常微分方程第三版課后習(xí)題答案

1、+c+ee.:c=e=dy=（=-du=u=u+xdu=.=0=+du=u=u+u:=e+=0=ee=du=u,=u+u+du=ee=ce=eedu=du-1=u=du-1=:=+3du=du=u+3du=4u+13u=du+y=du=dudu=du=du=u=dy=+c,.,e0,e.,當(dāng),當(dāng)時(shí)，兩邊同時(shí)積分得；,即。當(dāng)時(shí)顯然也是原方程的解。當(dāng)時(shí)，代入式子得。解：由或是方程的解，當(dāng)時(shí)，變量分離：兩邊積分,即,故原方程的解為;解：,令,則,變量分離，得：:()()解：,令,則,變量分離，得：dududu兩邊積分得：)。：解：令解：令,則原方程化為：,分離變量得：,分離變量得：du)兩邊積分得：

2、兩邊積分得：代回原來變量，得另外，也是方程的解。8:e8:e解：變量分離，得：兩邊積分得：.ee解：方程可變?yōu)椋毫?則有：解：方程可變?yōu)椋毫?則有：d代回原變量得：。：e解：變量分離ee兩邊積分eeeeeeeee,令，則，原方程可變?yōu)榻庾兞糠蛛x，兩邊積分，代回變量解：方程組解：方程組的解為,令,則有令，則方程可化為：變量分離解：令,則,變量分離兩邊積分兩邊積分代回變量.解：方程化為，所以，令，所以，dudududu，兩邊積分得，是原方程的解。解：()，令，則原方程化為dudu，這是齊次方程，令.dudzdzdz.dzdz,d方程組方程組解：原方程化為;令,;則du.則有，從而方程（）化為dz.

3、時(shí)，分離變量得dz兩邊積分的dtdtdtdzdzdzdz當(dāng)時(shí)，即，是方程的解。得或是原方程的解當(dāng)另外，或，包含在其通解中，故原方程的解為(證明方程證明方程()經(jīng)變換可化為變量分離方程，并由此求解下列方程.（）).證明：因?yàn)殛P(guān)于求導(dǎo)導(dǎo)得,所以du得：dudu解:當(dāng)解:當(dāng)或是原方程的解，當(dāng)時(shí)，方程化為令則方程化令則方程化為),變量分離得：兩邊同時(shí)積分得：兩邊同時(shí)積分得：,即,也包含在此通解中。解令，則原方程化為解令，則原方程化為()dudu，兩邊積分得，這也就是方程的解。已知()試求函數(shù)()的一般表達(dá)式.解：設(shè)解：設(shè)則原方程化為()兩邊求導(dǎo)得;()();()得所以求具有性質(zhì)的函數(shù)已知x(0)存在。

4、解：令t=s=0解：令t=s=0=若得=-1矛盾。所以x(0)=0.x(t)=dt兩邊積分得x(t)=x(0)t+c所以x(t)=tgx(0)t+c當(dāng)時(shí)故所以x(t)=tgx(0)t123e4eee(ee)n()是原方程的解.e(e)是原方程的解.66dududu（*）中（*）解：解：,ee方程的通解為：y=ee=(x+1)(*(x+1)dx+c)=(x+1)=(x+1)解：則P(y)=,即：2y=c(x+1)+(x+1)為方程的通解。8.=x+yee=y(*=y(*=x=ee即x=+cy是方程的通解，且y=0也是方程的解。,為常數(shù),為常數(shù)解：（解：（,ee方程的通解為：y=ee=x(1x+1

5、xxdx+c)解：解：=*=方程的通解為：y=y=x+ln/x/+c當(dāng)時(shí)，方程的通解為y=cx+xln/x/-1當(dāng)，時(shí)，方程的通解為x1y=cx+-1-P,ee方程的通解為：y=ee1xx4x4:dz:dzdz,eeeedz()()eeeeedzedzdzeeeeedzdzeeeeeeeedteeeeeee(ee)eeeec=1e（1）()dddtt=0c=1e20.試證：（1）一階非齊線性方程（2.28）的任兩解之差必為相應(yīng)的齊線性方程（2.3）（2.3）（2.3）為任意常數(shù).（1）是（2.28）的任意兩個(gè)解（1）（2）d是滿足方程（2.3）（2）（3）dd()P()()()（4）dy()d

