【高中數(shù)學(xué)精品】空間向量綜合講義

1、空間向量綜合講義1、空間向量基本知識(shí)2、空間向量求夾角（直線與直線、直線與平面、平面與平面）3、空間向量證明三點(diǎn)共線（共面）4、空間向量求點(diǎn)到平面的距離5、空間向量證明垂直、平行6、向量解決探索性問(wèn)題一、空間向量基本知識(shí)一、空間向量及其加減運(yùn)算1.空間向量在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模.空間向量也可用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的模，若向量的起點(diǎn)是，終點(diǎn)是，則向量也可以記作，其模記為或.2.零向量與單位向量規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作.當(dāng)有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合時(shí)，.模為1的向量稱為單位向量.3.相等向量與相反向量方向相同且模相等的向量

2、稱為相等向量.在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量.空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量.與向量長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為.4.空間向量的加法和減法運(yùn)算（1），.如圖8-152所示. （2）空間向量的加法運(yùn)算滿足交換律及結(jié)合律 ，二、空間向量的數(shù)乘運(yùn)算1數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)與空間向量的乘積稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算.當(dāng)時(shí)，與向量方向相同；當(dāng)時(shí)，向量與向量方向相反. 的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的倍.2.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律，.3.共線向量與平行向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，平行于，記作.

3、4.共線向量定理對(duì)空間中任意兩個(gè)向量，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使.5.直線的方向向量如圖8-153所示，為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)且平行于已知非零向量的直線.對(duì)空間任意一點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使，其中向量叫做直線的方向向量，在上取，則式可化為和都稱為空間直線的向量表達(dá)式，當(dāng)，即點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，此式叫做線段的中點(diǎn)公式.6.共面向量如圖8-154所示，已知平面與向量，作，如果直線平行于平面或在平面內(nèi)，則說(shuō)明向量平行于平面.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.圖 8-154圖 8-1547.共面向量定理如果兩個(gè)向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使.推論：（1）空間一

4、點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使；或?qū)臻g任意一點(diǎn)，有，該式稱為空間平面的向量表達(dá)式.（2）已知空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，滿足向量關(guān)系式（其中）的點(diǎn)與點(diǎn)，共面；反之也成立.三、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算1.兩向量夾角已知兩個(gè)非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量，的夾角，記作，通常規(guī)定，如果，那么向量，互相垂直，記作.2.數(shù)量積定義已知兩個(gè)非零向量，則叫做，的數(shù)量積，記作，即.零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，.3.空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律：，（交換律）；（分配律）.四、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用（1）設(shè)，則； ； ； ； .（2）設(shè)，則. 這就是說(shuō)，一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)

5、等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的坐標(biāo).（3）兩個(gè)向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公式.已知，則；已知，則,或者.其中表示與兩點(diǎn)間的距離，這就是空間兩點(diǎn)的距離公式.（4）向量在向量上的射影為.（5）設(shè)是平面的一個(gè)法向量，是內(nèi)的兩條相交直線，則，由此可求出一個(gè)法向量（向量及已知）.（6）利用空間向量證明線面平行：設(shè)是平面的一個(gè)法向量，為直線的方向向量，證明，（如圖8-155所示）.已知直線（），平面的法向量，若，則.（7）利用空間向量證明兩條異面直線垂直：在兩條異面直線中各取一個(gè)方向向量，只要證明，即.（8）利用空間向量證明線面垂直：即證平面的一個(gè)法向量與直線的方向向量共線.圖 8-155圖

6、8-155（9）證明面面平行、面面垂直，最終都要轉(zhuǎn)化為證明法向量互相平行、法向量互相垂直.（10）空間角公式.異面直線所成角公式：設(shè)，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則.線面角公式：設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則.二面角公式：設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)），其中.（11）點(diǎn)到平面的距離為，為平面的法向量，則.空間向量及其運(yùn)算思路提示空間向量的運(yùn)算包括空間向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)運(yùn)算，可以類比平面向量的運(yùn)算法則.一、空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算例8.41 如圖8-1

