普通高等學(xué)校招生考試安徽卷(理數(shù))

1、絕密啟用前2009 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（安徽卷）數(shù)學(xué)（理科）本試卷分第I 卷（選擇題）和第 II 卷（非選擇題）兩部分，第I卷第 1至第 2頁。第 II卷第 3 至第 4 頁。全卷滿分150 分，考試時間 120 分鐘。 考生注意事項：1.答題前，務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的姓名、座位號，并認真核對答題卡上所粘貼的條形碼中姓名、座位號與本人姓名、 座位號是否一致。務(wù)必在答題卡背面規(guī)定的地方填寫姓名和座位號后兩位。 2.答第 I 卷時，每小題選出答案后， 用 2B 鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮檫干凈后，在選涂其他答案標號。3.答第 II 卷時，必

2、須使用用 0.5 毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫，要求字體工整、筆跡清晰。作圖題可先用鉛筆在答題卡規(guī)定的位置繪出，確認后再用0.5 毫米的黑色墨水簽字筆描清楚。必須在標號所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上答題無效。 4.考試結(jié)束，務(wù)必將試題卷和答題卡一并上交。參考公式：如果事件 A、 B 互斥，那么S 表示底面積，h 表示底面上的高P(A B) P( A) P(B)棱柱體積VSh如果事件 A、 B 相互獨立，那么棱錐體積V1Sh3P(A B) P( A) P( B)第 I卷(選擇題共 50分)一.選擇題：本大題共10 小題，每小題5 分，共50 分，在每小

3、題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（ 1） i 是虛數(shù)單位，若17iR) ，則乘積 ab 的值是2ia bi( a,b（A） 15（B） 3（C）3（ D）15 17i(17i)(2i )3i ， a1,b3, ab3，選 B。解析 i512（ 2）若集合 Ax | 2x1|3 , Bx2x10 ,則 AB是3x（ A） x1 x1或2x3 (B)x 2x3 （C）12 (D)x 1 x1 xx2221或 x3 ， A B x | 1 x1解析 集合 A x | 1 x 2, B x | x 選 D22（ 3）下列曲線中離心率為6 的是 2（A） x2y21（B） x2y21244

4、2222解析 由 e6得 c23,1b23, b212a2a2a2（C） x2y21（ D） x 2y 21 46410，選 B(4) 下列選項中， p 是 q 的必要不充分條件的是（ A） p: ac b+d ,q: a b 且 cd（ B） p:a 1,b1q: f ( x)axb(a0，且 a1) 的圖像不過第二象限（ C） p: x=1 ,q: x2x （ D） p:a 1,q:f (x)log ax(a0，且 a1) 在 (0,) 上為增函數(shù)解析 ：由 a b 且 c dac b+d，而由 ac b+da b 且 cd，可舉反例。選A（ 5）已知 an為等差數(shù)列，a1 +a3 + a

5、5 =105， a2a4 a6 =99，以 Sn 表示 an的前 n 項和，則使得 Sn 達到最大值的n 是（A）21（B） 20（C）19（ D） 18 解 析 ：由 a1 + a3 + a5 =105得 3a3105, 即 a335 ， 由 a2 a4a 6=99得 3a499即a4 33 ， d2， ana4(n4)( 2)41 2nan020，選 B，由得 nan 10（ 6）設(shè) a b, 函數(shù) y( x2( xb) 的圖像可能是a)解析 ： y /(xa)(3x2a b) ，由 y /0 得 xa, x2ab ，當(dāng) xa 時， y 取極大2ab3值 0，當(dāng) xC。3時 y 取極小值且

6、極小值為負。故選或當(dāng) x b 時 y0 ，當(dāng) xb 時， y 0選 C（ 7）若不等式組x0所表示的平面區(qū)域被直線ykx4x3 y4分為面積相等的兩部分，33 xy4則 k 的值是 （ A）7（ B）34（ D）3（ C）3734解析 ：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分ABCBy4x3y44 ）y=kx+得 A（ 1， 1），又 B（ 0， 4）， C（ 0，3由y4D3x31 (44)4CA S ABC=1，設(shè) y kx 與 3xy4 的233Ox交點為 D，則由 S BCD1S ABC2知 xD1， yD52322 5k1 4 , k7選A。2233（ 8）已知函數(shù)f ( x)3sin

