2021-2022學年山東省聊城高三第三次模擬考試數學試卷含解析

1、2021-2022高考數學模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1如圖在一個的二面角的棱有兩個點，線段分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于棱，且，則的長為（ ）A4BC2D2中國古典樂器一般按“八音”分類這是我國最早按樂器的制造材料來對樂器進行

2、分類的方法，最先見于周禮春官大師，分為“金、石、土、革、絲、木、匏（po）、竹”八音，其中“金、石、木、革”為打擊樂器，“土、匏、竹”為吹奏樂器，“絲”為彈撥樂器現從“八音”中任取不同的“兩音”，則含有打擊樂器的概率為（ ）ABCD3數學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為.給出下列四個結論：曲線有四條對稱軸；曲線上的點到原點的最大距離為；曲線第一象限上任意一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積最大值為；四葉草面積小于.其中，所有正確結論的序號是（ ）ABCD4設為定義在上的奇函數，當時，(為常數)，則不等式的解集為（ ）ABCD5已知函數若恒成立，則

3、實數的取值范圍是（ ）ABCD6如圖，在中，點是的中點，過點的直線分別交直線，于不同的兩點，若，則（ ）A1BC2D37已知，則的大小關系是（ ）ABCD8函數在上單調遞減的充要條件是（ ）ABCD9在展開式中的常數項為A1B2C3D710已知拋物線的焦點為，是拋物線上兩個不同的點，若，則線段的中點到軸的距離為（ ）A5B3CD211如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側棱垂直底面，.若分別是棱上的點，且，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）ABCD12我國南北朝時的數學著作張邱建算經有一道題為：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中間

4、四人未到者，亦依次更給，問各得金幾何？”則在該問題中，等級較高的二等人所得黃金比等級較低的九等人所得黃金（ ）A多1斤B少1斤C多斤D少斤二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知函數為奇函數，且與圖象的交點為，則_14曲線在處的切線方程是_15邊長為2的菱形中,與交于點O,E是線段的中點,的延長線與相交于點F,若,則_.16已知正方形邊長為，空間中的動點滿足，則三棱錐體積的最大值是_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）某企業(yè)對設備進行升級改造，現從設備改造前后生產的大量產品中各抽取了100件產品作為樣本，檢測一項質量指標值，該項質量指標

5、值落在區(qū)間內的產品視為合格品，否則視為不合格品，如圖是設備改造前樣本的頻率分布直方圖，下表是設備改造后樣本的頻數分布表.圖：設備改造前樣本的頻率分布直方圖表：設備改造后樣本的頻率分布表質量指標值頻數2184814162（1）求圖中實數的值；（2）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，對合格品進行等級細分，質量指標值落在區(qū)間內的定為一等品，每件售價240元；質量指標值落在區(qū)間或內的定為二等品，每件售價180元；其他的合格品定為三等品，每件售價120元，根據表1的數據，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產品中抽到一件相應等級產品的概率.若有一名顧客隨機購買兩件產品支付的費用為(單

6、位：元)，求的分布列和數學期望.18（12分）在直角坐標系中，已知點，的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）設曲線與曲線相交于，兩點，求的值.19（12分）如圖，四邊形中，沿對角線將翻折成，使得. （1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20（12分）我們稱n（）元有序實數組（，）為n維向量，為該向量的范數.已知n維向量，其中，2，n.記范數為奇數的n維向量的個數為，這個向量的范數之和為.（1）求和的值；（2）當n為偶數時，求，（用n表示）.21（12分）設數列的前列項和為，已知.（1）求

7、數列的通項公式；（2）求證：.22（10分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數，將曲線經過伸縮變換后得到曲線.在以原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為.（1）說明曲線是哪一種曲線，并將曲線的方程化為極坐標方程；（2）已知點是曲線上的任意一點，又直線上有兩點和，且，又點的極角為，點的極角為銳角.求：點的極角；面積的取值范圍.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1A【解析】由，兩邊平方后展開整理，即可求得，則的長可求【詳解】解：，故選：【點睛】本題考查了向量的多邊形法則、數量積的運算性質、向量垂直

8、與數量積的關系，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題2B【解析】分別求得所有基本事件個數和滿足題意的基本事件個數，根據古典概型概率公式可求得結果.【詳解】從“八音”中任取不同的“兩音”共有種取法；“兩音”中含有打擊樂器的取法共有種取法；所求概率.故選：.【點睛】本題考查古典概型概率問題的求解，關鍵是能夠利用組合的知識求得基本事件總數和滿足題意的基本事件個數.3C【解析】利用之間的代換判斷出對稱軸的條數；利用基本不等式求解出到原點的距離最大值；將面積轉化為的關系式，然后根據基本不等式求解出最大值；根據滿足的不等式判斷出四葉草與對應圓的關系，從而判斷出面積是否小于.【詳解】：當

