冀教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件（第17章 特殊三角形）

1、第十七章 特殊三角形17.1 等腰三角形第1課時(shí) 等腰三角形 的性質(zhì)1課堂講解等腰三角形的定義等腰三角形的性質(zhì)(等邊對(duì)等角)等腰三角形的性質(zhì)(三線合一)等邊三角形的性質(zhì)2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升 將一把三角尺和一個(gè)重錘如圖放置，就能檢查一根橫梁是否水平，你知道為什么嗎？1知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的定義知1導(dǎo) 在我們的身邊，許多物體的形狀是兩邊相等的三角形，如房屋的鋼梁架、紅領(lǐng)巾、交通標(biāo)志的外沿形狀等.結(jié) 論知1導(dǎo) 有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角. 如圖，在ABC中，ABAC. AB和AC 是腰，B

2、C是底邊，A是頂角，B和C是底角. 頂角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.導(dǎo)引：根據(jù)等腰三角形的定義可得，等腰三角形的 另一腰的長(zhǎng)為5或6，且都符合三角形三邊關(guān) 系所以這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)等于556 16或66517.中考衡陽已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是5和6，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為()A11 B16 C17 D16或17知1講例1 D總 結(jié)知1講 本題運(yùn)用分類討論思想解題此類問題容易出錯(cuò)的地方是：忽視三角形的三邊關(guān)系；沒有注意到分類討論，直接誤認(rèn)為第三邊長(zhǎng)為5或者是6，而沒有考慮到這兩種可能均成立知1練 【中考安順】已知實(shí)數(shù)x，y滿足|x4| 0，則以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周

3、長(zhǎng)是() A20或16 B20 C16 D以上答案均不對(duì)B一個(gè)等腰三角形兩邊的長(zhǎng)分別為4和9，那么這 個(gè)三角形的周長(zhǎng)是() A13 B17 C22 D17或22 知1練C2知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的性質(zhì)(等邊對(duì)等角)知2導(dǎo)如圖，ABC是等腰三角形，其中ABAC.B和C有怎樣的關(guān)系？BC，下面我們來證明等腰三角形的兩個(gè)底角相等.已知：在ABC中，ABAC.求證：BC.證明：如圖，作為A的平分線AD.在ABD和ACD中， ABDACF(SAS).BC(全等三角形的對(duì)應(yīng)角想等). 等腰三角形的兩個(gè)底角相等.(簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”)歸 納知2導(dǎo)知2講例2 已知：如圖，在ABC中， AB = AC，BD，CE 分

4、別為 ABC，ACB的平分線. 求證：BD=CE.證明：BD，CE分別為ABC， ACB的平分線， ABD ABC，ACE ACB. ABC=ACB(等邊對(duì)等角)，ABD=ACE (等量代換). AB=AC(已知），A=A(公共角）， ABD ACE( ASA). BD=CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等). 證明兩條線段相等時(shí)，通常利用全等三角形來證，此種方法先觀察要證明相等的兩個(gè)角分別屬于哪兩個(gè)三角形，設(shè)法證明這兩個(gè)三角形全等，最后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得結(jié)論.總 結(jié)知2講中考宿遷如圖，已知ABACAD，且AD BC. 求證：C2D.知2練 證明：ABACAD， ABCC，ABDD. AD

5、BC，CBDD. ABDCBD2D， 即ABC2D.C2D.知2練【中考呼倫貝爾】如圖，在ABC中，AB AC，過點(diǎn)A作ADBC，若170，則BAC的大小為() A40 B30 C70 D50 A知2練3 【中考邵陽】如圖，點(diǎn)D是ABC的邊AC上 一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，ADBD，則下列結(jié)論正確的是() AACBC BACBC CAABC DAABC A3知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的性質(zhì)(三線合一)知3導(dǎo) 如圖，ABC是等腰三角形，其中，AB=AC. (1)我們知道，線段BC為軸對(duì)稱圖形，中垂線為它的對(duì)稱軸.由AB=AC，可知道點(diǎn)A在BC的中垂線上.據(jù)此，你認(rèn)為ABC是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，對(duì)稱軸是哪條直線？

6、 (2)底邊BC上的高、中線及A的平分線有怎樣的關(guān)系？知3導(dǎo) 不難發(fā)現(xiàn)，等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，底邊的垂直平分線是它的對(duì)稱 軸，底邊上的高、中線和頂角的平分線三線重合. 下面，我們來證明等腰三角形的兩個(gè)底角相等. 從上面的證明過程還知道： BD=CD(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)， ADB=ADC(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等). 因?yàn)锳DB+ADC=180， 所以ADB=ADC=90. 因此，A的平分線AD，也是ABC底邊BC上的中線和高.知3講例3 如圖，ABAE，BCED，BE，AM CD，垂足為M.求證：CMMD.導(dǎo)引：由已知AMCD和結(jié)論CMMD， 聯(lián)想到等腰三角形“三線合一”的 性質(zhì)，由此連

7、接AC，AD構(gòu)造等腰三角形證明：如圖，連接AC，AD. 在ABC和AED中， ABCAED(SAS)ACAD. 又AMCD，CMMD. 總 結(jié)知3講 對(duì)于單一等腰三角形作“三線合一”的基本圖形，作底邊上的高、底邊上的中線還是頂角的平分線，可根據(jù)解題需要作輔助線；對(duì)于疊合等腰三角形作“三線合一”的基本圖形，則需巧作輔助線，下面就如下幾種圖形說明巧作輔助線的方法： 1如圖甲的情形，需作底邊上的高； 2如圖乙的情形，需作頂角的平分線； 3如圖丙的情形，需作中線； 4如圖丁的情形，需連接AD并延長(zhǎng)知3練如圖，在ABC中，ABAC，點(diǎn)D是BC邊的中 點(diǎn)，DE，DF分別垂直AB，AC于點(diǎn)E和點(diǎn)F.求證：D

8、EDF. 證明：如圖，連接AD.點(diǎn)D是BC的 中點(diǎn)，AD是ABC的BC邊 上的中線又ABAC， AD平分BAC(三線合一) DE，DF分別垂直AB，AC于 點(diǎn)E和點(diǎn)F，DEDF.知3練【中考蘇州】如圖，在ABC中，ABAC， D為BC的中點(diǎn)，BAD35，則C的度數(shù)為() A35 B45 C55 D60 C4知識(shí)點(diǎn)等邊三角形的性質(zhì)知4導(dǎo) 因?yàn)榈冗吶切蔚娜叾枷嗟?，由等腰三角形的性質(zhì)“等邊對(duì)等角”可以得到：等邊三角形的三個(gè)角都相等，由三角形的內(nèi)角和是180，所以等邊三角形的每一個(gè)內(nèi)角都是60. 知4導(dǎo) 等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60.歸 納知4講例4 如圖，已知ABC，BDE都

