2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章不等式6.1不等關(guān)系與不等式的性質(zhì)及一元二次不等式學(xué)案文

1、2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章不等式6.1不等關(guān)系與不等式的性質(zhì)及一元二次不等式學(xué)案文PAGE PAGE 3761不等關(guān)系與不等式的性質(zhì)及一元二次不等式知識(shí)梳理3必記結(jié)論(1)ab，ab0eq f(1,a)eq f(1,b).(2)a0beq f(1,a)b0,0ceq f(b,d).(4)0axb或axb0eq f(1,b)eq f(1,x)b0，m0，則eq f(b,a)eq f(bm,am)(bm0)；eq f(a,b)eq f(am,bm)；eq f(a,b)0)4一元二次函數(shù)的三種形式(1)一般式：yax2bxc(a0)(2)頂點(diǎn)式：yaeq blc(rc)(avs4alco1(x

2、f(b,2a)2eq f(4acb2,4a)(a0)(3)兩根式：ya(xx1)(xx2)(a0)5三個(gè)二次之間的關(guān)系診斷自測(cè)1概念思辨(1)abac2bc2.()(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，則方程ax2bxc0的兩個(gè)根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)沒有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2bxc0的解集為R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的條件是abab0.答案|loga(1x)|loga(1x)|解析(作差法)當(dāng)a1時(shí)，loga(1x)0，loga(1x)0，|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x)loga(1x)loga(1x

3、2)0.當(dāng)0a1時(shí)，loga(1x)0，loga(1x)0，|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x)loga(1x)loga(1x2)0.|loga(1x)|loga(1x)|.eq o(sup7(),sdo5(典例2)已知二次函數(shù)yf(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且1f(1)2,3f(1)4，求f(2)的取值范圍采用方程組法，找出f(2)的表達(dá)式與f(1)，f(1)的關(guān)系，再根據(jù)不等式性質(zhì)求范圍解由題意知f(x)ax2bx，則f(2)4a2b，設(shè)存在實(shí)數(shù)x，y，使得4a2bx(ab)y(a即4a2b(xy)a(xy)b，所以eq blcrc (avs4alco1(xy4，,xy2，)解得

4、eq blcrc (avs4alco1(x1，,y3，)所以f(2)4a2b(ab)3(ab)又3ab4,33(ab)6，所以6(ab)3(ab)10，即f(2)的取值范圍是6,10條件探究將本典例條件變?yōu)閑q blcrc (avs4alco1(3xy28，,4f(x2,y)9，)求eq f(x3,y4)的最大值解設(shè)eq f(x3,y4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(x2,y)m(xy2)n，則x3y4x2mny2nm所以eq blcrc (avs4alco1(2mn3，,2nm4，)即eq blcrc (avs4alco1(m2，,n1.)又16eq blc(rc)(avs4

5、alco1(f(x2,y)281，eq f(1,8)(xy2)1eq f(1,3)，2eq f(x3,y4)27，故eq f(x3,y4)的最大值為27.方法技巧不等式的概念與性質(zhì)問(wèn)題的常見題型及解題策略1比較大小的常用方法：作差法與作商法如典例1.2不等式的性質(zhì)及應(yīng)用解決此類問(wèn)題常用兩種方法：一是直接使用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證(注意前提條件)；二是利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案3求代數(shù)式的取值范圍(1)先建立待求式子與已知不等式的關(guān)系，再利用一次不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，求得待求式子的范圍如典例2.(2)同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，如果在解題中多次使用這種變化，有可能

6、擴(kuò)大其取值范圍如沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練(2017長(zhǎng)春模擬)若eq f(1,a)eq f(1,b)0，則下列不等式：eq f(1,ab)0；aeq f(1,a)beq f(1,b)；ln a2ln b2中，正確的不等式是()A B C D答案C解析由eq f(1,a)eq f(1,b)0，可知ba0.中，因?yàn)閍b0，所以eq f(1,ab)0，故有eq f(1,ab)eq f(1,ab)，即正確；中，因?yàn)閎aa0，則b|a|，即|a|b0，故錯(cuò)誤；中，因?yàn)閎a0，又eq f(1,a)eq f(1,b)beq f(1,b)，故正確；中，因?yàn)閎aa20，而yln x在其定義域上為增函數(shù)，所以ln