7、56所示，已知空間四邊形，點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)，且，用，表示，則 .變式1 如圖8-157所示，已知空間四邊形，其對(duì)角線為，和分別是對(duì)邊和的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，現(xiàn)用基向量，表示向量，設(shè)，則的值分別是（ ）變式2 如圖8-158所示，在四面體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則 （用，表示）.變式3 在空間四邊形中，連接對(duì)角線，若是正三角形，且為其重心，則的化簡(jiǎn)結(jié)果為 .變式4 如圖8-159所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，則下列向量中與相等的向量是（ ） 二、空間共線向量定理的應(yīng)用空間共線向量定理：.利用此定理可解決立體幾何中的平行問(wèn)題.例8.42 已知，且不共面，若，求的值.二、空間向量的數(shù)量積運(yùn)

8、算；求模長(zhǎng)時(shí)，可根據(jù)；求空間向量夾角時(shí)，可先求其余弦值.要判斷空間兩向量垂直時(shí)，可以求兩向量的數(shù)量積是否為0，即.為銳角；為鈍角.由此，通常通過(guò)計(jì)算的值來(lái)判斷兩向量夾角是銳角還是鈍角.例8.43 已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，的值為（ ）. 變式1 如圖8-161所示，已知平行六面體中，且，則 .變式2 如圖8-162所示，設(shè)是空間不共面的4個(gè)點(diǎn)，且滿足，則的形狀是（ ）.鈍角三角形 直角三角形銳角三角形 無(wú)法確定例8.44 如圖8-163所示，在的二面角的棱上有兩點(diǎn)，點(diǎn)分別在內(nèi)，且，則的長(zhǎng)度為 .變式1 已知二面角為，動(dòng)點(diǎn)分別在面內(nèi)，到的距離為，到的距離為，則兩點(diǎn)

9、之間距離的最小值為（ ）. 變式2 在直角坐標(biāo)系中，設(shè)，沿軸把坐標(biāo)平面折成的二面角后，的長(zhǎng)為（ ）. 例8.45 如圖8-164所示，設(shè)動(dòng)點(diǎn)在棱長(zhǎng)為1的正方體的對(duì)角線上，記.當(dāng)為鈍角時(shí)，求的取值范圍.變式1 已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)在線段上，當(dāng)最大時(shí)，三棱錐的體積為（ ）. 例8.46 如圖8-166所示，在四棱錐中，側(cè)面為正三角形，底面為正方形，側(cè)面底面，為底面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)在正方形內(nèi)的軌跡為（ ）.變式1 到兩互相垂直的異面直線距離相等的點(diǎn)，在過(guò)其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是（ ）.直線 橢圓 拋物線 雙曲線變式2 空間點(diǎn)到平面的距離定義如下：過(guò)空間一點(diǎn)作平面的

10、垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足之間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，已知平面，兩兩互相垂直，點(diǎn)，點(diǎn)到，的距離都是3，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，滿足到的距離是點(diǎn)到點(diǎn)距離的2倍，則點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是（ ）. 1.(2017黃岡模擬)已知向量a(2m1，3，m1)，b(2，m，m)，且ab，則實(shí)數(shù)m的值等于()A.eq f(3,2) B.2C.0 D.eq f(3,2)或2解析ab，eq f(2m1,2)eq f(3,m)eq f(m1,m)，解得m2.答案B2.(2017海南模擬)在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，則sineq o(CM,sup6()，eq o(D1N,

11、sup6()的值為()A.eq f(1,9) B.eq f(4r(5),9)C.eq f(2r(5),9) D.eq f(2,3)解析如圖，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則易得eq o(CM,sup6()(2，2，1)，eq o(D1N,sup6()(2，2，1)，coseq o(CM,sup6()，eq o(D1N,sup6()eq f(o(CM,sup6()o(D1N,sup6(),|o(CM,sup6()|o(D1N,sup6()|)eq f(1,9)，sineq o(CM,sup6()，eq o(D1N,sup6()eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,9)sup12(2)eq