9、是等邊三角形 求證：AECD.導(dǎo)引：要證AECD，可通過證分別含有 AE，CD的兩個(gè)三角形全等來實(shí)現(xiàn)， 即證ABECBD，條件可從等 邊三角形中去尋找證明：ABC和BDE都是等邊三角形， ABBC，BEBD，ABCDBE60. 在ABE與CBD中， ABECBD(SAS)AECD. 運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)證明線段相等的方法：把要證的兩條線段放到一個(gè)三角形中證其為等腰或等邊三角形或者放到兩個(gè)三角形中，利用全等三角形的性質(zhì)證明；注意等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等、三條邊相等、三線合一是隱含的已知條件總 結(jié)知4講 知4練中考瀘州如圖，已知ABC為等邊三角形，點(diǎn) P在AB上，以CP為邊作等邊三角形PCE，使點(diǎn)

10、E，A在直線PC的同側(cè)求證：AEBC. 證明：ABC和PCE都為等邊三角形， BCAC，PCEC，ACB ABCECP60，ACB ACPECPACP，即BCPACE. 在PCB和ECA中， PCBECA.ABCCAE， ACBCAE，AEBC.知4練如圖，ABC是等邊三角形，AD是角平分線， ADE是等邊三角形，下列結(jié)論：ADBC；EFFD；BEBD.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù) 為() A3 B2 C1 D0 A 等腰三角形中求角的度數(shù)的“三種方法”(1)利用等邊對(duì)等角得相等的角.(2)利用三角形外角等于與其不相鄰的兩內(nèi)角之和導(dǎo)出 各角之間的關(guān)系.(3)利用三角形內(nèi)角和定理列方程.第十七章 特殊三角

11、形17.1 等腰三角形第2課時(shí) 等腰三角形 的判定1課堂講解等腰三角形的判定等邊三角形的判定2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升 如圖所示，量出AC的長(zhǎng)，就可知道河的寬度AB.你知道為什么嗎？1知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的判定知1導(dǎo) 已知：如圖，在ABC 中，B=C.(1)請(qǐng)你作出BAC的平分線AD.(2)將ABC沿AD所在直線折 疊， ABC被直線AD分成的兩部 分能夠重合嗎？(4)由上面的操作，你是否發(fā)現(xiàn)了邊AB和邊AC之間 的數(shù)量關(guān)系?已知：如圖，在ABC 中，求證：AB=AC.證明：如圖，作的平分線， 交BC于點(diǎn)D. 在ABD和ACD中， B=C(已知)， BAD=CAD(角平分線概念)， AD

12、=AD(公共邊)， ABDACD(AAS). AB=AC(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).知1導(dǎo)歸 納知1導(dǎo) 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形.其中，兩個(gè)相等的角所對(duì)的邊相等. (簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”)導(dǎo)引：要說明ABC為等腰三角形，由圖可知即要 說明BC，而B，C分別在兩個(gè)直角 三角形中，因此只要說明B，C的余角 BQP，R相等即可如圖，在ABC中， P是BC邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的垂線，交AB于點(diǎn)Q，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，若AQAR，則ABC是等腰三角形嗎？請(qǐng)說明理由知1講例1解：ABC是等腰三角形理由如下： AQAR，RAQR. 又BQPAQR，RBQP. 在QPB和RPC

13、中， BBQP180BPQ90， CR180CPR90， BC， ABAC，即ABC為等腰三角形知1講 總 結(jié)知1講 本題運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，將要說明的兩等角利用等角的余角相等轉(zhuǎn)化為說明其余角相等；對(duì)頂角相等這一隱含條件在推導(dǎo)角的相等關(guān)系中起了關(guān)鍵的橋梁作用根據(jù)等腰三角形的判定定理可知，證明一個(gè)三角形是等腰三角形，就是要證明三角形有兩個(gè)內(nèi)角相等所以證明兩個(gè)角相等是判定等腰三角形的關(guān)鍵所在知1練在ABC中，A和B的度數(shù)如下，能判定 ABC是等腰三角形的是() AA50，B70 BA70，B40 CA30，B90 DA80，B60如圖，BC36，ADEAED 72，則圖中的等腰三角形有() A3個(gè)B4

14、個(gè) C5個(gè)D6個(gè) BD如圖，在ABC中，D，E分別是AB，AC上的一點(diǎn)，BE與CD交于點(diǎn)O，給出下列四個(gè)條件： DBO=ECO；BDO=CEO； BD=CE；OB=OC (1)上述四個(gè)條件中，哪兩個(gè)可以判定ABC是等腰三角形？ (2)選擇第(1)題中的一種情形為條 件，試說明ABC是等腰三角形知1練解：(1)，和； (2)以為條件，理由： OB=OC，OBC=OCB 又DBO=ECO， DBO+OBC=ECO+OCB， 即ABC=ACB，AB=AC， ABC是等腰三角形知1練2知識(shí)點(diǎn)等邊三角形的判定知2導(dǎo)1.三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形嗎？說出 你的理由.2.有一個(gè)角是60的等腰三角形一

15、定是等邊三角形 嗎？說出你的理由.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形.歸 納知2導(dǎo)知2講例2 如圖，已知ABC是等邊三角形，D為邊AC的 中點(diǎn)，AEEC，AEBC. 證明：ADE是等邊三角形導(dǎo)引：由題中條件可證明ABDACE，可得AD AE，又易知CAE60，因此可以用判 定定理2證ADE是等邊三角形知2講ABC是等邊三角形，D為邊AC的中點(diǎn)，ABAC，BACBCA60，BDAC，BDA90.AEEC，CEA90，BDACEA.AEBC，CAEBCA60BAD.在ABD和ACE中，ABDACE.ADAE，又DAE60， ADE是等邊三角形 證明： 證明一