7、b2ln a2，故錯(cuò)誤由以上分析，知正確，故選C.題型2不等式的解法eq o(sup7(),sdo5(典例1)已知不等式ax2bxc0的解集為x|x0，0，求不等式cx2bxaeq f(1,)或x0的解集為x|x，a0，為ax2bxc0的兩根，0.eq blcrc (avs4alco1(f(b,a)，,f(c,a).)eq blcrc (avs4alco1(ba，,ca.)不等式cx2bxa0可轉(zhuǎn)化為ax2a()xa0.(x1)(x1)0.xeq f(1,)或xeq f(1,).不等式cx2bxaeq f(1,)或x0時(shí)，原不等式化為eq blc(rc)(avs4alco1(xf(2,a)(x

8、1)0，解得xeq f(2,a)或x1.(3)當(dāng)a1，即a2時(shí)，解得1xeq f(2,a)；當(dāng)eq f(2,a)1，即a2時(shí)，解得x1滿足題意；當(dāng)eq f(2,a)a2，解得eq f(2,a)x1.綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為x|x1；當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xf(2,a)或x1)；當(dāng)2a0時(shí)，不等式的解集為eq blcrc (avs4alco1(xblc|rc(avs4alco1(f(2,a)x1)；當(dāng)a2時(shí)，不等式的解集為1；當(dāng)a2時(shí)，不等式的解集為eq blcrc (avs4alco1(xblc|rc(av

9、s4alco1(1xf(2,a).方法技巧1一元二次不等式的求解策略(1)化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式(2)判：計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式(3)求：求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說(shuō)明方程有沒有實(shí)根(4)寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集如典例1，沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練2含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要比較(相應(yīng)方程)根的大小，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論：(1)若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，可先考慮分解因式，再對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論；若不易分解因式，則可對(duì)判別式進(jìn)行分類討論；(2)若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)是否為零，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式；(3)其次對(duì)相應(yīng)

10、方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫出解集如典例2中對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論，在討論時(shí)要明確討論的依據(jù)是什么沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練(2013四川高考)已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)5的解集是_答案(7,3)解析f(x)是偶函數(shù)，f(x)f(|x|)又x0時(shí)，f(x)x24x，不等式f(x2)5f(|x2|)5|x2|24|x2|5(|x2|5)(|x2|1)0|x2|50|x2|55x257x3.故解集為(7,3)題型3二次不等式中的任意性與存在性角度1任意性與存在性eq o(sup7(),sdo5(典例)(1)若關(guān)于x的不等式x2axa0的解集為(，)，

11、求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若關(guān)于x的不等式x2axa3的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)的恒成立和存在性問(wèn)題解(1)設(shè)f(x)x2axa，則關(guān)于x的不等式x2axa0的解集為(，)f(x)0在(，)上恒成立f(x)min0，即f(x)mineq f(4aa2,4)0，解得4a0(或用0)(2)設(shè)f(x)x2axa，則關(guān)于x的不等式x2axa3的解集不是空集f(x)3在(，)上能成立f(x)min3，即f(x)mineq f(4aa2,4)3，解得a6或a2.角度2給定區(qū)間上的任意性問(wèn)題eq o(sup7(),sdo5(典例)設(shè)函數(shù)f(x)mx2mx1(m0)，若對(duì)于x1,3，f(x)