12、f(4r(5),9).答案B3.空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線均相等，E是BC的中點(diǎn)，那么()A.eq o(AE,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(CD,sup6()B.eq o(AE,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(CD,sup6()C.eq o(AE,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(CD,sup6()D.eq o(AE,sup6()eq o(BC,sup6()與eq o(AE,sup6()eq o(CD,sup6()的大小不能比較解析取BD的中點(diǎn)F，連接

13、EF，則EF綉eq f(1,2)CD，因?yàn)閑q o(AE,sup6()，eq o(EF,sup6()eq o(AE,sup6()，eq o(CD,sup6()90，因?yàn)閑q o(AE,sup6()eq o(BC,sup6()0，eq o(AE,sup6()eq o(CD,sup6()0，所以eq o(AE,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(CD,sup6().答案C4.已知向量a(1，1，0)，b(1，0，2)，且kab與2ab互相垂直，則k的值是()A.1 B.eq f(4,3) C.eq f(5,3) D.eq f(7,5)解析由題意得，kab(

14、k1，k，2)，2ab(3，2，2).所以(kab)(2ab)3(k1)2k225k70，解得keq f(7,5).答案D5.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則eq o(AE,sup6()eq o(AF,sup6()的值為()A.a2 B.eq f(1,2)a2 C.eq f(1,4)a2 D.eq f(r(3),4)a2解析如圖，設(shè)eq o(AB,sup6()a，eq o(AC,sup6()b，eq o(AD,sup6()c，則|a|b|c|a，且a，b，c三向量?jī)蓛蓨A角為60.eq o(AE,sup6()eq f(1,2)(ab)，eq

15、o(AF,sup6()eq f(1,2)c，eq o(AE,sup6()eq o(AF,sup6()eq f(1,2)(ab)eq f(1,2)ceq f(1,4)(acbc)eq f(1,4)(a2cos 60a2cos 60)eq f(1,4)a2.答案C二、填空題6.已知2ab(0，5，10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，則以b，c為方向向量的兩直線的夾角為_(kāi).解析由題意得，(2ab)c0102010.即2acbc10，又ac4，bc18，cosb，ceq f(bc,|b|c|)eq f(18,12r(144)eq f(1,2)，b，c120，兩直線的夾角為60.答案607.正

16、四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為_(kāi).解析|eq o(EF,sup6()|2(eq o(EC,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(DF,sup6()2eq o(EC,sup6()2eq o(CD,sup6()2eq o(DF,sup6()22(eq o(EC,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(EC,sup6()eq o(DF,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(DF,sup6()1222122(12cos 120021cos 120)2，|eq o(EF,sup6()|eq r(2)，EF的長(zhǎng)為eq r(2).答案eq

17、 r(2)8.(2017南昌調(diào)研)已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線為OB，AC，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且eq o(MG,sup6()2eq o(GN,sup6()，現(xiàn)用基底eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()，eq o(OC,sup6()表示向量eq o(OG,sup6()，有eq o(OG,sup6()xeq o(OA,sup6()yeq o(OB,sup6()zeq o(OC,sup6()，則x，y，z的值分別為_(kāi).解析eq o(OG,sup6()eq o(OM,sup6()eq o(MG,sup6()eq f(1,2)eq o(OA,sup

18、6()eq f(2,3)eq o(MN,sup6()eq f(1,2)eq o(OA,sup6()eq f(2,3)(eq o(ON,sup6()eq o(OM,sup6()eq f(1,2)eq o(OA,sup6()eq f(2,3)eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)（o(OB,sup6()o(OC,sup6()）f(1,2)o(OA,sup6()eq f(1,6)eq o(OA,sup6()eq f(1,3)eq o(OB,sup6()eq f(1,3)eq o(OC,sup6()，xeq f(1,6)，yeq f(1,3)，zeq f(1,3).答案eq f(1,6)，

