全等三角形動點(diǎn)問題提高題

1、全等三角形動點(diǎn)問題提高題1.如圖，已知ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒得速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，1秒鐘時，BPD與CQP是否全等，請說明理由；若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時，能夠使BPDCQP？（2）若點(diǎn)Q以（1）中的運(yùn)動速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)B同時出發(fā)，都逆時針沿ABC三邊運(yùn)動，求經(jīng)過多長時間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在ABC的哪條邊上相遇？2.如圖，ABC的邊BC在直線l上，ACBC，且AC=BC；EFP的邊F

2、P也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP.(1)請你通過觀察，測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)將EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點(diǎn)Q，連接AP，BQ，猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請證明你的猜想；(3)將EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點(diǎn)Q，連接AP，BQ.你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.3.如圖，在ABC中,CAB=70. 在同一平面內(nèi), 將ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到ABC 的位置, 使得 CCAB, 則BAB =4. 已知如

3、圖(1)，ABC中，BAC90，ABAC，AE是過A的一條直線，且B、C在AE的兩側(cè)，BDAE于D，CEAE于E，求證：(1)BDDECE；(2)若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到(2)位置時(BDCE)，其余條件不變，問BD與DE、CE的關(guān)系如何?請予證明(3)若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖(3)位置時，(BDCE)，其余條件不變，問BD與DE、CE的關(guān)系如何?請直接寫出結(jié)果，不須證明(4)歸納(1)、(2)、(3)，請用簡捷語言表述BD、DE、CE的關(guān)系5.在圖中，直線MN與線段AB相交于點(diǎn)O，1 = 2 = 45（1） 如圖，若AO = OB，請寫出AO與BD 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2） 將圖中的MN繞

4、點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得到下圖，其中AO = OB求證：AC = BD，AC BD；6.如圖，A、B、C、D在同一直線上，ABCD，DEAF，且DEAF，（1）求證：AFCDEB.（2）如果將BD沿著AD邊的方向平行移動，如圖，B點(diǎn)與C點(diǎn)重合時，如圖，B點(diǎn)在C點(diǎn)右側(cè)時，其余條件不變，結(jié)論是否仍成立，如果成立，請予證明；如果不成立，請說明理由7.如圖,E、F分別為線段AC上的兩個動點(diǎn),且DEAC于E點(diǎn),BFAC于F點(diǎn),若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M點(diǎn),（1）求證：MB=MD，ME=MF（2）當(dāng)E、F兩點(diǎn)移到至如圖所示的置時，其它條件不變，上述結(jié)論能否成立？若成立，請說明你的理由。8如圖，寬為5

5、0cm的長方形圖案由20個全等的直角三角形拼成，其中一個直角三角形的面積為9如圖，ABC中，C90，AD平分BAC，AB5，CD2，則ABD的面積是10.如圖，在ABC中,CAB=70. 在同一平面內(nèi), 將ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到ABC 的位置, 使得 CCAB, 則BAB =11如圖，在ABC中，ABAC，AD是的角平分線，垂足分別為E，F(xiàn)則下列四個結(jié)論：AD上任意一點(diǎn)到點(diǎn)C，B的距離相等；AD上任意一點(diǎn)到邊AB，AC的距離相等；BDCD，ADBC；BDECDF其中，正確的個數(shù)為 （）A1個B2個C3個D4個12.在等邊ABC的頂點(diǎn)A、C處各有一只蝸牛，它們同時出發(fā)，分別以每分鐘1米的速度由A向B

6、和由C向A爬行，其中一只蝸牛爬到終點(diǎn)時，另一只也停止運(yùn)動，經(jīng)過t分鐘后，它們分別爬行到D、E處，請問：（1）如圖1，在爬行過程中，CD和BE始終相等嗎？（2）如果將原題中的“由A向B和由C向A爬行”，改為“沿著AB和CA的延長線爬行”，EB與CD交于點(diǎn)Q，其他條件不變，蝸牛爬行過程中CQE的大小保持不變，請利用圖2說明：CQE=60；（3）如果將原題中“由C向A爬行”改為“沿著BC的延長線爬行，連接DE交AC于F”，其他條件不變，如圖3，則爬行過程中，DF始終等于EF是否正確？13.如圖，ABC的邊BC在直線上，ACBC，且AC=BC；EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=F