6、y()P()()d(d()P()()()是（2.28）的一個(gè)解。2）現(xiàn)證方程（4）的任一解都可寫成是(2.28)的一個(gè)解（4）-（4）得d(d()P()()（3）是（2.3）的任意兩個(gè)解（6）于是（5）滿足方程（2.3）（5）（6）得d滿足方程（2.3）21.試建立分別具有下列性質(zhì)的曲線所滿足的微分方程并求解。（5）（6）解：設(shè)p,p（5）()ge()e)（6）eeee()22求解下列方程。（1）(ee/（2）ee1.()()，=1.MN則MN所以此方程是恰當(dāng)方程。湊微分，()得：2()，.MN則MN.所以此方程為恰當(dāng)方程。湊微分，得C33()()解：M()()()()對(duì)（1）做的積分，則()

7、N(對(duì)（1）做的積分，則()()()則MN.因此此方程是恰當(dāng)方程。()()()（1）（2）=（3）=d()=則d()對(duì)（3）做的積分，則=d()=則d()()()()()()()解：M，.解：M，.u故此方程的通解為4、)NMN則此方程為恰當(dāng)方程。湊微分，d()d()d()得：C+解：M=+1N=+M=-+N=-+所以，M=N，故原方程為恰當(dāng)方程因?yàn)閑e又ee所以，ee又ee所以，e故所求的解為e所以，故所求的解為解：M=e,Ne所以，M=N，故原方程為恰當(dāng)方程解：ee所以，de即d故方程的解為e解：即即，d故方程的通解為即，d故方程的通解為即，ddd即：d、解：兩邊同除以得、解：方程可化為：

8、故方程的通解為：即：同時(shí)，也是方程的解。、解：方程可化為：故方程的通解為：、解：方程可化為：故方程的通解為：即：方程有積分因子、方程有積分因子解：這里M,N，MNMNN兩邊乘以得：方程是恰當(dāng)方程故方程的通解為：故方程的通解為：,、,解：這里MN因?yàn)镸N故方程的通解為：即：、o解：這里M,NMNMNM方程有積分因子：ee兩邊乘以得：方程為恰當(dāng)方程故通解為：e故通解為：eNe即：、解：兩邊同乘以得：ddd（是連續(xù)可導(dǎo)）M故方程的通解為：17M,N,具有形為和的積分因子的充要條件。解：若方程具有為積分因子，MNMNNdd，.MNN令ddzdzdzdNMMdNMdzdz，dNMdz，dzdzdMNdN

9、Md方程有積分因子的充要條件是：是MN此時(shí)，積分因子為edz.令dd，dddzdzdzdzdNMdzdz的函數(shù)，dNMdzNMdNy此時(shí)的積分因子為()eNM.條件是它有僅依賴于的積分因子.證:必要性若該方程為線性方程,則有,此方程有積分因子e,只與有關(guān).充分性若該方程有只與有關(guān)的積分因子.則,為恰當(dāng)方程,從而,d,其中.于是方程可化為即方程為一階線性方程.設(shè)函數(shù)，連續(xù)、可微且，試證方程則則=+有積分因子證：在方程兩邊同乘以得：g(g)gg(g)=g=ggg(g)(g)g(g)而而=ug+uxg=+gggggg=ggg(g)(g)故=，所以是方程得一個(gè)積分因子假設(shè)方程（）中得函數(shù)（）滿足關(guān)系M

10、N=其中分別為和得連續(xù)函數(shù)，試證方程（）有積分因子()+g()證明：即證uMuNM+M=uN+NMNMN()g()e()g()MN()g()由已知條件上式恒成立，故原命題得證。、求出伯努利方程的積分因子.解：已知伯努利方程為：,o;兩邊同乘以n，令n，dz,MMM證明：若，則MMM證明：若，則NNNM又MMMee，證畢！、設(shè),是方程M,N,的積分因子，從而求得可微函數(shù),，.,使得Ndy試證,也是方程M,N,.,積分因子的充要條件是,其中是的可微函數(shù)。MMMMNN即為M,N,的一個(gè)積分因子。即NiMiMN，i,是方程M,即NiMiMN，i,M,N,的通解。證明：因?yàn)?是方程M,N,的積分因子i所