7、 x cosx(0)， yf (x) 的圖像與直線 y2 的兩個相鄰交點的距離等于，則 f ( x) 的單調(diào)遞增區(qū)間是（A） k, k5, k Z（ B） k5, k11, k Z 12121212（C） k, k, k Z（ D） k, k2, k Z 3663解析 ： f ( x)2sin(x) ，由題設(shè) f (x) 的周期為 T，2 ，6k2xk得，kxk, kz，故選 C由 2623622（ 9）已知函數(shù)f ( x) 在 R 上滿足 f ( x)2 f (2x)x28x8 ，則曲線 yf ( x) 在點(1, f (1)處的切線方程是（ A） y 2x 1（ B） y x（ C） y3

8、x 2（ D） y2x3 解析 ：由 f ( x)2 f (2x)x28x8 得 f (2x) 2 f ( x) (2 x)28(2x) 8 ，即 2 f (x) f (2x) x24x4 ， f ( x)x2 f / ( x)2x ，切線方程為y 1 2( x 1) ，即 2xy 1 0 選 A（ 10）考察正方體6 個面的中心，甲從這 6 個點中任意選兩個點連成直線，乙也從這6 個點中任意選兩個點連成直線，則所得的兩條直線相互平行但不重合的概率等于（A） 1（ B）2（C） 3（D） 475757575B解析 如圖，甲從這 6 個點中任意選兩個點連成直線，乙也從這6 個點中任意選兩個點連成

9、直線，共有C62 C6215 15225CFD種不同取法，其中所得的兩條直線相互平行但不重合有EAAC / DB, AD/ CB, AE / BF, AF / BE ,CE / FD ,CF / ED 共 12 對，所以所求概率為124p，選 D225752009 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（安徽卷）數(shù)學(xué)（理科）第卷 (非選擇題共 100 分 )考生注意事項：請用 0.5 毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.二 .填空題：本大題共5 小題，每小題5 分，共 25 分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。（ 11）若隨機變量X N (,2 ) ，則 P( X) =_.1解析 2（

10、12）以直角坐標系的原點為極點，x 軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單x12cos位。已知直線的極坐標方程為(R) ，它與曲線2（為參數(shù)）4y2sin相交于兩點 A 和 B，則 |AB|=_.開始解析 直線的普通方程為y x ，曲線的普通方程 ( x1)2( y 2) 24a 1|AB| 2 22(|1 2 |)214a2a111(13) 程序框圖（即算法流程圖）如圖所示，其輸出結(jié)果是_.否解析 由程序框圖知，循環(huán)體被執(zhí)行后a 的值依次為3、 7、 15、31、a1063、 127，故輸出的結(jié)果是 127。是（ 14）給定兩個長度為1 的平面向量 OA 和 OB ，它們的夾角為

11、120o .輸出a如圖所示，點C 在以 O 為圓心的圓弧AB 上變動 .結(jié)束若 OCxOAyOB , 其中 x, yR 則x y,的最大值是 _.解析 設(shè) AOCOCOAxOA OAyOBOA,，即OCOBxOAOByOBOB,cosx1 y2cos(1200)1 x y2 x y2coscos(1200) cos3 sin2sin() 2615）對于四面體 ABCD，下列命題正確的是 _（寫出所有正確命題的編號）。 相對棱 AB 與 CD所在的直線異面；1由頂點 A 作四面體的高，其垂足是BCD 的三條高線的交點；2若分別作ABC和 ABD 的邊 AB 上的高，則這兩條高所在直線異面；3分別