7、P.(1)請你通過觀察，測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)將EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點(diǎn)Q，連接AP，BQ，猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請證明你的猜想；(3)將EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點(diǎn)Q，連接AP，BQ.你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.14等邊ABC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)，以AD為邊在AD的右側(cè)作等邊ADE，連接CE（1）如圖1，若點(diǎn)D在線段BC上，求證：CE+CD=AB；（2）如圖2，若點(diǎn)D在CB的延長線上，線

8、段CE，CD，AB的數(shù)量有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請加以證明15.如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，且EF交正方形外角的平行線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM=EC，易證，所以在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；（2）小華提出：如圖3，點(diǎn)E是BC的延長線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE

9、=EF”仍然成立你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由16.如圖所示，有一直角三角形ABC，C=900，AC=10cm，BC=5cm，一條線段PQ=AB，P、Q兩點(diǎn)分別在AC上和過A點(diǎn)且垂直于AC的射線AM上運(yùn)動，問P點(diǎn)運(yùn)動到AC上什么位置時，ABC才能和APQ全等？17.在ABC中，AB=AC，P是ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，將AP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)至AQ，使QAP=BAC，連接BQ，CP；（1）如圖1，試說明BQ=CP；（2）若將點(diǎn)P在ABC外，如圖2，其它條件不變，結(jié)論依然成立嗎？試說明理由。18.如圖1，在ABC中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，直線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，若點(diǎn)在直線的異側(cè)，直線

10、于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，連接（1）延長交于點(diǎn)（如圖2），求證：；求證：；（2）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，點(diǎn)在直線的同側(cè)，其它條件不變.此時還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與邊平行的位置時，其它條件不變，請直接判斷還成立嗎？不必說明理由.19.如圖所示，有一塊塑料模板ABCD，長為10，寬為4，將你手中足夠大的直角三角板PHF的直角頂點(diǎn)P落在AD邊上(不與A、D重合)并在AD上平行移動：（1）能否使你的三角板兩直角邊分別通過點(diǎn)B與點(diǎn)C？若能，請你求出這時AP的長；若不能，請說明理由.（2）再次移動三角板位置，使三角板頂點(diǎn)P在AD上移動，直角邊PH始終通過點(diǎn)B

11、，另一直角邊PF與DC的延長線交于點(diǎn)Q，與BC交于點(diǎn)E，能否使CE=2？若能，請你求出這時AP的長；若不能，請說明理由.造全等三角形解題的技巧全等三角形是初中幾何三角形中的一個重要內(nèi)容，是初中生必須掌握的三角形兩大知識點(diǎn)之一（全等和相似），在解決幾何問題時，若能根據(jù)圖形特征添加恰當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出全等三角形，并利用全等圖形的性質(zhì)，可以使問題化難為易，出奇制勝，現(xiàn)舉幾例供大家參考。友情提示：證明三角形全等的方法有SAS、SSS、AAS、ASA、HL（Rt）。一、見角平分線試折疊，構(gòu)造全等三角形例1 如圖1，在ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC。求證：B：C=2：1。 證法一：在線段AC上

12、截取AE=AB，連接DE。在ABD和AED中AE=AB，1=2，AD=AD， ABDAED。 DE=DB，B=AED。AB+BD=AC， AE+DE=AC。又AE+CE=AC， DE=CE。 C=EDC。AED=C+EDC， AED=2C，即B=2C。 B：C=2：1。證法二：延長AB到F，使BF=BD，連接DF。 F=BDF。ABC=F+BDF， ABC=2F。AB+BD=AC， AB+BF=AC， 即AF=AC。在ADF和ADC中，AF=AC，1=2，AD=AD， ADFADC。 F=C。又ABC=2F， ABC=2C， 即ABC：C=2：1。點(diǎn)評：見到角平分線時，既可把ABD沿AD折疊變