16、個(gè)三角形是等邊三角形的方法：(1)若已知三邊關(guān)系，則選用等邊三角形定義來判定；(2)若已知三角關(guān)系，則選用“三個(gè)角都相等的三角形 是等邊三角形”來判定；(3)若已知是等腰三角形，則選用“有一個(gè)角等于60 的等腰三角形是等邊三角形”來判定總 結(jié)知2講 如圖，已知點(diǎn)D是等邊三角形ABC的邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，EBCDAC，CEAB. 求證：CDE是等邊三角形知2練 證明：ABC是等邊三角形， BCAC，ABCACB60. CEAB，ABCECD60， BCEACD18060120. 在ACD和BCE中， ACDBCE，CDCE. CDE是等邊三角形知2練2 下列三角形： 有兩個(gè)角等于60的三角形；

17、 有一個(gè)角等于60的等腰三角形； 三個(gè)外角(每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角)都相 等的三角形； 一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三 角形 其中是等邊三角形的有() A B C D D知2練3 【中考河北】如圖，AOB120，OP平分 AOB，且OP2.若點(diǎn)M，N分別在OA，OB 上，且PMN為等邊三角形，則滿足上述條件 的PMN有() A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D3個(gè)以上 D 等腰三角形的三種判定方法(1)當(dāng)三角形有兩條邊相等時(shí)，應(yīng)用“有兩條邊相等的 三角形是等腰三角形”來判定.(2)當(dāng)三角形中有兩個(gè)角相等時(shí)，應(yīng)用“如果一個(gè)三角 形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等” 來證明.(3)當(dāng)線段垂直平

18、分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)構(gòu)成三角形 是，應(yīng)用“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的 距離相等，則構(gòu)成的三角形式等腰三角形”來證明. 根據(jù)條件判定等邊三角形的解題技巧：(1)若已知三邊關(guān)系，則考慮用“三條邊都相等的三角 形是等邊三角形”判定(2)若已知三角關(guān)系，則根據(jù)“三個(gè)角都相等的三角形 是等邊三角形”判定(3)若已知該三角形是等腰三角形，則根據(jù)“有一個(gè)角 是60的等腰三角形是等邊三角形”判定第十七章 特殊三角形17.2 直角三角形1課堂講解2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升直角三角形角的性質(zhì)與判定直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)含30角的直角三角形的性質(zhì) 這幅圖畫是云南西雙版納傣族干爛房，你能從圖中

19、找出形狀為直角三角形的部分嗎？1知識(shí)點(diǎn)直角三角形的性質(zhì)與判定知1導(dǎo) 我們知道，有一個(gè)角等于90的三角形叫做直角三角形.直角三角形可以用符號(hào)“Rt”表示，如圖，直角三角形ABC可以表示為“RtABC”. 由三角形內(nèi)角和定理，容易得到： 直角三角形的性質(zhì)定理. 直角三角形的兩個(gè)銳角互余. 直角三角形性質(zhì)定理的逆命題顯然也是真命題.于是，有：直角三角形的判定定理 如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形.知1講 “直角三角形的兩個(gè)銳角互余”及“有兩個(gè)角互余 的三角形是直角三角形”都可以利用三角形的內(nèi) 角和定理推出(2)在直角三角形中，若已知兩個(gè)銳角之間的關(guān)系， 結(jié)合兩銳角互余可以求出每

20、個(gè)銳角的度數(shù)，而不 必再使用三角形內(nèi)角和定理求解(3)在判定一個(gè)三角形是直角三角形時(shí)，除利用直角 三角形的定義外，還可找出有兩個(gè)銳角互余，從 而直接判定直角三角形如圖，已知A32，ADC110，BEAC于點(diǎn)E，求B的度數(shù)知1講例1解：A32，ADC110， C1803211038. 又BEAC，BEC為直角三角形， B90C903852(直角三角 形的兩個(gè)銳角互余) ：直角三角形是特殊的三角形，在直角三角形中， 可以利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余求角的度數(shù) 的問題，也可以利用三角形內(nèi)角和定理來求解 總 結(jié)知1講 直角三角形是特殊的三角形，直角三角形的兩銳角互余的本質(zhì)是三角形內(nèi)角和定理，是三角形內(nèi)

21、角和定理的一種簡(jiǎn)化應(yīng)用，利用這一性質(zhì)，在直角三角形中已知一銳角可求另一銳角 知1練 如圖，AD是RtABC的斜邊BC上的高，則圖中 與B互余的角有() A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)【中考遵義】如圖，在平行線a，b之間放置一塊 直角三角板，三角板的頂點(diǎn)A，B分別在直線a，b上，則12的值為() A90 B85 C80 D60BA知1講例2 如圖，ABCD，直線EF分別交AB，CD于 點(diǎn)E，F(xiàn)，BEF的平分線與DFE的平分 線相交于點(diǎn)P.試說明EFP為直角三角形導(dǎo)引：判定EFP為直角三角形，有兩種方法： 有一角是直角，兩銳角互余，即要說 明EPF90或EFPFEP90.知1講ABCD，BEFDF

22、E180.EP為BEF的平分線，F(xiàn)P為EFD的平分線，PEF BEF，PFE DFE.PEFPFE (BEFDFE)18090.EFP為直角三角形 解： 根據(jù)直角三角形的定義可以判定直角三角形；由直角三角形的判定定理也可判定直角三角形有兩個(gè)角互余，由三角形內(nèi)角和定理可知第三個(gè)角是直角，因此它的實(shí)質(zhì)還是直角三角形的定義總 結(jié)知1講 如圖，BD平分ABC，ADB60，BDC 80，C70.試判斷ABD的形狀知1練解：在DBC中，DBC180 BDCC18080 7030. BD平分ABC，ABDDBC30. 在ABD中， ADBABD603090， ABD是直角三角形 知1練【中考咸寧】如圖，直線

23、l1l2，CDAB于 點(diǎn)D，150，則BCD的度數(shù)為() A50 B45 C40 D30 C2知識(shí)點(diǎn)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)知2導(dǎo) 在一張半透明的紙上畫出RtABC，C=90，如圖(1)；將B折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為EF，沿BE畫出虛線CE， 如圖(2)；將紙展開，如圖(3) .知2導(dǎo) (1)ECF與B有怎樣的關(guān)系？線段EC與線段EB有怎樣的關(guān)系？ (2)由發(fā)現(xiàn)的上述關(guān)系以及A+B=ACB，ACE+ECF=ACB，你能判斷ACE與A的大小關(guān)系嗎？線段AE與線段CE呢? 從而你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？將你的結(jié)論與大家交流. 我們發(fā)現(xiàn)，CE=AE=EB，即CE是AB的中線，且CE= AB. 下面就

