高中數(shù)學(xué)選擇性必修一 第1章 1.4.2 第2課時(shí) 夾角問題

1、第2課時(shí)夾角問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用向量法求線線、線面、面面夾角.2.能正確區(qū)分向量夾角與所求線線角、線面角、面面角的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一兩個(gè)平面的夾角平面與平面的夾角：平面與平面相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90 的二面角稱為平面與平面的夾角知識(shí)點(diǎn)二 空間角的向量法解法角的分類向量求法范圍兩條異面直線所成的角設(shè)兩異面直線 l1，l2 所成的角為，其方向向量分別為u，v，則cos |cosu，v| eq f(|uv|,|u|v|) eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2)直線與平面所成的角設(shè)直線AB與平面所成的角為，直線AB的方向向量為u，平面的法向量為n，則sin |co

2、s u，n|eq f(|un|,|u|n|) eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)兩個(gè)平面的夾角設(shè)平面與平面的夾角為，平面，的法向量分別為n1，n2，則cos |cos n1，n2|eq f(|n1n2|,|n1|n2|)eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)1.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是CD，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成角的大小是()A.eq f(,6) B.eq f(,4)C.eq f(,3) D.eq f(,2)答案D解析以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則eq o(A

3、1M,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，1)，eq o(DN,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(1,2)，cos eq o(A1M,sup6()，eq o(DN,sup6()eq f(|o(A1M,sup6()o(DN,sup6()|,|o(A1M,sup6()|o(DN,sup6()|)0.eq o(A1M,sup6()，eq o(DN,sup6()eq f(,2).2已知向量m，n分別是直線l與平面的方向向量、法向量，若cosm，neq f(r(3),2)，則l與所成的角為()A30 B60 C150 D120答案B解析

4、設(shè)l與所成的角為，則sin |cosm，n|eq f(r(3),2)，60，故選B.3已知平面的法向量u(1,0，1)，平面的法向量v(0，1,1)，則平面與的夾角為_答案eq f(,3)解析cosu，veq f(1,r(2)r(2)eq f(1,2)，u，veq f(2,3)，平面與的夾角是eq f(,3).4在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知A(1，2,0)，B(2,1，eq r(6)，則向量eq o(AB,sup6()與平面xOz的法向量的夾角的正弦值為_答案eq f(r(7),4)解析設(shè)平面xOz的法向量為n(0,1, 0) ，eq o(AB,sup6()(1,3，eq r(6)，所以c

5、osn，eq o(AB,sup6()eq f(no(AB,sup6(),|n|o(AB,sup6()|) eq f(3,4) ，所以sinn，eq o(AB,sup6() eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)2) eq f(r(7),4).故向量eq o(AB,sup6()與平面xOz的法向量的夾角的正弦值為eq f(r(7),4).一、兩條異面直線所成的角例1如圖，在三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，O1OB60，AOB90，且OBOO12，OAeq r(3)，求異面直線A1B與AO1所成角的余弦值解以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq o(OA,sup6()，

6、eq o(OB,sup6()的方向?yàn)閤軸，y軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則O(0,0,0)，O1(0,1，eq r(3)，A(eq r(3)，0,0)，A1(eq r(3)，1，eq r(3)，B(0,2,0)，eq o(A1B,sup6()(eq r(3)，1，eq r(3)，eq o(O1A,sup6()(eq r(3)，1，eq r(3)|coseq o(A1B,sup6()，eq o(O1A,sup6()|eq f(|o(A1B,sup6()o(O1A,sup6()|,|o(A1B,sup6()|o(O1A,sup6()|)eq f(|r(3)，1，r(3)r(3)，1，r

7、(3)|,r(7)r(7)eq f(1,7).異面直線A1B與AO1所成角的余弦值為eq f(1,7).反思感悟求異面直線夾角的方法(1)傳統(tǒng)法：作出與異面直線所成角相等的平面角，進(jìn)而構(gòu)造三角形求解(2)向量法：在兩異面直線a與b上分別取點(diǎn)A，B和C，D，則eq o(AB,sup6()與eq o(CD,sup6()可分別為a，b的方向向量，則cos eq f(|o(AB,sup6()o(CD,sup6()|,|o(AB,sup6()|o(CD,sup6()|).跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，已知M，N分別是BD和AD的中點(diǎn)，則B1M與D1N所成角的余弦值為()A.eq