12、m5恒成立，則m的取值范圍是_數(shù)形結(jié)合思想，分類討論法答案eq blcrc(avs4alco1(mblc|rc (avs4alco1(0mf(6,7)或m0)解析要使f(x)m5在1,3上恒成立，則mx2mxm60，即meq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)2eq f(3,4)m60在x1,3上恒成立令g(x)meq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)2eq f(3,4)m6，x1,3當(dāng)m0時(shí)，g(x)在1,3上是增函數(shù)，所以g(x)maxg(3)7m所以meq f(6,7)，則0meq f(6,7).當(dāng)m0時(shí)，g(x)在1,3上是減函數(shù)，所以g(x)maxg

13、(1)m60.所以m6，所以m0.綜上所述，m的取值范圍是eq blcrc(avs4alco1(mblc|rc (avs4alco1(0mf(6,7)或m0).角度3給定參數(shù)范圍的恒成立問(wèn)題eq o(sup7(),sdo5(典例)已知a1,1時(shí)不等式x2(a4)x42a0恒成立，則x的取值范圍為()A(，2)(3，) B(，1)(2，)C(，1)(3，) D(1,3)采用主元與次元轉(zhuǎn)化法將已知a的范圍的次元變?yōu)橹髟鸢窩解析把不等式的左端看成關(guān)于a的一次函數(shù)，記f(a)(x2)ax24x4，則由f(a)0對(duì)于任意的a1,1恒成立，所以f(1)x25x60，且f(1)x23x20即可，解不等式組

14、eq blcrc (avs4alco1(x25x60，,x23x20，)得x1或x3.故選C.方法技巧形如f(x)0(f(x)0)恒成立問(wèn)題的求解思路1xR的不等式確定參數(shù)的范圍時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，利用判別式來(lái)求解如角度1典例2xa，b的不等式確定參數(shù)范圍時(shí)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求其最值，讓最值大于等于或小于等于0，從而求參數(shù)的范圍；數(shù)形結(jié)合，利用二次函數(shù)在端點(diǎn)a，b處的取值特點(diǎn)確定不等式求范圍如角度2典例3已知參數(shù)ma，b的不等式確定x的范圍，要注意變換主元，一般地，知道誰(shuí)的范圍，就選誰(shuí)當(dāng)主元，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)如角度3典例沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練1設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù)x1,1，不等式x2ax3a0 B.

15、eq blcrc|(avs4alco1(a)aeq f(1,2)C.eq blcrc|(avs4alco1(a)aeq f(1,4) Da|a0或a12答案B解析設(shè)f(x)x2ax3a，因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x1,1，不等式x2ax3a0恒成立，所以eq blcrc (avs4alco1(f10，,f10，)即eq blcrc (avs4alco1(14a0，,12aeq f(1,2).故選B.2設(shè)函數(shù)f(x)x21，對(duì)任意xeq blcrc)(avs4alco1(f(3,2)，)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(x,m)4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_

16、答案eq blc(rc(avs4alco1(，f(r(3),2)eq blcrc)(avs4alco1(f(r(3),2)，)解析依據(jù)題意得eq f(x2,m2)14m2(x21)(x1)214(m21)在xeq blcrc)(avs4alco1(f(3,2)，)上恒成立，即eq f(1,m2)4m2eq f(3,x2)eq f(2,x)1在xeq blcrc)(avs4alco1(f(3,2)，)上恒成立當(dāng)xeq f(3,2)時(shí)，函數(shù)yeq f(3,x2)eq f(2,x)1取得最小值eq f(5,3)，所以eq f(1,m2)4m2eq f(5,3)，即(3m21)(4m23)0，解得me

17、q f(r(3),2)或meq f(r(3),2).1(2017山東高考)若ab0，且ab1，則下列不等式成立的是()Aaeq f(1,b)eq f(b,2a)log2(ab) B.eq f(b,2a)log2(ab)aeq f(1,b)Caeq f(1,b)log2(ab)eq f(b,2a) Dlog2(ab)aeq f(1,b)eq f(b,2a)答案B解析eq avs4al(解法一：)ab0，ab1，log2(ab)log2(2eq r(ab)1.ab1，beq f(1,a).ab0，aeq f(1,a)0，a1,0b2，eq f(b,2a)ablog2(ab)，eq f(b,2a)l