24、來證明上面的“發(fā)現(xiàn)”.知2導(dǎo) 已知：如圖，在 RtABC 中，ACB = 90， CD為斜邊AB上的中線. 求證：CD= AB. 證明：如圖，過點(diǎn)D，作DEBC，交AC于 點(diǎn)E；作DFAC，交BC于點(diǎn)F. 在AED 和DFB 中， A=FDB(兩直線平行，同位角相等)， AD=DB(中線的概念)， ADE=B(兩直線平行，同位角相等)，知2導(dǎo)AEDDFB (ASA).QE=DF，ED=FB.(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）同理可證，CDEDCF.從而，ED=FC，EC=FD. AE=EC，CF=FB.(等量代換）又DEAC，DFBC，(兩直線平行，同位角相等)DE為AC的垂直平分線，DF為BC的垂直

25、平分線. AD=CD=BD(線段垂直平分線的性質(zhì)定理).CD= AB.知2導(dǎo) 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.歸 納知2講例3 如圖，BD，CE是ABC的兩條高，M，N分別 是BC，DE的中點(diǎn)求證：MNDE.導(dǎo)引：如圖，連接EM，DM，由CE與BD 為ABC的兩條高，可得BEC與 BDC均為直角三角形，根據(jù)M為 BC的中點(diǎn)，利用“直角三角形斜邊上的中線等 于斜邊的一半”可得EM為BC的一半，DM也為 BC的一半，通過等量代換可得EMDM，又因 為N為DE的中點(diǎn)，所以MNDE.知2講連接EM，DM，如圖.CE，BD為ABC的兩條高，CEAB，BDAC，BECBDC90.在RtBEC中，M為

26、斜邊BC的中點(diǎn)，EM BC.在RtBDC中，M為斜邊BC的中點(diǎn)，DM BC.EMDM.又N為DE的中點(diǎn)，MNDE. 證明： 若題目中出現(xiàn)了一邊的中點(diǎn)，往往需要用到中線，若又有直角，往往需要用到直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半總 結(jié)知2講 知2練如圖，在四邊形ABCD中，DABDCB 90，AC與BD相交于點(diǎn)O，M，N分別是BD，AC的中點(diǎn)求證：MNAC. 證明：連接AM，MC. 在DCB和BAD中， DCBDAB90， DCB和BAD均為直角三角形 M是BD的中點(diǎn)， MC BD，AM BD.MC AM. 又N是AC的中點(diǎn)，MNAC.知2練如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點(diǎn)M與 點(diǎn)

27、C被湖隔開，若測(cè)得AM的長(zhǎng)為1.2 km，則M，C兩點(diǎn)間的距離為() A0.5 km B0.6 km C0.9 km D1.2 km如圖，在RtACB中，ACB90，CD為AB 邊上的中線，A30.若CD6，則BC的長(zhǎng)度為() A2 B4 C6 D8 CD3知識(shí)點(diǎn)知3導(dǎo) 證明：在直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.含30角的直角三角形的性質(zhì)知3講1.性質(zhì)：在直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊等于斜 邊的一半要點(diǎn)精析：(1)適用條件含30角的直角三角形(2)揭示的關(guān)系30角所對(duì)的直角邊與斜邊的關(guān)系拓展：在直角三角形中，若一直角邊等于斜邊的一半， 則該直角邊所對(duì)的角為30.2.作用：應(yīng)用

28、于證線段的倍數(shù)關(guān)系和計(jì)算角度 知3講例4 中考溫州如圖17.26，在等邊三角形ABC 中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，DEAB， 過點(diǎn)E作EFDE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F. (1)求F的度數(shù)； (2)若CD2，求DF的長(zhǎng)導(dǎo)引：(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得EDCB60， 再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解； (2)易證EDC是等邊三角形，再根據(jù)直角三角 形的性質(zhì)即可求解知3講(1)ABC是等邊三角形，B60. DEAB，EDCB60. EFDE，DEF90. F90EDC30.(2)ACB60，EDC60， DEC60.ACBEDCDEC. EDC是等邊三角形DECD2. DEF90，F(xiàn)30， DF2

29、DE4. 解： 利用含30角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵有兩個(gè)元素：一是30的角；二是直角三角形根據(jù)這兩個(gè)元素可建立直角三角形中斜邊與一條直角邊之間的關(guān)系總 結(jié)知3講 知3練中考銅仁如圖，已知AOB30，P是 AOB平分線上一點(diǎn)，CPOB，交OA于點(diǎn) C，PDOB，垂足為點(diǎn)D，且PC4，則PD等于() A1 B2 C4 D8 B知3練1 【中考黔南州】如圖，在ABC中，C 90，B30，AB的垂直平分線ED交 AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，若CD3，則BD的長(zhǎng)為_ 6知3練在RtABC中，A30，則下列結(jié)論正確 的是() ABC AB BBC AB C當(dāng)B90時(shí)，BC AB D當(dāng)C90時(shí)，BC AB

30、D 在直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半這個(gè)定理將特殊的直角三角形中的角度關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形中邊的等量關(guān)系在一般情況下，遇到30角常用的添加輔助線的方法就是作垂直，構(gòu)造含30角的直角三角形，解決相關(guān)的線段問題第十七章 特殊三角形17.3 勾股定理第1課時(shí) 認(rèn)識(shí)勾股定理1課堂講解勾股定理勾股定理與圖形的面積2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升 如圖是2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)(ICM-2002)的會(huì)標(biāo).它的設(shè)計(jì)思路可追溯到3世紀(jì)中國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽所使用的弦圖.用弦圖證明勾股定理在數(shù)學(xué)史上有著重要的地位.1知識(shí)點(diǎn)勾股定理知1導(dǎo)1.如圖(1)，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的小正方形，在