8、 f(r(30),10) B.eq f(r(30),15)C.eq f(r(30),30) D.eq f(r(15),15)答案A解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，eq o(B1M,sup6()(1，1，2)，eq o(D1N,sup6()(1,0，2)，coseq o(B1M,sup6()，eq o(D1N,sup6()eq f(14,r(114)r(14)eq f(r(30),10).二、直線與平面所成的角例2如圖所示，三棱錐PABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACeq f(1,2)AB

9、，N為AB上一點(diǎn)，AB4AN，M，S分別為PB，BC的中點(diǎn)(1)證明：CMSN；(2)求SN與平面CMN所成角的大小(1)證明設(shè)PA1，以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，又ANeq f(1,4)AB，M，S分別為PB，BC的中點(diǎn)，Neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，0)，Meq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(1,2)，Seq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，0)，eq o(CM,sup6()eq blc(rc)(avs4a

10、lco1(1，1，f(1,2)，eq o(SN,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，0)，eq o(CM,sup6()eq o(SN,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，1，f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，0)0，eq o(CM,sup6()eq o(SN,sup6()，因此CMSN.(2)解由(1)知，eq o(NC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1，0)，設(shè)a(x，y，z)為平面CMN的一個(gè)法向量，eq o(CM,sup6()a0，eq

11、 o(NC,sup6()a0.則eq blcrc (avs4alco1(xyf(1,2)z0，,f(1,2)xy0.)eq blcrc (avs4alco1(x2y，,z2y.)取y1，得a(2,1，2)設(shè)SN與平面CMN所成的角為，sin |cosa，eq o(SN,sup6()|eq f(blc|rc|(avs4alco1(1f(1,2),3f(r(2),2)eq f(r(2),2).SN與平面CMN所成角為eq f(,4).反思感悟利用平面的法向量求直線與平面夾角的基本步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系(2)求直線的方向向量u.(3)求平面的法向量n.(4)設(shè)線面角為，則sin eq f(|u

12、n|,|u|n|) .跟蹤訓(xùn)練2如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA12，BAC90，E，F(xiàn)依次為C1C，BC的中點(diǎn)求A1B與平面AEF所成角的正弦值解以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(xiàn)(1,1,0)，所以eq o(A1B,sup6()(2,0，2)，eq o(AE,sup6()(0,2,1)，eq o(AF,sup6()(1,1,0)設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為n(a，b，c)，由eq blcrc (avs4alco1(no(AE,sup6()0，,no(AF,sup6()0，)得eq blcr

13、c (avs4alco1(2bc0，,ab0，)令a1可得n(1，1,2)設(shè)A1B與平面AEF所成角為，所以sin |cosn，eq o(A1B,sup6()|eq f(|no(A1B,sup6()|,|n|o(A1B,sup6()|)eq f(r(3),6)，即A1B與平面AEF所成角的正弦值為eq f(r(3),6).三、兩個(gè)平面的夾角例3如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形(1)證明：O1O平面ABCD；(2)若CBA60，求平面C1OB1與平面OB1D夾角的余弦值(1)證明因?yàn)樗倪呅蜛CC

14、1A1和四邊形BDD1B1均為矩形，所以CC1AC，DD1BD，又CC1DD1OO1，所以O(shè)O1AC，OO1BD，因?yàn)锳CBDO，AC，BD平面ABCD，所以O(shè)1O平面ABCD.(2)解因?yàn)樗睦庵乃欣忾L(zhǎng)都相等，所以四邊形ABCD為菱形，ACBD，又O1O平面ABCD，所以O(shè)B，OC，OO1兩兩垂直如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OO1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)棱長(zhǎng)為2，因?yàn)镃BA60，所以O(shè)Beq r(3)，OC1，所以O(shè)(0,0,0)，B1(eq r(3)，0,2)，C1(0,1,2)，平面BDD1B1的一個(gè)法向量為n(0,1,0)，設(shè)平面OC1B1的法向量為m(x，