9、變?yōu)闀r， 不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；綜上可知：有四條對稱軸，故正確；：因為，所以，所以，所以，取等號時，所以最大距離為，故錯誤；：設任意一點，所以圍成的矩形面積為，因為，所以，所以，取等號時，所以圍成矩形面積的最大值為，故正確；：由可知，所以四葉草包含在圓的內部，因為圓的面積為：，所以四葉草的面積小于，故正確.故選：C.【點睛】本題考查曲線與方程的綜合運用，其中涉及到曲線的對稱性分析以及基本不等式的運用，難度較難.分析方程所表示曲線的對稱性，可通過替換方程中去分析

10、證明.4D【解析】由可得，所以，由為定義在上的奇函數結合增函數+增函數=增函數，可知在上單調遞增，注意到，再利用函數單調性即可解決.【詳解】因為在上是奇函數.所以，解得，所以當時，且時，單調遞增，所以在上單調遞增，因為，故有，解得.故選：D.【點睛】本題考查利用函數的奇偶性、單調性解不等式，考查學生對函數性質的靈活運用能力，是一道中檔題.5D【解析】由恒成立，等價于的圖像在的圖像的上方，然后作出兩個函數的圖像，利用數形結合的方法求解答案.【詳解】因為由恒成立，分別作出及的圖象，由圖知，當時，不符合題意，只須考慮的情形，當與圖象相切于時，由導數幾何意義，此時，故.故選：D【點睛】此題考查的是函數

11、中恒成立問題，利用了數形結合的思想，屬于難題.6C【解析】連接AO，因為O為BC中點，可由平行四邊形法則得，再將其用，表示.由M、O、N三點共線可知，其表達式中的系數和，即可求出的值.【詳解】連接AO，由O為BC中點可得，、三點共線，.故選：C. 【點睛】本題考查了向量的線性運算，由三點共線求參數的問題，熟記向量的共線定理是關鍵.屬于基礎題.7B【解析】利用函數與函數互為反函數，可得，再利用對數運算性質比較a,c進而可得結論.【詳解】依題意，函數與函數關于直線對稱，則，即，又，所以，.故選：B.【點睛】本題主要考查對數、指數的大小比較，屬于基礎題.8C【解析】先求導函數，函數在上單調遞減則恒成

12、立，對導函數不等式換元成二次函數，結合二次函數的性質和圖象，列不等式組求解可得.【詳解】依題意，令，則，故在上恒成立；結合圖象可知，解得故.故選：C.【點睛】本題考查求三角函數單調區(qū)間. 求三角函數單調區(qū)間的兩種方法:(1)代換法：就是將比較復雜的三角函數含自變量的代數式整體當作一個角(或)，利用基本三角函數的單調性列不等式求解；(2)圖象法：畫出三角函數的正、余弦曲線，結合圖象求它的單調區(qū)間.9D【解析】求出展開項中的常數項及含的項，問題得解?！驹斀狻空归_項中的常數項及含的項分別為：,，所以展開式中的常數項為：.故選：D【點睛】本題主要考查了二項式定理中展開式的通項公式及轉化思想，考查計算能

13、力，屬于基礎題。10D【解析】由拋物線方程可得焦點坐標及準線方程,由拋物線的定義可知,繼而可求出,從而可求出的中點的橫坐標,即為中點到軸的距離.【詳解】解：由拋物線方程可知，即，.設 則，即，所以.所以線段的中點到軸的距離為.故選:D.【點睛】本題考查了拋物線的定義，考查了拋物線的方程.本題的關鍵是由拋物線的定義求得兩點橫坐標的和.11B【解析】建立空間直角坐標系，利用向量法計算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側棱垂直于底面.設的中點為，建立空間直角坐標系如下圖所示.所以，所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B【點睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法

14、，屬于中檔題.12C【解析】設這十等人所得黃金的重量從大到小依次組成等差數列 則 由等差數列的性質得 ，故選C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。1318【解析】由題意得函數f（x）與g（x）的圖像都關于點對稱，結合函數的對稱性進行求解即可【詳解】函數為奇函數，函數關于點對稱，函數關于點對稱，所以兩個函數圖象的交點也關于點（1，2）對稱，與圖像的交點為，,兩兩關于點對稱， .故答案為：18【點睛】本題考查了函數對稱性的應用，結合函數奇偶性以及分式函數的性質求出函數的對稱性是解決本題的關鍵，屬于中檔題.14【解析】利用導數的運算法則求出導函數，再利用導數的幾何意義即可求解.【詳解】求