31、所 圍成的ABC中，ACB=90.圖中以AC，BC，AB 為邊的正方形的面積分別是多少？這三個(gè)正方形的面 積之間具有怎樣的關(guān)系？2.圖(2)是用大小相同的兩種顏色的正方形地磚鋪成的 地面示意圖，ACB=90.分別以AC，BC，AB為 邊的三個(gè)正方形(紅色框標(biāo)出)的面積之間有怎樣的 關(guān)系？3.如圖(3)，在ABC中，ACB=90，請(qǐng)你猜想： 分別以AC，BC，AB為邊的三個(gè)正方形的面積之間 也具有圖(1)和圖(2)中三個(gè)正方形的面積之間所具有 的關(guān)系嗎？ 如果具有這種關(guān)系，請(qǐng)用圖(3)中RtABC的邊把這 種關(guān)系表示出來.知1導(dǎo)歸 納知1導(dǎo) 通過探究可知：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜

32、邊的平方. 圖是用四個(gè)全等的直角三角形拼成的，其中，四邊形ABDE和四邊形CFGH都是正方形.請(qǐng)你根據(jù)此圖，利用它們之間的面積關(guān)系推導(dǎo)出：a2 +b2=c2. 如圖，我國(guó)古代把直角三角形較短的直角邊叫做“勾”，較長(zhǎng)的直角邊叫做“股”，斜邊叫做“弦”.因此，直角三角形三邊之間的關(guān)系稱為勾股定理 . 知1導(dǎo)歸 納知1導(dǎo) 如果直角三角形兩直角邊分別為a，b斜邊為c，那么a2+b2=c2. 勾股定理也可敘述為：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 分析：本題考查了等腰三角形三線合一的性 質(zhì)，即等腰三角形底邊上的中線，底 邊上的高重合，利用三線合一的性質(zhì)求得線段的長(zhǎng) 度后，再利用勾股定理求出AD邊

33、的長(zhǎng)度.解：根據(jù)等腰三角形的三線合一，AD是底邊上的高，可得 ADBD .即BD= BC= 6=3(cm) .在RtABD中， 由勾股定理，得AB2=BD2+AD2，所以AD=4 cm. 如圖所示，等腰三角形ABC中，AB=AC ，AD是底邊上的高，若AB=5 cm，BC=6 cm，則AD= cm知1講例1ACDB 4總 結(jié)知1講 在直角三角形中應(yīng)用勾股定理求邊長(zhǎng)時(shí)，要分清斜邊和直角邊，避免盲目代入勾股定理的公式.知1練1 下列說法中正確的是() A已知a，b，c是三角形的三邊，則a2b2c2 B在直角三角形中，兩邊的平方和等于第三邊的平方 C在RtABC中，C90，則a2b2c2 D在RtA

34、BC中，B90，則a2b2c2若一個(gè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，斜 邊長(zhǎng)為c，則下列關(guān)于a，b，c的關(guān)系式中不正確的 是() Ab2c2a2 Ba2c2b2 Cb2a2c2 Dc2a2b2 CC在RtABC中，C=90，AC=9，BC=12，則 點(diǎn)C到AB的距離是() A. B. C. D. 知1練A2知識(shí)點(diǎn)勾股定理與圖形的面積知2講例2 如圖所示，在ABC中，ACB=90，以ABC的各 邊為邊在ABC外作三個(gè)正方形，S1，S2 ，S3分別表示 這三個(gè)正方形的面積，S1=81，S3=225，則S2=_分析：要求S2的面積，需要知道正方形的邊長(zhǎng)或 邊長(zhǎng)的平方，利用勾股定理可以解答.解：

35、由勾股定理，得AC2+BC2=AB2 .又S1=AC2， S2=BC2，S3=AB2 ，S1+S2=S3. 即S2=S3S1=22581=144. 故填144. ：本題將勾股定理與正方形面積公式結(jié)合起來，通過勾 股定理解決正方形面積的問題，充分體現(xiàn)了它們之間 存在的聯(lián)系144正方形和直角三角形相結(jié)合可以求出圖形的面積.總 結(jié)知2講如圖所示，分別以RtABC的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，且S1=4，S2=8試求S3.知2練解析：把正方形的面積用邊長(zhǎng)的平方表示，然后利用 勾股定理求解解：在RtABC中，由勾股定理得BC2+AC2=AB2 所以S3=AB2=BC2+AC2=S

36、1+S2=12知2練如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面積分別為3和4，則b的面積為() A3 B4 C5 D7 D知2練如圖，已知ABC為直角三角形，分別以直角 邊AC、BC為直徑作半圓AmC和BnC，以AB為直徑作半圓ACB，記兩個(gè)月牙形陰影部分的面積之和為S1，ABC的面積為S2，則S1與S2的大小關(guān)系為() AS1S2 BS1S2 CS1S2 D不能確定 C 運(yùn)用勾股定理時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)遇到求線段長(zhǎng)度的問題時(shí)，能想到利用勾股定理.(2)必須把要求的線段歸結(jié)到直角三角形中去(沒有直角 三角形，可以通過作輔助線構(gòu)造直角三角形)，切記 亂用勾股定理.(3)分清組成直角三

37、角形的線段中哪條是直角邊，哪條 是斜邊. 勾股定理適用的前提條件是直角三角形： 由公式a2+b2=c2可知，在直角三角形中，已知任意兩條邊長(zhǎng)，可求第三條邊長(zhǎng). 在應(yīng)用公式計(jì)算時(shí)要會(huì)靈活變形，常常要與乘法公式結(jié)合適用；如c2=a2+b2=(a+b)22ab或c2=a2+b2=(ab)2+2ab；a2=c2b2=(c+b)(cb)等.第十七章 特殊三角形17.3 勾股定理第2課時(shí) 勾股定理 的應(yīng)用1課堂講解勾股定理的實(shí)際應(yīng)用勾股定理的幾何應(yīng)用勾股定理求最小值應(yīng)用2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升小鹿，你在忙嘛呢，不下來做游戲？我不知道，我們?nèi)フ夜虐＜叭?，問一問吧我在想，我們?cè)诘倪@個(gè)三角形有什么特

38、點(diǎn)呢！1知識(shí)點(diǎn)勾股定理的實(shí)際應(yīng)用知1講1.勾股定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式： 在RtABC中，C90，ABc，ACb，BC a，則a2b2c2.要點(diǎn)精析：(1)勾股定理適用于任何一個(gè)直角三角形；(2)勾股定理的內(nèi)容描述的是直角三角形三邊之間的數(shù) 量關(guān)系，已知其中任意兩邊可以求出第三邊；(3)勾股定理的變形公式：a2c2b2，b2c2a2；(4)運(yùn)用勾股定理時(shí)，要分清斜邊、直角邊2.基本思想方法：勾股定理把“形”與“數(shù)”有機(jī)地結(jié)合 起來，即把直角三角形這個(gè)“形”與三邊關(guān)系這一“數(shù)” 結(jié)合起來，它是數(shù)形結(jié)合思想的典范易錯(cuò)警示：運(yùn)用勾股定理時(shí)，一定要分清哪條邊是斜 邊.在不清楚哪條邊是斜邊時(shí)，要分類討論，寫出所