18、og2(ab)aeq f(1,b).故選B.eq avs4al(解法二：)ab0，ab1，取a2，beq f(1,2)，此時(shí)aeq f(1,b)4，eq f(b,2a)eq f(1,8)，log2(ab)log2511.3，eq f(b,2a)log2(ab)aeq f(1,b).故選B.2(2014全國(guó)卷)不等式組eq blcrc (avs4alco1(xy1，,x2y4)的解集記為D.有下面四個(gè)命題：p1：(x，y)D，x2y2，p2：(x，y)D，x2y2，p3：(x，y)D，x2y3，p4：(x，y)D，x2y1.其中的真命題是()Ap2，p3 Bp1，p2 Cp1，p4 Dp1，p答

19、案B解析設(shè)x2ym(xy)n(x2y)，則eq blcrc (avs4alco1(1mn，,2m2n，)解得eq blcrc (avs4alco1(mf(4,3)，,nf(1,3).)eq blcrc (avs4alco1(xy1，,x2y4，)eq f(4,3)(xy)eq f(4,3)，eq f(1,3)(x2y)eq f(4,3)，x2yeq f(4,3)(xy)eq f(1,3)(x2y)0.x2y的取值范圍為0，)故命題p1，p2正確，p3，p4錯(cuò)誤故選B.3(2018湖北優(yōu)質(zhì)高中聯(lián)考)已知g(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，g(x)ln(1x)，且f(x)eq blcrc (avs4

20、alco1(x3，x0，,gx，x0.)若f(2x2)f(x)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A(，1)(2，) B(，2)(1，)C(1,2) D(2,1)答案D解析若x0，則x0，所以g(x)g(x)ln (x1)，所以f(x)eq blcrc (avs4alco1(x3，x0，,ln 1x，x0，)則函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，所以當(dāng)f(2x2)f(x)時(shí)，2x2x，解得2x1，故選D.4(2018湖南長(zhǎng)沙調(diào)研)已知函數(shù)f(x)x2mx1，若對(duì)于任意xm，m1，都有f(x)0得ab0，即ab，由a0不能得到ab，a2a2c B2a2C2c2b2a D2c答案A4關(guān)于x的不等式x22ax8a20

21、)的解集為(x1，x2)，且x2x115，則aA.eq f(5,2) B.eq f(7,2) C.eq f(15,4) D.eq f(15,2)答案A解析由條件知x1，x2為方程x22ax8a20的兩根，則x1x22a，x1x28a2.故(x2x1)2(x1x2)24x1x2(2a)24(8a2)36a2152，得aeq f(55(2017廣東清遠(yuǎn)一中一模)關(guān)于x的不等式axb0的解集是(1，)，則關(guān)于x的不等式(axb)(x3)0的解集是()A(，1)(3，) B(1,3)C(1,3) D(，1)(3，)答案C解析關(guān)于x的不等式axb0的解集是(1，)，即不等式axb的解集是(1，)，ab0

22、，不等式(axb)(x3)0可化為(x1)(x3)0，解得1x3，所求解集是(1,3)故選C.6(2017松滋期中)已知paeq f(1,a2)，qeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x22，其中a2，xR，則p，q的大小關(guān)系是()Apq Bpq Cpq Dpq答案A解析由a2，故paeq f(1,a2)(a2)eq f(1,a2)2224，當(dāng)且僅當(dāng)a3時(shí)取等號(hào)因?yàn)閤222，所以qeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) x22eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)24，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)取等號(hào)，所以pq.故選A.7(2017河北武邑中學(xué)調(diào)研)已知定