15、導得，所以，所以切線方程為故答案為：【點睛】本題考查了基本初等函數的導數、導數的運算法則以及導數的幾何意義，屬于基礎題.15【解析】取基向量，然后根據三點共線以及向量加減法運算法則將，表示為基向量后再相乘可得【詳解】如圖：設，又，且存在實數使得，故答案為：【點睛】本題考查了平面向量數量積的性質及其運算，屬中檔題16【解析】以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立空間直角坐標系，設點，根據題中條件得出，進而可求出的最大值，由此能求出三棱錐體積的最大值.【詳解】以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立空間直角坐標系，則，設點，空間中的動點滿足，所以，整理得，當，時，取最大值，所以，三棱錐的

16、體積為.因此，三棱錐體積的最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐體積的最大值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）詳見解析【解析】（1）由頻率分布直方圖中所有頻率（小矩形面積）之和為1可計算出值；（2）由頻數分布表知一等品、二等品、三等品的概率分別為.，選2件產品，支付的費用的所有取值為240，300，360，420，480，由相互獨立事件的概率公式分別計算出概率，得概率分布列，由公式計算出期望【詳解】解：（1）據題意，得所以（2）據表1分析知，從所有產品中隨機抽一

17、件是一等品、二等品、三等品的概率分別為.隨機變量的所有取值為240，300，360，420，480.隨機變量的分布列為240300360420480所以（元）【點睛】本題考查頻率分布直方圖，頻數分布表，考查隨機變量的概率分布列和數學期望，解題時掌握性質：頻率分布直方圖中所有頻率和為1本題考查學生的數據處理能力，屬于中檔題18（1）；（2）【解析】（1）消去參數方程中的參數，求得的普通方程，利用極坐標和直角坐標的轉化公式，求得的直角坐標方程.（2）求得曲線的標準參數方程，代入的直角坐標方程，寫出韋達定理，根據直線參數中參數的幾何意義，求得的值.【詳解】（1）由的參數方程（為參數），消去參數可得，

18、由曲線的極坐標方程為，得，所以的直角坐方程為，即.（2）因為在曲線上，故可設曲線的參數方程為（為參數），代入化簡可得.設，對應的參數分別為，則，所以.【點睛】本小題主要考查參數方程化為普通方程，考查極坐標方程化為直角坐標方程，考查利用利用和直線參數方程中參數的幾何意義進行計算，屬于中檔題.19（1）見證明；（2）【解析】（1）取的中點，連.可證得，于是可得平面，進而可得結論成立（2）運用幾何法或向量法求解可得所求角的正弦值【詳解】（1）證明：取的中點，連.，又，.在中，又，平面，又平面，.（2）解法1：取的中點，連結，,又，又由題意得為等邊三角形，平面作，則有平面，就是直線與平面所成的角設，則

19、，在等邊中，又在中，故在中，由余弦定理得，直線與平面所成角的正弦值為解法2：由題意可得，建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設，則在直角三角形中，可得，作于，則有平面幾何知識可得，又可得，.,設平面的一個法向量為，由，得，令，則得又，設直線與平面所成的角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為【點睛】利用向量法求解直線和平面所成角時，關鍵點是恰當建立空間直角坐標系，確定斜線的方向向量和平面的法向量解題時通過平面的法向量和直線的方向向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就是斜線與平面所成的角求解時注意向量的夾角與線面角間的關系20（1），.（2），【解析】（1）利

20、用枚舉法將范數為奇數的二元有序實數對都寫出來，再做和；（2）用組合數表示和，再由公式或將組合數進行化簡，得出最終結果.【詳解】解：（1）范數為奇數的二元有序實數對有：，它們的范數依次為1，1，1，1，故，.（2）當n為偶數時，在向量的n個坐標中，要使得范數為奇數，則0的個數一定是奇數，所以可按照含0個數為：1，3，進行討論：的n個坐標中含1個0，其余坐標為1或，共有個，每個的范數為；的n個坐標中含3個0，其余坐標為1或，共有個，每個的范數為；的n個坐標中含個0，其余坐標為1或，共有個，每個的范數為1；所以，.因為，得，所以.解法1：因為，所以.解法2：得，.又因為，所以.【點睛】本題考查了數列和組合，是一道較難的綜合題.21（1）（2）證明見解析【解析】（1）由已知可得，構造等比數列即可求出通項公式；（2）當時，由，可求，時，由，可證，驗證時，不等式也成立，即可得證.【詳解】（1）由可得，即，所以，解得，（2）當時，,當時，綜上，由可得遞增，時；所以，綜上：故.【點睛】本題主要考查了遞推數列求通項公式，利用放縮法證明不等式，涉及等比數列的求和公式，屬于難題.22（1）曲線為圓心在原點，半徑為2的圓.的極坐標方程為（2）【解析】（1）求得