39、 有可能，以免漏解或錯(cuò)解知1講 解：在ABC中， ACB=90， AC2+BC2=AB2(勾股定理). AB=200 m，BC=160 m， 答：點(diǎn)A和點(diǎn)C間的距離是120 m.如圖，為了測(cè)得湖邊上點(diǎn)A和點(diǎn)C間的距離，一觀測(cè)者在點(diǎn)B設(shè)立了一根標(biāo)桿，使ACB=90.測(cè)得 AB=200 m，BC=160 m.根據(jù)測(cè)量結(jié)果，求點(diǎn)A和點(diǎn)C間的距離.知1講例1 總 結(jié)知1講 解決這類實(shí)際問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)知識(shí)解答，把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、明朗化.知1練【中考哈爾濱】如圖，一艘輪船位于燈塔P的北 偏東60方向，與燈塔P的距離為30海里的A處,輪船沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位

40、于燈塔P的南偏東30方向上的B處，則此時(shí)輪船所在的位置B處與燈塔P之間的距離為() A60 海里 B45 海里 C20 海里 D30 海里 D知1練2 【中考安順】如圖，有兩棵樹，一棵高10米， 另一棵高4米，兩樹相距8米，一只小鳥從一 棵樹的樹頂飛到另一棵樹的樹頂，小鳥至少 飛行() A8米 B10米 C12米 D14米 B如圖所示，一場(chǎng)暴雨過后，垂直于地面的一棵樹在距地面1.5 m處折斷，樹尖B恰好碰到地面，經(jīng)測(cè)量AB=2 m，則樹高為 m.知1練4 2知識(shí)點(diǎn)勾股定理的幾何應(yīng)用知2講例2 如圖，在長(zhǎng)為50 mm，寬為40 mm的長(zhǎng)方形零件 上有兩個(gè)圓孔，與孔中心A，B相關(guān)的數(shù)據(jù)如圖所 示.

41、求孔中心A和B間的距離.解：ABC是直角三角形， AB2=AC2+BC2. AC=501526=9(mm)， BC=401810=12(mm)， 答：孔中心A和B間的距離是15 mm. 利用勾股定理求未知邊長(zhǎng)時(shí)，關(guān)鍵要找準(zhǔn)斜邊,找斜邊，就是找直角，直角所對(duì)的邊就是斜邊總 結(jié)知2講 如圖，在ABC中，AB=AC=12，BC=16. 求ABC的面積.知2練 解：過點(diǎn)A作ADBC，交BC 于點(diǎn)D. AB=AC，AD是ABC底邊BC上的中線， BD=CD= BC= 16=8. 在RtABD中，由勾股定理，得AD2=AB2 BD2=12282，AD=4 .SABC = BCAD= 164 =32 .知2

42、練【中考黔東南】2002年8月在北京召開的國(guó)際數(shù) 學(xué)家大會(huì)會(huì)徽取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的大正方形，如圖所示，如果大正方形的面積是13，小正方形的面積為1，直角三角形的較短直角邊長(zhǎng)為a，較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為b，那么(ab)2的值為() A13 B19 C25 D169 C知2練【中考杭州】已知直角三角形紙片的兩條直角 邊長(zhǎng)分別為m和n(mn)，過銳角頂點(diǎn)把該紙片剪成兩個(gè)三角形若這兩個(gè)三角形都是等腰三角形，則() Am22mnn20 Bm22mnn20 Cm22mnn20 Dm22mnn20 C3知識(shí)點(diǎn)勾股定理的幾何應(yīng)用知3講例3 如圖，小紅想用一條

43、彩帶纏繞易拉罐，正好從 A點(diǎn)繞到正上方B點(diǎn)共四圈，已知易拉罐底面周 長(zhǎng)是12 cm，高是20 cm，那么所需彩帶最短的 是( ) A. 13 cm B. 4 cm C. 4 cm D. 52 cmD知3講分析：要求彩帶的長(zhǎng)，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根 據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段 長(zhǎng)時(shí)，借助于勾股定理.解：有圖可知，彩帶從易拉罐底端的 A處繞易拉罐 4 圈后到達(dá)頂端的B處，將易拉罐表面切開展開呈 長(zhǎng)方形，則螺旋線長(zhǎng)為四個(gè)長(zhǎng)方 形并排后的長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)， 易拉罐底面周長(zhǎng)是12 cm， 高是20 cm， x2=(124)2+202， 所以彩帶最短是52 cm. 本題考查了平面展開-最

44、短路徑問題，圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，此矩形的長(zhǎng)等于圓柱底面周長(zhǎng)，高等于圓柱的高，本題就是把圓柱的側(cè)面展開呈矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決.總 結(jié)知3講知3練【中考東營(yíng)】如圖，一只螞蟻沿著棱長(zhǎng)為2 的正方體表面從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)過3個(gè)面爬到點(diǎn)B，如果它運(yùn)動(dòng)的路徑是最短的，則AC的長(zhǎng) 為_ 知3練如圖所示，一圓柱高8 cm，底面半徑為2 cm，一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，要爬行的最短路程(取3)是( ) A. 20 cm B. 10 cm C. 14 cm D.無法確定B 用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法：首先通過拼圖找出面積的相等關(guān)系，再由面積之間的相等關(guān)系并結(jié)合圖形進(jìn)行代數(shù)變形即可推導(dǎo)出勾股

45、定理. 它一般都經(jīng)過以下幾個(gè)步驟：拼出圖形寫出圖形面積的表達(dá)式找出相等關(guān)系恒等變形導(dǎo)出勾股定理. 應(yīng)用勾股定理解題的方法：(1)添線應(yīng)用，即題中無直角三角形，可以通過作垂線， 構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理求解；(2)借助方程應(yīng)用，即題中雖有直角三角形，但已知線 段的長(zhǎng)不完全是直角三角形的邊長(zhǎng)，可通過設(shè)未知 數(shù)，構(gòu)建方程，解答計(jì)算問題；(3)建模應(yīng)用，即將實(shí)際問題建立直角三角形模型，通 過勾股定理解決實(shí)際問題第十七章 特殊三角形17.3 勾股定理第3課時(shí) 勾股定理的 逆定理1課堂講解由邊的數(shù)量關(guān)系判定直角三角形勾股數(shù)2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升 通過前邊的學(xué)習(xí)我們知道直角三角形的三邊有特