12、作三組相對棱中點的連線，所得的三條線段相交于一點;45最長棱必有某個端點，由它引出的另兩條棱的長度之和大于最長棱。解析 三解答題 ;本大題共 6 小題，共 75分 .解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.解答寫在答題卡上的答題區(qū)域內(nèi) .（16）（本小題滿分 12 分）在 ABC 中， sin(C A) 1,sinB= 1.3I）求 sinA 的值；(II)設(shè) AC=6，求ABC的面積 .本小題主要考查三角恒等變換、正弦定理、解三角形等有關(guān)知識，考查運算求解能力。本小題滿分12 分解：（）由 C A，且C AB，AB， sinA sin(B2BB4)(cossin )，2422222 sin2

13、 A1 (11 ，又 sinA 0， sin A3Csin B)233ACBCAB（）如圖，由正弦定理得sin Bsin AAC sin A63 BC332 ，又 sin Csin( AB)sin A cos B cos Asin Bsin B1332261633333SABC1 ACBCsin C16 3 2632 223（ 17）（本小題滿分 12 分）某地有 A、 B、 C、 D 四人先后感染了甲型H1N1 流感，其中只有A 到過疫區(qū) .B 肯定是受 A感染的 .對于 C，因為難以斷定他是受A 還是受 B 感染的，于是假定他受A 和受 B 感染的概率都是 1.同樣也假定 D 受 A、 B

14、 和 C 感染的概率都是1.在這種假定之下，B、C、 D 中直接 受 A23感染的人數(shù)X 就是一個隨機變量.寫出 X 的分布列 (不要求寫出計算過程),并求 X 的均值（即數(shù)學(xué)期望） .本小題主要考查古典概型及其概率計算，考查取有限個值的離散型隨機變量及其分布列和均值的概念，通過設(shè)置密切貼近現(xiàn)實生活的情境，考查概率思想的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值。本小題滿分12 分。解：隨機變量X 的分布列是X123P111326X的均值為 EX 1 1 213 1113266附： X 的分布列的一種求法共有如下 6 種不同的可能情形，每種情形發(fā)生的概率都是1 ：6A BC DA BCABCABD

15、ACD D D C B在情形和之下， A 直接感染了一個人；在情形、之下，A 直接感染了兩個人；在情形之下， A 直接感染了三個人。（ 18）（本小題滿分 13 分）如圖，四棱錐FABCD的底面 ABCD是菱形，其對角線AC=2，BD=2 ， AE、 CF 都與平面 ABCD垂直， AE=1， CF=2.I）求二面角 B AF D 的大??；II）求四棱錐 E ABCD與四棱錐 F ABCD公共部分的體積 .本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系、相交平面所成二面角以及空間幾何體的體積計算等知識，考查空間想象能力和推理論證能力、利用綜合法或向量法解決立體幾何問題的能力。本小題

16、滿分13 分。解：（ I（）綜合法）連接 AC、BD交于菱形的中心O，過 O作 OGAF，G 為垂足。連接 BG、DG。由 BDAC，BDCF得 BD 平面 ACF，故 BDAF。于是 AF平面 BGD，所以 BGAF，DGAF，BGD為二面角 BAF D 的平面角。由 FCAC， FCAC 2 ，得 FAC， OG2422，得 BGD 2 BGO由 OB OG,OB OD22（向量法）以A 為坐標原點，BD 、 AC 、 AE 方向分別為x 軸、 y 軸、 z 軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖）設(shè)平面 ABF 的法向量 nn1AB0得2 xy 0(x, y, z) ，則由21n1AF02

17、y2z0令 z1，得x2 ， n1 ( 2,1,1)y1同理，可求得平面ADF 的法向量 n2( 2, 1,1) 。 由 nn 0 知，平面 ABF與平面 ADF 垂直，12二面角 B-AF-D 的大小等于。2II）連 EB、EC、ED，設(shè)直線 AF 與直線 CE相交于點 H，則四棱錐 E-ABCD與四棱錐 F-ABCD的公共部分為四棱錐 H-ABCD。過 H 作 HP平面 ABCD， P 為垂足。因為 EA平面 ABCD，F(xiàn)C平面 ABCD，所以平面ACFE平面 ABCD，從而 PAC , HPAC .由 HPHPAPPC1,得 HP2。CFAEACAC3又因為 S菱形 ABCD1AC BD