11、以o為恰當(dāng)方程iiii下面只需證的全微分沿方程恒為零事實(shí)上：dNNMMNNNNNMMNMNMN即當(dāng)時(shí)，求解下列方程、解：令p，則從而d，于是求得方程參數(shù)形式得通解為.、解：令p，則，即從而ddtdtdt，于是求得方程參數(shù)形式得通解為.peppepdppep、e解：令p，則pep，從而dpeppp=eppepdppp，于是求得方程參數(shù)形式的通解為,ep另外，也是方程的解.、,為常數(shù)，解：令，tg從而dptgd，于是求得方程參數(shù)形式的通解為于是求得方程參數(shù)形式的通解為、解：令p，則，從而.，于是求得方程參數(shù)形式的通解為.、解：令，則，得，dddtdt，dt從而dt，于是求得方程參數(shù)形式的通解為，因

12、此方程的通解為.duduuduuudduduuuuduuduuuppppppppppduduudueueueduduuduueduuuduuu)(),()p,則p,兩邊對(duì)求導(dǎo)得ppdpdpp,則p,兩邊對(duì)求導(dǎo)得ppppppdpp()(),()(pppp)dp(pp)()dpp,()p(pp,()d解：令p,則）dpd所以方程的解為（)另外由p得也e)e)解：令則解：令則,方程為e)(e,(eeedze,dzeeeee,(e),(e)所以方程的解為,所以方程有積分因子e,所以方程有積分因子eMNMNd所以方程的解為d所以方程的解為即()d解：),兩邊同除以得解：),兩邊同除以得,d所以方程的解為

13、即（(),另外也是解。(),所以方程的解為.解：令解：令p,e由得e)eee解：令p則e由得解：令p則e由得e)eee，e)ee（)()解：,MNMN所以方程有積分因子e方程兩邊同乘e得edede所以方程的解為：eedududu=dudududueeedudue)d()()d()()()dddd()(d*d*/*/*ddu()p,pldd/FmamFmm/mmFmFFFmdtmm(*)(*)eemdtemem(emmkem)emmmk(emmmk(),(*)(*)(*)deeeeeee*dzdzeeeeeedzdzdzdxzdue(e)(en()eneeeneeenden()endzdzeed

14、.dzdzdeeee()()()dz=2dz)eed()bM()()M*L,()g()g()()g()g()g()g()g()g()g()()g(r)()g(r)g()g(r)g(r)g(r)g(r),(,)(,)(,)()(,)(,)(,)（3(,)(,)(,)(,)(,)(,),(,)()(,)(,(,)()(,)(,)(,),(,),(,),(,)(,)2Proof：因,(,),(,)(,),(,)(,)(,)(,)(,)(,),rr時(shí)，；rr,rdzrdz,p,(p()(p(),p,p,p()eeppppppp()()p()()(p()(p()ppp,p()(,p()(,)(),Q(,

15、)ppppdppdpdppp,ppdpp,pppppp.ppppdpdppppppp.ppppdppdpdppp.ppppp.ppppdppdpdppppppppp.:,.,.,.,.XYXY.p-.p-p-pp-.bbbbbdtndtndtndnndtndtdtndtnndtn+dtndndtndn+n），（dndtndtndnndndndtndtnndndn+dtndtndnndtndtndtndtndndn+ndde,edtdteddteeee,ee,e,ee,eddteeeee;ee;eeededtdtddtdtdddtdtdteeeddtdteee,ddte,ew,e,eddt,ee

16、eeeee,eeeeeeeeee,ee,eei,niiwwwwww,bwdtndtnii,ndnidnidtnniiiid中第行都乘以，加到最后一行為wwwwwdtww,www,b*,bw,w,bw,w,(*),we,:wedee即：e取得：e,e又：e,bnn+1,n,n:iiiiiiiiiiiiiiiii,n進(jìn)而有:nn(4)有根，eeeeeei,i,i,ees=es=eea=0,(),s=eeee(4)eeee+i,i,i,eee,eeee,eeei,i,i,eeeeee+ea=-1s=,es=e,s=,+ee+ee-1+i,ieei,(),ee+ei,i,i,=（*）試驗(yàn)證分別是方程組