46、殊的數(shù)量關(guān)系，那么我們?nèi)绾巫R(shí)別一個(gè)三角形是不是直角三角形呢？今天，我們學(xué)習(xí)一種新的方法！1知識(shí)點(diǎn)由邊的數(shù)量關(guān)系判定直角三角形知1導(dǎo) 如果ABC的三邊a，b， c滿足a2+b2=c2，那么C是直角嗎？ 在ABC中，由邊的關(guān)系a2+b2=c2，推導(dǎo)出C是直角較難做到.若作一個(gè)與ABC全等的直角三角形，則可借助于全等的性質(zhì)來說明C是直角. 已知：如圖，在ABC 中，AB = c，BC = a，CA = b，且 a2 + b2 = c2. 求證：C=90. 證明：如圖(2).作ABC，C = 90，BC = a， CA=b.由勾股定理，可得 AB2 =a2+b2. a2+b2=c2, AB2= c2，

47、 即AB=c. 在ABC和 ABC中， BC= BC = a，AC = AC= b，AB= AB=c， ABCABC(SSS). C=C = 90(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).知1導(dǎo)歸 納知1導(dǎo) 如果三角形的三邊a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.圖是一個(gè)機(jī)器零件示意圖，ACD=90是這種零件合格的一項(xiàng)指標(biāo).現(xiàn)測(cè)得 AB=4 cm，BC= 3 cm，CD =12 cm，AD = 13 cm，ABC=90.根據(jù)這些條件，能否知道ACD =90?知1講例1解：知1講在ABC中，ABC = 90， AC2 =AB2 +BC2 (勾股定理).AB=4，BC=3， AC2 = 32

48、+42 = 52. AC=5.在ACD中， AC=5，CD = 12，AD= 13， AC2+CD2 = 52 +122=169，AD2 =132 =169. AC2+CD2=AD2.ACD=90(勾股定理的逆定理). 所以，根據(jù)這些條件，能知道ACD= 90. 總 結(jié)知1講 利用勾股定理的逆定理構(gòu)建直角三角形解決問題的方法：先通過勾股定理的逆定理證明一個(gè)三角形是直角三角形，然后利用直角得到另一個(gè)直角三角形，在另一個(gè)直角三角形中運(yùn)用勾股定理求邊長(zhǎng)，這是勾股定理及其逆定理常用的綜合解題思路，這種方法常用在具有公共直角或者兩直角互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)直角三角形中 解：AD是ABC的中線， BD BC8.

49、 在ABD中，AB17，BD8，AD15， AB2172289，BD2AD28215264225 289，BD2AD2AB2， ABD為直角三角形，且ADB90， ADC是直角三角形在RtADC中，AC 17，ABAC.如圖，在ABC中，AB17，BC16，BC邊上 的中線AD等于15，試說明ABAC.知1練 知1練【中考淮安】下列四組線段中，能組成直角三角形的是() Aa1，b2，c3 Ba2，b3，c4 Ca2，b4，c5 Da3，b4，c5已知ABC的三邊長(zhǎng)分別為5，12，13，則ABC 的面積為() A30 B60 C78 D無法確定 DA2知識(shí)點(diǎn)勾股數(shù)知2講1.勾股數(shù)：能夠成為直角三

50、角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整 數(shù)常見的勾股數(shù)有：3，4，5；5，12，13；8，15， 17；7，24，25；9，40，41；.要點(diǎn)精析：(1)勾股數(shù)有無數(shù)組；(2)一組勾股數(shù)中各數(shù)的相同倍數(shù)構(gòu)成一組新的勾股數(shù)， 如3，4，5是勾股數(shù)，則6，8，10和9，12，15也是 勾股數(shù)；即如果a，b，c是一組勾股數(shù)，那么na，nb， nc(n為正整數(shù))也是一組勾股數(shù)知2講2.判斷勾股數(shù)的方法：(1)確定是否是三個(gè)正整數(shù)；(2)確定最大數(shù)；(3)計(jì)算：看較小兩數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方 易錯(cuò)警示：勾股數(shù)必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：(1)三個(gè)數(shù)都是正整數(shù)；(2)兩個(gè)較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方 知2講例2 下面

51、四組數(shù)中是勾股數(shù)的一組是() A6，7，8 B5，8，13 C1.5，2，2.5 D21，28，35導(dǎo)引：根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足a2b2c2的三個(gè)正整 數(shù)a，b，c稱為勾股數(shù)A.627282，不能構(gòu) 成勾股數(shù)，故錯(cuò)誤；B.5282132，不能構(gòu)成勾 股數(shù)，故錯(cuò)誤；C.1.5和2.5不是整數(shù)，所以不能 構(gòu)成勾股數(shù)，故錯(cuò)誤；D.212282352，能構(gòu) 成勾股數(shù)，故正確故選D.D 確定勾股數(shù)的方法：首先看這三個(gè)數(shù)是否是正整數(shù)；然后看較小兩個(gè)數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方記住一些常見的勾股數(shù)可以提高解題速度常見的勾股數(shù)有3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41；.總

52、 結(jié)知2講 1 若直角三角形的三邊長(zhǎng)為三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)，則它的三邊長(zhǎng)分別是() A3，4，5 B6，8，10 C3，4，6 D4，6，8知2練B 知2練2 下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是() A5，12，13 B7，24，25 C8，12，15 D3k，4k，5k(k為正整數(shù))3 下面幾組數(shù)中，為勾股數(shù)的一組是() A4，5，6 B12，16，20 C10，24，26 D2.4，4.5，5.1 CB 勾股定理及其逆定理的應(yīng)用：(1)單一應(yīng)用：先由勾股定理的逆定理得出直角三角形 后，再求這個(gè)直角三角形的角度和面積；(2)綜合應(yīng)用：先由勾股定理求出三角形的邊長(zhǎng)，再由 勾股定理的逆定理確定三角形的形狀，