19、eq f(1,3)，eq f(1,3)三、解答題9.已知空間中三點(diǎn)A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，設(shè)aeq o(AB,sup6()，beq o(AC,sup6().(1)若|c|3，且ceq o(BC,sup6()，求向量c.(2)求向量a與向量b的夾角的余弦值.解(1)ceq o(BC,sup6()，eq o(BC,sup6()(3，0，4)(1，1，2)(2，1，2)，cmeq o(BC,sup6()m(2，1，2)(2m，m，2m)，|c|eq r(（2m）2（m）2（2m）2)3|m|3，m1.c(2，1，2)或(2，1，2).(2)a(1，1，0)，b(1，0，

20、2)，ab(1，1，0)(1，0，2)1，又|a|eq r(121202)eq r(2)，|b|eq r(（1）20222)eq r(5)，cosa，beq f(ab,|a|b|)eq f(1,r(10)eq f(r(10),10)，即向量a與向量b的夾角的余弦值為eq f(r(10),10).10.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體OABCO1A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AEBFx，其中0 xa，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.(1)寫(xiě)出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；(2)求證：A1FC1E；(3)若A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面，求證：eq o(A1F,sup6()eq f(1,2)eq

21、 o(A1C1,sup6()eq o(A1E,sup6().(1)解E(a，x，0)，F(xiàn)(ax，a，0).(2)證明A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，eq o(A1F,sup6()(x，a，a)，eq o(C1E,sup6()(a，xa，a)，eq o(A1F,sup6()eq o(C1E,sup6()axa(xa)a20，eq o(A1F,sup6()eq o(C1E,sup6()，A1FC1E.(3)證明A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面，eq o(A1E,sup6()，eq o(A1C1,sup6()，eq o(A1F,sup6()共面.選eq o(A1E,sup6()與eq o(A1C1

22、,sup6()為在平面A1C1E上的一組基向量，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)(1，2)，使eq o(A1F,sup6()1eq o(A1C1,sup6()2eq o(A1E,sup6()，即(x，a，a)1(a，a，0)2(0，x，a)(a1，a1x2，a2)，eq blc(avs4alco1(xa1，,aa1x2，,aa2，)解得1eq f(1,2)，21.于是eq o(A1F,sup6()eq f(1,2)eq o(A1C1,sup6()eq o(A1E,sup6().11.在空間四邊形ABCD中，eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(DB,su

23、p6()eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()()A.1 B.0 C.1 D.不確定解析如圖，令eq o(AB,sup6()a，eq o(AC,sup6()b，eq o(AD,sup6()c，則eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(DB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()a(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0.答案B12.若a，b，c是空間的一個(gè)基底，且向量pxaybzc，則(x，y，z)叫向量p在基底a，b，c下的坐標(biāo).已知a，b，c是空間的一個(gè)基底，ab，ab，c是

24、空間的另一個(gè)基底，一向量p在基底a，b，c下的坐標(biāo)為(4，2，3)，則向量p在基底ab，ab，c下的坐標(biāo)是()A.(4，0，3) B.(3，1，3)C.(1，2，3) D.(2，1，3)解析設(shè)p在基底ab，ab，c下的坐標(biāo)為x，y，z.則px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc，因?yàn)閜在a，b，c下的坐標(biāo)為(4，2，3)，p4a2b3c，由得eq blc(avs4alco1(xy4，,xy2，,z3，)eq blc(avs4alco1(x3，,y1，,z3，)即p在ab，ab，c下的坐標(biāo)為(3，1，3).答案B13.(2017鄭州調(diào)研)已知O點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，向量eq o(O

25、A,sup6()(1，2，3)，eq o(OB,sup6()(2，1，2)，eq o(OP,sup6()(1，1，2)，且點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)eq o(QA,sup6()eq o(QB,sup6()取得最小值時(shí)，eq o(OQ,sup6()的坐標(biāo)是_.解析點(diǎn)Q在直線OP上，設(shè)點(diǎn)Q(，2)，則eq o(QA,sup6()(1，2，32)，eq o(QB,sup6()(2，1，22)，eq o(QA,sup6()eq o(QB,sup6()(1)(2)(2)(1)(32)(22)6216106eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)eq sup12(2)eq f(2,3).即當(dāng)e