17、（*）的滿足初始條件給定方程組,的解.試驗(yàn)證*的解，其中,是任意常數(shù).=又=o=因此分別是給定初值問題的解.+=+=+=因此是給定方程初值問題的解.將下面的初值問題化為與之等價(jià)的一階方程組的初值問題：e（e,解：）令x,=得,e即即e又于是把原初值問題化成了與之等價(jià)的一階方程的初值問題：e,其中其中.令則得：且=于是把原初值問題化成了與之等價(jià)的一階方程的初值問題：=,其中.令，則原初值問題可化為：且且ewwww即即ewwwww其中w試用逐步逼近法求方程組解：()的第三次近似解.()試驗(yàn)證試驗(yàn)證=b上是方程組=的基解矩陣。解：令的第一列為,這時(shí)解：令的第一列為,這時(shí)=故是一個(gè)解。同樣如果以是一個(gè)

18、解。同樣如果以表示第二列，我們有=這樣也是一個(gè)解。因此是解矩陣。又因?yàn)?-t故考慮方程組其中是區(qū)間b上的連續(xù)矩陣，它的元素為(t),i,j=1,2,nij如果(t),x是的任意個(gè)解，那么它們的伏朗斯n基行列式(t),x滿足下面的一階線性微分方n程+ann解上面的一階線性微分方程，證明下面公式：.nn解：解：+.+.=.+=+=.+.整理后原式變?yōu)?（+a）（+a）.=（.+a）nn.w=（(t)+awnn由于(t)+a即dw(t)+annnn兩邊從到積分ww=().()即.)設(shè)為區(qū)間b上的連續(xù)實(shí)矩陣，為方程的基解矩陣，而為其一解，試證：對(duì)于方程的任一解必有常數(shù)；為方程的基解矩陣的充要條件是存在

19、非奇異的常數(shù)矩陣，使解=又因?yàn)?，所?-=-所以對(duì)于方程的任一解必有常數(shù)“”假設(shè)為方程的基解矩陣，則=+AA+A+A故“”若存在非奇異常數(shù)矩陣，使，則=，故所以A即為方程的基解矩陣設(shè)為方程（A為（），證明:其中為某一值.證明：（）,是基解矩陣。（）由于為方程的解矩陣，所以的解矩陣，而當(dāng)t=時(shí)，（）故由解的存在唯一性定理，得設(shè)分別為在區(qū)間b上連續(xù)的矩陣和維列向量，證明方程組存在且最多存在n+1個(gè)線性無關(guān)解。證明：設(shè),x,x是的個(gè)線性無關(guān)解，是n的一個(gè)解，則+,+,x+,都是非齊線性n方程的解，下面來證明它們線性無關(guān)，假設(shè)存在不全為零的常數(shù)n,(I=1,2,n)使得niiiin從而+,+,()+,

20、在()n+,線性無關(guān)，所以方程組存在且最多存在n+1n個(gè)線性無關(guān)解。、試證非齊線性微分方程組的疊加原理：()()()()的解，則是方程組()()()的解。證明：()()（）()()（）分別將),代入（）和（）則()()()()則()()()()()()()()()()()()令即證()()()考慮方程組()，其中是是的基解矩陣；e()e試求試求()的滿足初始條件的解。證明：首先驗(yàn)證它是基解矩陣()以表示的第一列()e則()e則()e()故是方程的解()如果以()e我們有()e我們有()e()e故也是方程的解從而是方程的解矩陣又又()eee由常數(shù)變易公式可知，方程滿足初始條件的解故由常數(shù)變易公式

21、可知，方程滿足初始條件的解eee而eeeeeeeeee()、試求()，其中滿足初始條件eee的解。解：由第題可知的基解矩陣ee則e若方程滿足初始條件e()則有則有eeee若eeeee、試求下列方程的通解：,解：易知對(duì)應(yīng)的齊線性方程的基本解組為,這時(shí)W(),(由公式得通解為e解：易知對(duì)應(yīng)的齊線性方程的基本解組為().e,e是方程的特征根故方程有形如的根代入得故方程有通解eee解：易知對(duì)應(yīng)的齊線性方程對(duì)應(yīng)的特征方程為故方程的一個(gè)基本解組為(),()eW),eeeeeeeee因?yàn)?是對(duì)應(yīng)的齊線性方程的解故e也是原方程的一個(gè)解故方程的通解為ee、給定方程()其中在上連續(xù)，試?yán)贸?shù)變易公式，證明：如果