53、進(jìn)而解決其 他問題；(3)逆向應(yīng)用：如果一個(gè)三角形兩條較小邊長(zhǎng)的平方和 不等于最大邊長(zhǎng)的平方，那么這個(gè)三角形就不是直 角三角形第十七章 特殊三角形17.4 直角三角形全等的判定1課堂講解2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升判定兩直角三角形全等的方法：斜邊、直角邊直角三角形全等的綜合判定 下課后，小強(qiáng)和小星為“邊邊角”是否成立展開了爭(zhēng)論，小強(qiáng)認(rèn)為，對(duì)于兩個(gè)三角形，有“邊、邊、角”對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形不全等小星則畫了如下的兩個(gè)直角三角形(如圖)其中C=C=90，AB=AB，BC=BC，將它們從紙片上剪下來，發(fā)現(xiàn)它們重合，于是斷定“邊、邊、角”對(duì)應(yīng)相等的條件能判定兩個(gè)三角形全等，你認(rèn)為他說的有道理

54、嗎？1知識(shí)點(diǎn)判定兩直角三角形全等的方法：斜邊、直角邊知1導(dǎo) 我們已經(jīng)知道，三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.由勾股定理可知，兩邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形，其第三邊一定相等.從而，這兩個(gè)直角三角形一定全等.因此，斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.證明過程如下： 已知：如圖，在ABC和ABC中，C= C=90，AB = AB ，AC= AC. 求證：ABCABC. 證明：在ABC和ABC中， C=90，C=90， BC2=AB2AC2， BC2=AB2AC2(勾股定理). AB=AB，AC=AC， BC=BC. ABCABC(SSS).知1導(dǎo)歸 納知1導(dǎo)斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形

55、全等.這個(gè)定理可以簡(jiǎn)寫為“斜邊、直角邊”或“HL”.已知：如圖，點(diǎn)P在AOB的內(nèi)部，PCOA，PDOB，垂足分別為C， D，且PC=PD.求證：點(diǎn)P在AOB的平分線上.知1講例1證明：如圖，作射線OP. PCOA， PDOB，PCO=PDO=90. 在 RtOPC 和 RtOPD 中， RtOFCRtOPD( HL). POA=POB.OP是AOB的平分線， 即點(diǎn)P在AOB的平分線上. 總 結(jié)知1講 應(yīng)用“HL”判定兩個(gè)直角三角形全等，書寫時(shí)，必須強(qiáng)調(diào)是直角三角形 如圖，在ABC中，ABCB，ABC 90， F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且AECF. 求證： RtABERtCBF.知1練

56、 證明：ABC90， CBFABE90. 在RtABE和RtCBF中， RtABERtCBF(HL)2 如圖，CD90，添加一個(gè)條件，可使用 “HL”判定RtABC與RtABD全等以下給出的條件正確的是() AACAD BABAB CABCABD DBACBAD3 【中考西寧】下列可使兩個(gè)直角三角形全等的條 件是() A一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等 B兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等 C一條邊對(duì)應(yīng)相等 D兩條邊對(duì)應(yīng)相等知1練 AD2知識(shí)點(diǎn)直角三角形全等的綜合判定知2講例2 探究題 如圖所示，已知ACBADB90， ACAD，E是AB上任意一點(diǎn)求證：CEDE.證明：在RtABC和RtABD中， ACAD，ABAB， RtA

57、BCRtABD(HL)， CABDAB. 在AEC和AED中，ACAD，CAE DAE，AEAE，AECAED(SAS)， CEDE. 直角三角形是一類特殊的三角形，它具有一般三角形的所有性質(zhì)，因此，判定兩個(gè)直角三角形全等時(shí)，完全可以采用一般三角形全等的判定方法由于直角三角形中有一個(gè)直角，而直角都相等，所以在判定兩個(gè)直角三角形全等時(shí)，要注意到這兩個(gè)三角形中已經(jīng)具備一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的條件了，只需找另外兩個(gè)條件即可，而HL定理是直角三角形獨(dú)有的，所以運(yùn)用HL定理時(shí)，一定要指出是直角三角形總 結(jié)知2講知2練易錯(cuò)題如圖，ABBC，ABBC于B，F(xiàn)C CB于C，E為BC上一點(diǎn)，BEFC，試說明：AEBF.

58、 解：ABBC于B，F(xiàn)CCB于C， ABEBCF90. ABBC，BECF， ABEBCF(SAS)，AFBC. AAEB90， FBCAEB90，BED90， AEBF.知2練如圖，在ABC中，ADBC，D為BC的中點(diǎn)， 以下結(jié)論：ABDACD；ABAC； BC；AD是ABC的角平分線其 中正確的有() A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) D知2練【中考濟(jì)寧】如圖，在ABC中，ADBC， CEAB，垂足分別為D，E，AD，CE交于點(diǎn)H，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件： _， 使AEHCEB. AH=CB(或EH=EB或AE=CE) 判定直角三角形全等的“四種思路”：(1)若已知條件中有一組直角邊和一組斜

59、邊分別相等， 用“HL”判定(2)若有一組銳角和斜邊分別相等，用“AAS”判定(3)若有一組銳角和一組直角邊分別相等，直角邊 是銳角的對(duì)邊，用“AAS”判定；直角邊是銳角 的鄰邊，用“ASA”判定(4)若有兩組直角邊分別相等，用“SAS”判定第十七章 特殊三角形17.5 反證法1課堂講解2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升反證法的意義用反證法證明的步驟 在證明一些命題為真命題時(shí)，一般用直接證明的方法，但有時(shí)用間接的證明方法可能更方便.反證法就是一種常用的間接證明方法.1知識(shí)點(diǎn)反證法的意義知1導(dǎo) 在第九章中，我們已經(jīng)知道“一個(gè)三角形中最多有一個(gè)直角”這個(gè)結(jié)論.怎樣證明它呢？ 已知：如圖，ABC. 求證：在ABC中，如果它含直角，那么它只能有一個(gè)直角. 證明：假設(shè)ABC中有兩個(gè)(或三個(gè))直角，不妨設(shè) A=B =90. A+B=180， A+B+C 180. 這與“三角形的內(nèi)角和等于180”相矛盾. 因此，三角形有兩個(gè)(或三個(gè))直角的假設(shè)是不成立的. 所以，如果三角形含直角，那么它只能有一個(gè)直角.知1導(dǎo)歸 納知1導(dǎo) 上面的證明過程，