18、2, 2故四棱錐 H-ABCD的體積 V1S菱形 ABCDHP223.9（ 19）（本小題滿分12 分）已知函數(shù) f ( x)x2ln x),( a0)，討論 f ( x) 的單調(diào)性 .a(2x本小題主要考查函數(shù)的定義域、利用導(dǎo)數(shù)等知識研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的思想方法和運算求解的能力。本小題滿分12 分。解： f ( x) 的定義域是 (0,+), f( x)12ax2ax2x2xx2.設(shè) g(x)x2ax2 ,二次方程 g( x)0的判別式a28. 當(dāng)a280，即 0a2 2時，對一切 x0 都有 f(x)0 ,此時 f ( x) 在 (0,) 上是增函數(shù)。 當(dāng)a280,即 a22

19、時，僅對 x2 有 f( x)0,對其余的 x0 都有 f ( x)0 ,此時 f ( x) 在 (0,) 上也是增函數(shù)。 當(dāng)a28 0，即 a2 2時，方程 g ( x)0 有兩個不同的實根x1aa28aa28x1x2 .2, x22, 0 x(0, x1 )x1(x1, x2 )x 2( x 2 ,)f( x)+0_0+f ( x)單調(diào)遞增極大單調(diào)遞減極小單調(diào)遞增此時 f ( x) 在 (0, aa28 ) 上單調(diào)遞增 , 在 ( aa28 , aa28 ) 是上單調(diào)遞減, 在222( aa28 ,) 上單調(diào)遞增 .2（ 20）（本小題滿分13 分）點 P( x0 , y0 ) 在橢圓x2

20、y21(ab0) 上， x0a cos, y0b sin ,0. 直線 l 2a2b22與直線 l1 :x0y0y1垂直， O 為坐標原點， 直線 OP 的傾斜角為，直線 l2 的傾斜角為 .a2 xb222（ I）證明 : 點 P 是橢圓 x2y21與直線 l1 的唯一交點； abII）證明 : tan , tan , tan 構(gòu)成等比數(shù)列 .解：本小題主要考查直線和橢圓的標準方程和參數(shù)方程，直線和曲線的幾何性質(zhì)，等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識?？疾榫C合運用知識分析問題、解決問題的能力。本小題滿分13 分。解：（ I）（方法一）由x0y0y1得 yb2(a2x0 x), 代入橢圓x2y21,a2 xb2

21、2a2b2a y01b2 x0 222b2 x0 x (b2得 ( 2a42 ) x2y021)0.ay0ay0 x0a cos代入上式 ,得 x22a cosxa2 cos20, 從而 xa cos .將b siny0 x2y21xx022因此 ,方程組abP. 有唯一解y,即直線 l1 與橢圓有唯一交點x0 xy0y1y02b2a(方法二 )顯然 P 是橢圓與 l1 的交點，若Q( a cos1 ,b sin 1 ),012是橢圓與 l1 的交點，代入 l1 的方程 cosxsiny1，得 coscos 1sinsin11,ab即 cos(1 )1,1,故 P與 Q重合。（方法三）在第一象

22、限內(nèi)，由x2y21 可得 yba2x2 , y0ba2x02 ,a2b2aa橢圓在點 P 處的切線斜率 ky (x0 )bx0b2 x0 ,aa2x02a2 y0切線方程為 yb2 x0 (xx0 )y0, 即 x0 xy0 y1。a2 y0a2b2因此， l1 就是橢圓在點P 處的切線。根據(jù)橢圓切線的性質(zhì)， P 是橢圓與直線l1 的唯一交點。y0btan , l1 的斜率為x0b2, l2y0 a2atan ,（ II） tanay a2的斜率為 tan2bx0 x b00由此得 tan tantan20, tan, tan , tan 構(gòu)成等比數(shù)列。（ 21）（本小題滿分13 分）首項為正