22、在上有界；如果當(dāng)時(shí)，（當(dāng)時(shí)）。證明：上有界存在使得M,又,是齊線性方程組的基本解組非齊線性方程組的解eeeeeeeeeeeeeeeeeeeMMeeM又對(duì)于非齊線性方程組的滿足初始條件的解的常數(shù),eeee從而eeM故上面方程的每一個(gè)解在上有界時(shí)，N當(dāng)tN時(shí)由的結(jié)論M,故時(shí)，原命題成立、給定方程組（）這里是區(qū)間b上的連續(xù)矩陣，設(shè)是（）的一個(gè)基解矩陣，維向量函數(shù)在b，上連續(xù)，,b試證明初值問題：證明初值問題：()F(,)()（*）的唯一解()()()()(F(,()（*）*）的連續(xù)解也是初值問題（）的解。證明：若是（*）的唯一解則由非齊線性方程組的求解公式()()()()()F(,()即（*）的解滿

23、足（*）反之，若是（*）的解，則有()()()()()F(,()兩邊對(duì)求導(dǎo)：()()()()()F(,()()()F(,()()()()F(,()F(,()()()()()F(,()F(,()()()F(,()即（*）的解是（*）的解、假設(shè)A是矩陣，試證：對(duì)任意常數(shù)、都有A+AAA對(duì)任意整數(shù),都有AA當(dāng)是負(fù)整數(shù)時(shí)，規(guī)定AA證明：（A）（A）（A）（A）AAA時(shí)，AAAA（A+）A時(shí)，AAA)=A)A)A)A故，都有AA、試證：如果是=A滿足初始條件的解，那么A證明：由定理證明：由定理可知(t)(t)(t)-1()()又因?yàn)?t)=A,(t)=(A=A),又因?yàn)榫仃嚕ˋ）（A）=（A）（A）所以

24、A）b）d）試計(jì)算下面矩陣的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量解：）（EA）=對(duì)應(yīng)于=5的特征向量u=對(duì)應(yīng)于=5的特征向量u=,對(duì)應(yīng)于=的特征向量,對(duì)應(yīng)于的特征向量，（）（EA），對(duì)應(yīng)于的特征向量對(duì)應(yīng)于的特征向量，（）對(duì)應(yīng)于的特征向量，（）（EA）=對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于）對(duì)應(yīng)于的特征向量,（）（EA）=，對(duì)應(yīng)于的特征向量對(duì)應(yīng)于的特征向量，（）對(duì)應(yīng)于的特征向量，（）對(duì)應(yīng)于的特征向量，（）b）d）b）d）解：）（EA）=0得，對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于的特征向量為，（）對(duì)應(yīng)于，（），是對(duì)應(yīng)于，的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量(t)=是一個(gè)基解矩陣(t)=是一個(gè)基解矩陣eeeAAt=eeeeeeee解得u，v是對(duì)應(yīng)于，的兩個(gè)線性無關(guān)的特征解

25、得u，v是對(duì)應(yīng)于，的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量則基解矩陣為(t)ee則基解矩陣為(t)eeee(0)(0)(0)則expA(t)則expA(t)(0)eeeeeeeec）由（EA）=0得，解得基解矩陣(t)e解得基解矩陣(t)eeeeee(0)(0)則expA(t)(0)eeeeeeeeeeeeeeeeed）由（EA）=0得，ee解得基解矩陣(t)eeee則expA(t)(0)eeeeeeeeeee5、試求方程組=A的基解矩陣，并求滿足初始條件b解：a）由第4題（b）知，基解矩陣為ee解：a）由第4題（b）知，基解矩陣為ee()所以eeeeb）由第4題（d）知，基解矩陣為eee(t)eee所以e(t)eeeeeeeeeeeeeeeeeee由（）可知，矩陣A