15、y，z)，由meq o(OB1,sup6()，meq o(OC1,sup6()，得eq r(3)x2z0，y2z0，取zeq r(3)，則x2，y2eq r(3)，所以m(2,2eq r(3)，eq r(3)，所以cosm，neq f(mn,|m|n|)eq f(2r(3),r(19)eq f(2r(57),19).所以平面C1 OB1與平面OB1D夾角的余弦值為eq f(2r(57),19).延伸探究本例不變，求平面B A1C與平面A1CD夾角的余弦值解B(eq r(3)，0,0)，A1(0，1,2)，C(0,1,0)，D(eq r(3)，0,0)，設(shè)平面BA1C的法向量為m(x1，y1，z

16、1)，eq o(A1C,sup6()(0,2，2)，eq o(BC,sup6()(eq r(3)，1,0)，則eq blcrc (avs4alco1(mo(A1C,sup6()0，,mo(BC,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(2y12z10，,r(3)x1y10，)令x11，則y1eq r(3)，z1eq r(3)，m(1，eq r(3)，eq r(3)，同理得，平面A1CD的法向量n(1，eq r(3)，eq r(3)，cosm，neq f(mn,|m|n|)eq f(5,7)，則平面BA1C與平面A1CD夾角的余弦值為eq f(5,7).反思感悟求兩平面夾角的兩

17、種方法(1)定義法：在兩個(gè)平面內(nèi)分別找出與兩平面交線垂直的直線，這兩條直線的夾角即為兩平面的夾角也可轉(zhuǎn)化為求與兩平面交線垂直的直線的方向向量的夾角，但要注意其異同(2)法向量法：分別求出兩平面的法向量n1，n2，則兩平面的夾角為n1，n2eq blc(rc)(avs4alco1(當(dāng)n1，n2blcrc(avs4alco1(0，f(,2)時(shí))或n1，n2eq blc(rc)(avs4alco1(當(dāng)n1，n2blc(rc(avs4alco1(f(,2)，)時(shí).)跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，在幾何體SABCD中，AD平面SCD，BC平面SCD，ADDC2，BC1，又SD2，SDC120，求平面SAD與平面S

18、AB夾角的余弦值解如圖，過點(diǎn)D作DC的垂線交SC于E，以D為原點(diǎn)，以DC，DE，DA所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系SDC120，SDE30，又SD2，點(diǎn)S到y(tǒng)軸的距離為1，到x軸的距離為eq r(3)，則有D(0,0,0)，S(1，eq r(3)，0)，A(0,0,2)，C(2,0,0)，B(2,0,1)，設(shè)平面SAD的法向量為m(x，y，z)，eq o(AD,sup6()(0,0，2)，eq o(AS,sup6()(1，eq r(3)，2)，eq blcrc (avs4alco1(2z0，,xr(3)y2z0，)取xeq r(3)，得平面SAD的一個(gè)法向量為m(eq r(3)，

19、1,0)又eq o(AB,sup6()(2,0，1)，設(shè)平面SAB的法向量為n(a，b，c)，則eq blcrc (avs4alco1(no(AB,sup6()0，,no(AS,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(2ac0，,ar(3)b2c0，)令aeq r(3)，則n(eq r(3)，5,2eq r(3)，cosm，neq f(mn,|m|n|)eq f(8,2r(10)2)eq f(r(10),5)，故平面SAD與平面SAB夾角的余弦值是eq f(r(10),5).空間向量和實(shí)際問題典例如圖，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處從A，B到直線 (庫(kù)底

20、與水壩的交線)的距離AC和BD分別為a和b，CD的長(zhǎng)為c， 甲乙之間拉緊的繩長(zhǎng)為d，求庫(kù)底與水壩所在平面夾角的余弦值解由題意可知ACa，BDb，CDc，ABd，所以d2eq o(AB,sup6()2(eq o(AC,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(DB,sup6()2eq o(AC,sup6()2eq o(CD,sup6()2eq o(DB,sup6()22(eq o(AC,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(DB,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(DB,sup6()a2c2b22eq o(AC,sup6()eq o(