13、成AED，也可把ACD沿AD折疊變成AFD，利用全等三角形的性質(zhì)，可使問題得以解決。練習(xí)：如圖3，ABC中，AN平分BAC，CNAN于點(diǎn)N，M為BC中點(diǎn)，若AC=6，AB=10，求MN的長。圖3提示：延長CN交于AB于點(diǎn)D。 則ACNADN， AD=AC=6。又AB=10，則BD=4。 可證為BCD的中位線。點(diǎn)評：本題相當(dāng)于把ACN沿AN折疊成AND。二、見中點(diǎn)“倍長”線段，構(gòu)造全等三角形例2 如圖4，AD為ABC中BC上的中線，BF分別交AC、AD于點(diǎn)F、E，且AF=EF，求證：BE=AC。圖4證明：延長AD到G，使DG=AD，連接BG。AD為BC上的中線， BD=CD，在ACD和GBD中，

14、AD=DG，ADC=BDG，BD=CD， ACDGBD。 AC=BG，CAD=G。AF=EF， CAD=AEF。 G=AEF=BEG， BE=BG，AC=BG，BE=AC。點(diǎn)評：見中線AD，將其延長一倍，構(gòu)造GBD，則ACDGBD。例3 如圖5，兩個全等的含有、角的三角極ADE和ABC如圖放置，E、A、C三點(diǎn)在同一直線上，連接BD，取BD中點(diǎn)M，連接ME、MC圖5試判斷EMC的形狀，并說明理由。解析：EMC為等腰直角三角形。理由：分別延長CM、ED，使其相交于點(diǎn)N，可證BCMDNM。 則BC=DN，CM=NM。由于DEAACB， 則DE=AC，AE=BC，DE+DN=AC+AE。 即EN=EC

15、，則ENC為等腰直角三角形。CM=NM， EMCN，則可知EMC為等腰直角三角形。注：本題也可取EC的中點(diǎn)N，連接MN，利用梯形中位線定理來證明。亦可連接AM，利用角的度數(shù)來證明。練習(xí)1：如圖6，在平行四邊形ABCD中，E為AD中點(diǎn)，連接BE、CE，BEC=，圖6求證：（1）BE平分ABC。（2）若EC=4，且，求四邊形ABCE的面積。提示：見圖中所加輔助線，證ABEDFE。練習(xí)2：ABC中，AC=5，中線AD=7，則AB的取值范圍為多少？注：延長AD到E，使DE=AD，連接BE。則BDECDA。BE=AC=5，DE=AD=7。在ABE中，BE=5，AE=14。利用三角形三邊關(guān)系可求線段AB的

16、取值范圍為：9AB19。三、構(gòu)造全等三角形，證線段的和差關(guān)系例4 如圖7，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，且1=2。圖7求證：BE+DF=AE。證明：延長CB到G，使BG=DF，連接AG。在ABG和ADF中，AB=AD，ABG=D=，BG=DF， ABGADF。 G=AFD，4=1。1=2， 4=2。ABCD， AFD=2+3=4+3=GAE。又G=AFD， G=GAE。 AE=GE。EG=BE+BG=BE+DF， BE+DF=AE。從以上幾例可以看出，全等三角形在證明中具有出奇制勝的作用。在解決有關(guān)角平分線、中點(diǎn)、線段的和差的問題時，通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形的辦法，不僅能使

17、問題迎刃而解，而且有助于學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和分析能力。1. 全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形，叫做全等三角形 1. 全等三角形有如下性質(zhì)： (1)全等三角形的對應(yīng)邊相等； (2)全等三角形的對應(yīng)角相等；(3)全等三角形的對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)高相等； (4)全等三角形的面積相等，周長相等2. 等腰三角形 兩邊相等的三角形叫等腰三角形(1)等邊對等角；(2)底邊上的高、底邊上的中線、頂角平分線互相重合；(3)是軸對稱圖形，對稱軸是頂角平分線；(4)底邊小于腰長的兩倍并且大于零，腰長大于底邊的一半；(5)頂角等于180減去底角的兩倍；(6)頂角可以是銳角、直角、鈍角，而底角只能是銳角3