23、數(shù)的數(shù)列an滿足 an11 (an23),nN . 4（ I）證明：若 a1 為奇數(shù)，則對一切n2, an 都是奇數(shù)；（ II）若對一切 nN都有 an 1an ，求 a1 的取值范圍 .解：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法和不等式的有關(guān)知識，考查推理論證、抽象概括、運算求解和探究能力， 考查學(xué)生是否具有審慎思維的習(xí)慣和一定的數(shù)學(xué)視野。本小題滿分13 分。解：（ I）已知 a1 是奇數(shù)，假設(shè) ak2m1是奇數(shù)，其中m 為正整數(shù)，則由遞推關(guān)系得ak 1ak23m( m1) 1是奇數(shù)。 4根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對任何nN， an 都是奇數(shù)。（ II）（方法一）由 an 1an1 (an1)(an3) 知，

24、 an 1 an 當(dāng)且僅當(dāng) an1或 an3 。4另一方面，若 0ak1,則 0 ak131；若 ak3 ，則 ak32314143.根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，0a11,0an1,nN ; a13an3,nN .綜合所述，對一切nN都有 an1an 的充要條件是 0a11或 a13。（方法二）由 a2a123a1, 得 a124a130,于是0a11或 a13 。422an1 ) , an 1anan3an 13(anan 1 )(an444因為 a10, an 1an23 , 所以所有的 an 均大于0，因此 an1an 與 anan 1 同號。4根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，nN， an 1an 與 a2a1 同

25、號。 因此，對一切 nN都有 an 1an 的充要條件是0 a11或 a13 。贈送以下資料考試知識點技巧大全一、考試中途應(yīng)飲葡萄糖水大腦是記憶的場所，腦中有數(shù)億個神經(jīng)細胞在不停地進行著繁重的活動,大腦細胞活動需要大量能量。 科學(xué)研究證實 ,雖然大腦的重量只占人體重量的 2%-3%,但大腦消耗的能量卻占食物所產(chǎn)生的總能量的20%,它的能量來源靠葡萄糖氧化過程產(chǎn)生。據(jù)醫(yī)學(xué)文獻記載 ,一個健康的青少年學(xué)生30 分鐘用腦 ,血糖濃度在120毫克 /100毫升 ,大腦反應(yīng)快 ,記憶力強； 90 分鐘用腦，血糖濃度降至 80毫克 /100毫升，大腦功能尚正常；連續(xù) 120 分鐘用腦，血糖濃度降至毫克 /

26、100 毫升，大腦反應(yīng)遲鈍，思維能力較差。我們中考、高考每一科考試時間都在2 小時或 2 小時以上且用腦強度大，這樣可引起低血糖并造成大腦疲勞，從而影響大腦的正常發(fā)揮，對考試成績產(chǎn)生重大影響。因此建議考生，在用腦60 分鐘時，開始補飲 25%濃度的葡萄糖水 100 毫升左右，為一個高效果的考試 加油 。二、考場記憶“短路”怎么辦呢？對于考生來說，掌握有效的應(yīng)試技巧比再做題突擊更為有效。1.草稿紙也要逐題順序?qū)懖莞逡麧?，草稿紙使用要便于檢查。 不要在一大張紙上亂寫亂畫，東寫一些，西寫一些。打草稿也要像解題一樣，一題一題順著序號往下寫。最好在草稿紙題號前注上符號，以確定檢查側(cè)重點。為了便于做完試

27、卷后的復(fù)查， 草稿紙一般可以折成 4-8 塊的小方格， 標注題號以便核查，保留清晰的分析和計算過程。2.答題要按先易后難順序不要考慮考試難度與結(jié)果， 可以先用 5 分鐘熟悉試卷，合理安排考試進度，先易后難，先熟后生，排除干擾。考試中很可能遇到一些沒有見過或復(fù)習(xí)過的難題，不要 蒙 了。一般中考試卷的題型難度分布基本上是從易到難排列的，或者交替排列。3.遇到容易試題不能浮躁遇到容易題，審題要細致。 圈點關(guān)鍵字詞， 邊審題邊畫草圖，明確解題思路。有些考生一旦遇到容易的題目，便覺得心應(yīng)手、興奮異常，往往情緒激動，甚至得意忘形。要避免急于求成、粗枝大葉，防止受熟題答案與解題過程的定式思維影響，避免漏題，錯題，丟掉不該丟的分。答題不要猶豫不決選