21、DB,sup6()a2c2b22eq o(CA,sup6()eq o(DB,sup6()，則2eq o(CA,sup6()eq o(DB,sup6()a2b2c2d2，設(shè)向量eq o(CA,sup6()與eq o(DB,sup6()的夾角為，就是庫(kù)底與水壩所在平面的夾角，因此2abcos a2b2c2d2，所以cos eq f(a2b2c2d2,2ab)，故庫(kù)底與水壩所在平面夾角的余弦值為eq f(a2b2c2d2,2ab).素養(yǎng)提升利用空間向量解決實(shí)際問題(1)分析實(shí)際問題的向量背景，將題目條件、結(jié)論轉(zhuǎn)化為向量問題(2)對(duì)于和垂直、平行、距離、角度有關(guān)的實(shí)際問題，可以考慮建立向量模型，體現(xiàn)了

22、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)1若異面直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角為150，則l1與l2所成的角為()A.eq f(,6) B.eq f(5,6)C.eq f(,6)或eq f(5,6) D以上均不對(duì)答案A解析l1與l2所成的角與其方向向量的夾角相等或互補(bǔ)，且異面直線所成角的范圍為eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2)，故選A.2已知向量m，n分別是平面和平面的法向量，若cosm，neq f(1,2)，則與的夾角為()A30 B60 C120 D150答案B解析設(shè)與所成的角為，且090，則cos |cosm，n|eq f(1,2)，60.3直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA9

23、0，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BCCACC1，則BM與AN所成角的余弦值為()A.eq f(1,10) B.eq f(2,5) C.eq f(r(30),10) D.eq f(r(2),2)答案C解析如圖所示，以C為原點(diǎn)，直線CA為x軸，直線CB為y軸，直線CC1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CACB1，則B(0,1,0)，Meq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，1)，A(1,0,0)，Neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，1).故eq o(BM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，

24、1)，eq o(AN,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，1)，所以coseq o(BM,sup6()，eq o(AN,sup6()eq f(o(BM,sup6()o(AN,sup6(),|o(BM,sup6()|o(AN,sup6()|)eq f(f(3,4),f(r(6),2)f(r(5),2)eq f(r(30),10).4.如圖所示，點(diǎn)A，B，C分別在空間直角坐標(biāo)系Oxyz的三條坐標(biāo)軸上，eq o(OC,sup6()(0,0,2)，平面ABC的一個(gè)法向量為n(2,1,2)，平面ABC與平面ABO的夾角為，則cos _.答案eq f(2,3)解析cos

25、 eq f(o(OC,sup6()n,|o(OC,sup6()|n|)eq f(4,23)eq f(2,3).5正方體ABCDA1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的正弦值為_答案eq f(r(3),3)解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，建立空間直角坐標(biāo)系如圖則D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)平面ACD1的一個(gè)法向量為eq o(DB1,sup6()(1,1,1)又eq o(BB1,sup6()(0,0,1)，則coseq o(DB1,sup6()，eq o(BB1,sup6()eq f(o(DB1,sup6()o(BB1,sup6(),|o(DB1,sup6()|o(BB1

26、,sup6()|)eq f(1,r(3)1)eq f(r(3),3).1知識(shí)清單：(1)兩條異面直線所成的角(2)直線和平面所成的角(3)兩個(gè)平面的夾角2方法歸納：轉(zhuǎn)化與化歸3常見誤區(qū)：混淆兩個(gè)向量的夾角和空間角的關(guān)系，不能正確理解空間角的概念，把握空間角的范圍1已知A(0,1,1)，B(2，1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，則直線AB與直線CD所成角的余弦值為()A.eq f(5r(22),66) Beq f(5r(22),66) C.eq f(5r(22),22) Deq f(5r(22),22)答案A解析eq o(AB,sup6()(2，2，1)，eq o(CD,sup6()

27、(2，3，3)，coseq o(AB,sup6()，eq o(CD,sup6()eq f(o(AB,sup6()o(CD,sup6(),|o(AB,sup6()|o(CD,sup6()|)eq f(5,3r(22)eq f(5r(22),66)，直線AB，CD所成角的余弦值為eq f(5r(22),66).2已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面夾角為()A45 B135C45或135 D90答案A解析cosm，neq f(mn,|m|n|)eq f(1,1r(2)eq f(r(2),2)，即m，n45.所以兩平面的夾角為45.3設(shè)直線l與平面相交，且l的方向向量

