1471.定義:極限為零的變量稱為無窮小.第147頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限148例如,注意1.無窮小是變量,不能與很小的數混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數.第148頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限1492.無窮小與函數極限的關系:證必要性充分性第149頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限150意義1.將一般極限問

36、題轉化為特殊極限問題(無窮小);3.無窮小的運算性質:定理2 在同一過程中,有限個無窮小的代數和仍是無窮小.證第150頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限151注意無窮多個無窮小的代數和未必是無窮小.第151頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限152定理3 有界函數與無窮小的乘積是無窮小.證第152頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限153推論1 在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2 常數與無窮小的乘積是無窮小.推論3 有限個

37、無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小第153頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四二、無窮大2022/9/8函數與極限154絕對值無限增大的變量稱為無窮大.第154頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限155特殊情形：正無窮大，負無窮大注意1.無窮大是變量,不能與很大的數混淆;3. 無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.第155頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限156不是無窮大無界，第156頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/

38、9/8函數與極限157證第157頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四三、無窮小與無窮大的關系2022/9/8函數與極限158定理4 在同一過程中,無窮大的倒數為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數為無窮大.證第158頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限159意義 關于無窮大的討論,都可歸結為關于無窮小的討論.第159頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四四、小結2022/9/8函數與極限1601、主要內容:兩個定義;四個定理;三個推論.2、幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1） 無窮?。?大）

39、是變量,不能與很?。ù螅┑臄祷煜?，零是唯一的無窮小的數；（2）無窮多個無窮小的代數和（乘積）未必是無窮小.（3） 無界變量未必是無窮大.第160頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限161思考題第161頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限162思考題解答不能保證.例有第162頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限163一、填空題:練 習 題第163頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限164第164頁，

40、共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限165練習題答案第165頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四第166頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四一、極限運算法則2022/9/8函數與極限167定理證由無窮小運算法則,得第167頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限168第168頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限169推論1常數因子可以提到極限記號外面.推論2有界，第169頁，共261頁，2022年，5月20

41、日，17點36分，星期四二、求極限方法舉例2022/9/8函數與極限170例1解第170頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限171小結:第171頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限172解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關系,得例2第172頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限173解例3(消去零因子法)第173頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限174例4解(無窮小因子分出法)第174頁，共261

42、頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限175小結:無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.第175頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限176例5解先變形再求極限.第176頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限177例6解第177頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限178例7解左右極限存在且相等,第178頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四三、小結20

43、22/9/8函數與極限1791.極限的四則運算法則及其推論;2.極限求法;a.多項式與分式函數代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質求極限;e.利用左右極限求分段函數極限.第179頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限180思考題 在某個過程中，若 有極限， 無極限，那么 是否有極限？為什么？第180頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限181思考題解答沒有極限假設 有極限，有極限，由極限運算法則可知：必有極限，與已知矛盾，故假設錯誤第181頁，共2

44、61頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限182一、填空題:練 習 題第182頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限183二、求下列各極限:第183頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限184第184頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限185練習題答案第185頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四第186頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四一、無窮小的比較2022/9/

45、8函數與極限187例如,極限不同, 反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限第187頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限188定義:第188頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限189例1解例2解第189頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限190常用等價無窮小:用等價無窮小可給出函數的近似表達式:例如,第190頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四二、等價無窮小替換2022/9/8函數與極限191定理(等價無窮小替

46、換定理)證第191頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限192例3解不能濫用等價無窮小代換.對于代數和中各無窮小不能分別替換.注意第192頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限193例4解解錯第193頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限194例5解第194頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四三、小結2022/9/8函數與極限1951.無窮小的比較:反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度快慢, 但并不是所有的無窮小都可進行比較

47、.2.等價無窮小的替換: 求極限的又一種方法, 注意適用條件.高(低)階無窮小; 等價無窮小; 無窮小的階.第195頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限196思考題任何兩個無窮小量都可以比較嗎？第196頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限197思考題解答不能例當 時都是無窮小量但不存在且不為無窮大故當 時第197頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限198練 習 題第198頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8

48、函數與極限199第199頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限200第200頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限201練習題答案第201頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限202第202頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四第203頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四一、函數的連續(xù)性2022/9/8函數與極限2041.函數的增量第204頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022

49、/9/8函數與極限2052.連續(xù)的定義第205頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限206第206頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限207例1證由定義2知第207頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限2083.單側連續(xù)定理第208頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限209例2解右連續(xù)但不左連續(xù) ,第209頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限2104.

50、連續(xù)函數與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數,叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數,或者說函數在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,第210頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限211例3證第211頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四二、函數的間斷點2022/9/8函數與極限212第212頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限2131.跳躍間斷點例4解第213頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限2142.可去間斷點

51、例5第214頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限215解注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.第215頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限216如例5中,跳躍間斷點與可去間斷點統稱為第一類間斷點.特點第216頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限2173.第二類間斷點例6解第217頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限218例7解注意 不要以為函數的間斷點只是個別的幾

52、個點.第218頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限219狄利克雷函數在定義域R內每一點處都間斷,且都是第二類間斷點.僅在x=0處連續(xù), 其余各點處處間斷.第219頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限220在定義域 R內每一點處都間斷, 但其絕對值處處連續(xù).判斷下列間斷點類型:第220頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限221例8解第221頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四三、小結2022/9/8函數與極限2221.函數在

53、一點連續(xù)必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數;第一類間斷點:可去型,跳躍型.第二類間斷點:無窮型,振蕩型.間斷點(見下圖)第222頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限223可去型第一類間斷點oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyxoyxoyx第223頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限224思考題第224頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限225思考題解答且第225頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分

54、，星期四2022/9/8函數與極限226但反之不成立.例但第226頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限227練 習 題第227頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限228第228頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限229練習題答案第229頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限230第230頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四第231頁，共261頁，2022年，5月20日，17點

55、36分，星期四一、四則運算的連續(xù)性2022/9/8函數與極限232定理1例如,第232頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四二、反函數與復合函數的連續(xù)性2022/9/8函數與極限233定理2 嚴格單調的連續(xù)函數必有嚴格單調的連續(xù)反函數.例如,反三角函數在其定義域內皆連續(xù).第233頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限234定理3證第234頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限235將上兩步合起來:第235頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限236意義1.極限符號可以與函數符號互換;例1解第236頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數與極限237例2解同理可得第237頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四202