23、義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x0時(shí)，f(x)x3，若不等式f(4t)f(2mmt2)對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立，則實(shí)數(shù)mA(，eq r(2) B(eq r(2)，0)C(，0)(eq r(2)，) D(，eq r(2)(eq r(2)，)答案A解析f(x)在R上為奇函數(shù)，且在0，)上為增函數(shù)，f(x)在R上是增函數(shù)，結(jié)合題意得4t2mmt2對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立mt24t2m320，即x228x1920，解得12x0的解集為()A.eq blc(rc)(avs4alco1(，f(4,3)(2，)B.eq blc(rc)(avs4alco1(，f(4,3)(2，)C.eq blc(rc)(avs4alc

24、o1(f(4,3)，2)D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，2)答案D解析yf(x2)為偶函數(shù)，yf(x)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱f(x)在(2，)上單調(diào)遞減，f(x)在(，2)上單調(diào)遞增，又f(2x1)f(x1)0，f(2x1)f(x1)當(dāng)x2時(shí)，2x1x1，要使f(2x1)f(x1)成立，則x12x12，解得x1(舍去)；當(dāng)x2時(shí)，2x1f(x1)成立，則有若22x1eq f(3,2)，eq f(3,2)x2；若2x12x1，即14(x1)，即xeq f(4,3)，eq f(4,3)xeq f(3,2).綜上，eq f(4,3)x2，故選D.10(2018湖南衡陽(yáng)八中

25、一模)已知函數(shù)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x22x，x0，,x22x，x0，)若關(guān)于x的不等式f(x)2af(x)b20恰有1個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的最大值是()A2 B3 C5 D8答案D解析函數(shù)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x22x，x0，,x22x，x0)的圖象如圖所示，當(dāng)b0時(shí)，原不等式化為f(x)2af(x)0時(shí)，解得af(x)0，由于不等式f(x)2af(x)0恰有1個(gè)整數(shù)解，因此其整數(shù)解為3.又f(3)963，a3，af(4)8，則3a8.易知當(dāng)a0時(shí)不合題意當(dāng)b0時(shí)，對(duì)于f(x)2af(x)b20，解得eq f(ar(a24b2),2)f(x)

26、eq f(ar(a24b2),2)，又eq f(ar(a24b2),2)0bc0，y2x2b2(ca)2a2(bc)22c(ab)0，y2x2，即yxz2y2c2(ab)2b2(ca)22a(bc故z2y2，即zy，故zyx.12(2018汕頭模擬)若xy，ab，則在axby，axby，axby，xbya，eq f(a,y)eq f(b,x)這五個(gè)式子中，恒成立的不等式的序號(hào)是 _.答案解析令x2，y3，a3，b2，符合題設(shè)條件xy，ab，ax3(2)5，by2(3)5，axby，因此不成立ax6，by6，axby，因此也不成立eq f(a,y)eq f(3,3)1，eq f(b,x)eq f

27、(2,2)1，eq f(a,y)eq f(b,x)，因此不成立由不等式的性質(zhì)可推出成立13(2017西安質(zhì)檢)在R上定義運(yùn)算：eq blc|rc|(avs4alco1(ab,cd)adbc.若不等式eq blc|rc|(avs4alco1(x1a2,a1 x)1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為_答案eq f(3,2)解析原不等式等價(jià)于x(x1)(a2)(a1)1，即x2x1(a1)(a2)對(duì)任意x恒成立，x2x1eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)2eq f(5,4)eq f(5,4)，所以eq f(5,4)a2a2，解得eq f(1,2)aeq f(3,2).14(2017江蘇模擬)已知函數(shù)f(x)x2axb(a，bR)的值域?yàn)?，)，若關(guān)于x的不等式f(x)c的解集為(m，m6)，則實(shí)數(shù)c的值為_答案9解析解法一：由題意知f(x)x2axbeq blc(rc)(avs4alco1(xf(a,2)2beq f(a2,4).f(x)的值域?yàn)?，)，beq f(a2,4)0，即beq f(a2,4)，f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(a,2)2.又f(x)c，eq blc(rc)(avs4alco1(xf(a,2)2c，即eq f(a,2)eq r(c)xeq f(a,2)eq r(