28、為a，的法向量為n，若a，neq f(2,3)，則l與所成的角為()A.eq f(2,3) B.eq f(,3) C.eq f(,6) D.eq f(5,6)答案C解析線面角的范圍是eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2).a，neq f(2,3)，l與法向量所在直線所成角為eq f(,3)，l與所成的角為eq f(,6).4若平面的一個(gè)法向量為n(4,1,1)，直線l的一個(gè)方向向量為a(2，3,3)，則l與所成角的余弦值為()Aeq f(4r(11),33) B.eq f(4r(11),33) Ceq f(r(913),33) D.eq f(r(913),33)答案D解析設(shè)與l所

29、成的角為，則sin |cosa，n|eq f(|2，3，34，1，1|,r(499)r(1611)eq blc|rc|(avs4alco1(f(4,3r(11)eq f(4r(11),33)，故直線l與所成角的余弦值為eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(4r(11),33)2)eq f(r(913),33).5正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA平面ABCD，若PAAB，則平面PAB與平面PCD的夾角為()A30 B45 C60 D90答案B解析如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PAAB1，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)于是eq o(AD,sup6()(0

30、,1,0)，取PD的中點(diǎn)E，則Eeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，f(1,2)，eq o(AE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，f(1,2)，易知eq o(AD,sup6()是平面PAB的法向量，eq o(AE,sup6()是平面PCD的法向量，coseq o(AD,sup6()，eq o(AE,sup6()eq f(r(2),2)，平面PAB與平面PCD的夾角為45.6.如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，M是C1C的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意點(diǎn)，則直線BM與OP所成的角為_答案eq f(,2)

31、解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，A1Px，則O(1,1,0)，P(2，x，2)，B(2,2,0)，M(0,2,1)，eq o(OP,sup6()(1，x1,2)，eq o(BM,sup6()(2,0,1)所以eq o(OP,sup6()eq o(BM,sup6()0，所以直線BM與OP所成的角為eq f(,2).7如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為_答案eq f(r(10),5)解析如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0，2,0)，D1(0,0,

32、1)，C1(0,2,1)，eq o(BC1,sup6()(2,0,1)連接AC，易證AC平面BB1D1D，平面BB1D1D的一個(gè)法向量為aeq o(AC,sup6()(2,2,0)所求角的正弦值為|cosa，eq o(BC1,sup6()|eq f(|ao(BC1,sup6()|,|a|o(BC1,sup6()|)eq f(4,r(8)r(5)eq f(r(10),5).8已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則平面AEF與平面ABC夾角的余弦值等于 _.答案eq f(3r(11),11)解析如圖，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為

33、1，平面ABC的法向量為n1(0,0,1)，平面AEF的法向量為n2(x，y，z)所以A(1,0,0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(1，1，f(1,3)，F(xiàn)eq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(2,3)，所以eq o(AE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(1,3)，eq o(EF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(1,3)，則eq blcrc (avs4alco1(n2o(AE,sup6()0，,n2o(EF,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(yf(1,3)z0，,xf(

34、1,3)z0.)取x1，則y1，z3.故n2(1，1,3)所以cosn1，n2eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(3r(11),11).所以平面AEF與平面ABC夾角的余弦值為eq f(3r(11),11).9.如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，ABAC2，AA14，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值解以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB，AC，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,4)，D(1,1,0)，C1(0,2,4)，eq o(A1B,sup6()(2,0，4

35、)，eq o(C1D,sup6()(1，1，4)，coseq o(A1B,sup6()，eq o(C1D,sup6()eq f(o(A1B,sup6()o(C1D,sup6(),|o(A1B,sup6()|o(C1D,sup6()|)eq f(3r(10),10)，異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為eq f(3r(10),10).10四棱錐PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上(1)求證：平面AEC平面PDB；(2)當(dāng)PDeq r(2)AB且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成角的大小(1)證明如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)ABa，PDh，則A(a，

36、0,0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，eq o(AC,sup6()(a，a，0)，eq o(DP,sup6()(0,0，h)，eq o(DB,sup6()(a，a，0)，eq o(AC,sup6()eq o(DP,sup6()0，eq o(AC,sup6()eq o(DB,sup6()0，ACDP，ACDB，又DPDBD，DP，DB平面PDB，AC平面PDB，又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.(2)解當(dāng)PDeq r(2)AB且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，P(0,0，eq r(2)a)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)a，f(1,2

37、)a，f(r(2),2)a)，設(shè)ACBDO，Oeq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，f(a,2)，0)，連接OE，由(1)知AC平面PDB，AEO為AE與平面PDB所成的角，eq o(EA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)a，f(1,2)a，f(r(2),2)a)，eq o(EO,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，0，f(r(2),2)a)，cosAEOeq f(o(EA,sup6()o(EO,sup6(),|o(EA,sup6()|o(EO,sup6()|)eq f(r(2),2)，AEO45，即AE與平面PDB所成

38、角的大小為45.11如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，CACC12CB，則直線BC1與直線AB1所成角的余弦值為()A.eq f(r(5),5) B.eq f(r(5),3)C.eq f(2r(5),5) D.eq f(3,5)答案A解析不妨設(shè)CACC12CB2，則eq o(AB1,sup6()(2,2,1)，eq o(C1B,sup6()(0，2,1)，所以coseq o(AB1,sup6()，eq o(C1B,sup6()eq f(o(AB1,sup6()o(C1B,sup6(),|o(AB1,sup6()|o(C1B,sup6()|)eq f(202211,r(9)r(5)eq f(r

39、(5),5).所以所求角的余弦值為eq f(r(5),5).12已知在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA12，E是側(cè)棱BB1的中點(diǎn)，則直線AE與平面A1ED1所成角的大小為()A60 B90C45 D以上都不對(duì)答案B解析以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖由題意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，所以eq o(A1E,sup6()(0,1，1)，eq o(D1E,sup6()(1,1，1)，eq o(EA,sup6()(0，1，1)設(shè)平面A1ED1的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則

40、eq blcrc (avs4alco1(no(A1E,sup6()0，,no(D1E,sup6()0，)得eq blcrc (avs4alco1(yz0，,xyz0，)令z1，得y1，x0，所以n(0,1,1)，cosn，eq o(EA,sup6()eq f(no(EA,sup6(),|n|o(EA,sup6()|)eq f(2,r(2)r(2)1，設(shè)直線與平面A1ED1所成角為，則sin 1，所以直線AE與平面A1ED1所成的角為90.13在空間中，已知平面過(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(diǎn)(0,0，a)(a0)，如果平面與平面xOy的夾角為45，則a_.答案eq f(12,5)解

41、析平面xOy的法向量n(0,0,1)，設(shè)平面的法向量為u(x，y，z)，則eq blcrc (avs4alco1(3x4y0，,3xaz0，)即3x4yaz，取z1，則ueq blc(rc)(avs4alco1(f(a,3)，f(a,4)，1).而cosn，ueq f(1,r(f(a2,9)f(a2,16)1)eq f(r(2),2)，又a0，aeq f(12,5).14已知正ABC與正BCD所在平面垂直，則平面ABD與平面BDC夾角的余弦值為_答案eq f(r(5),5)解析取BC的中點(diǎn)O，連接AO，DO，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)BC1，則Aeq blc(rc)(avs4alco1(0

42、，0，f(r(3),2)，Beq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，0)，Deq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，0，0).所以eq o(OA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，0，f(r(3),2)，eq o(BA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，f(r(3),2)，eq o(BD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，0).由于eq o(OA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，0，f(r(3),2)為平面BCD

43、的一個(gè)法向量設(shè)平面ABD的法向量為n(x，y，z)，則eq blcrc (avs4alco1(no(BA,sup6()0，,no(BD,sup6()0，)所以eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)yf(r(3),2)z0，,f(r(3),2)xf(1,2)y0，)取x1，則yeq r(3)，z1，所以n(1，eq r(3)，1)，所以cosn，eq o(OA,sup6()eq f(r(5),5).15如圖，在三棱錐VABC中，頂點(diǎn)C在空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，頂點(diǎn)A，B，V分別在x軸、y軸、z軸上，D是線段AB的中點(diǎn)，且ACBC2，VDCeq f(,3)，則異面直線AC與VD所成角的余弦值為_答案eq f(r(2),4)解析ACBC2，D是AB