26、q f(4,3)時(shí)，eq o(QA,sup6()eq o(QB,sup6()取得最小值eq f(2,3).此時(shí)eq o(OQ,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(4,3)，f(8,3).答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(4,3)，f(8,3)二、利用空間向量求夾角一、求直線與直線的夾角一、求直線與直線的夾角兩異面直線所成角的求法(1)定義法：過(guò)空間中任一點(diǎn)，分別作兩異面直線的平行線，則這兩條相交直線所成的銳角或直角等于兩異面直 線所成的角定義法求解的實(shí)質(zhì)就是將空間中兩異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面三角形的內(nèi)角進(jìn)行求解(2)向量法：設(shè)

27、異面直線a，b的方向向量分別為a，b，則異面直線a，b所成角的余弦值等于|cosa，b|.(1)異面直線所成角的求法從兩異面直線上分別取與之共線的兩向量n1，n2，如圖，cos 例1：在長(zhǎng)方體中，則直線與所成角的余弦值為 【答案】【解析】在長(zhǎng)方體中，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)直線與所成角為，則，直線與所成角的余弦值為2、已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為_(kāi)【解析】如圖，在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作BDAB，交AC于點(diǎn)D，則CBD30.因?yàn)锽B1平面ABC，故以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線BD，BA

28、，BB1為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(0，0，0)，A(0，2，0)，B1(0，0，1)，C1(cos 30，sin 30，1)，即C1eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，1).所以eq o(AB1,sup16()(0，2，1)，eq o(BC1,sup16()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，1).所以coseq o(AB1,sup16()，eq o(BC1,sup16()eq f(o(AB1,sup16()o(BC1,sup16(),|o(AB1,sup16()|o(BC1,sup16(

29、)|)eq f(0f(r(3),2)（2）blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)11,r(0（2）212) r(blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)sup12(2)blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup12(2)12)eq f(r(10),5).所以異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為eq f(r(10),5).14.如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)，計(jì)算：(1)eq o(EF,sup6()eq o(BA,sup6()；(2)EG的長(zhǎng)；(3)異面直線AG與CE所成角的余弦值.解設(shè)e

30、q o(AB,sup6()a，eq o(AC,sup6()b，eq o(AD,sup6()c.則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，(1)eq o(EF,sup6()eq f(1,2)eq o(BD,sup6()eq f(1,2)ceq f(1,2)a，eq o(BA,sup6()a，eq o(DC,sup6()bc，eq o(EF,sup6()eq o(BA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)cf(1,2)a)(a)eq f(1,2)a2eq f(1,2)aceq f(1,4)，(2)eq o(EG,sup6()eq o(EB,sup6()eq o(BC

31、,sup6()eq o(CG,sup6()eq f(1,2)abaeq f(1,2)ceq f(1,2)b eq f(1,2)aeq f(1,2)beq f(1,2)c，|eq o(EG,sup6()|2eq f(1,4)a2eq f(1,4)b2eq f(1,4)c2eq f(1,2)abeq f(1,2)bceq f(1,2)caeq f(1,2)，則|eq o(EG,sup6()|eq f(r(2),2).(3)eq o(AG,sup6()eq f(1,2)beq f(1,2)c，eq o(CE,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(AE,sup6()beq f(1,2)a，

32、coseq o(AG,sup6()，eq o(CE,sup6()eq f(o(AG,sup6()o(CE,sup6(),|o(AG,sup6()|o(CE,sup6()|)eq f(2,3)，由于異面直線所成角的范圍是eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2)，所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為eq f(2,3).二、求直線與平面的夾角二、求直線與平面的夾角向量法求直線和平面所成的角設(shè)為直線l與平面所成的角，為直線l的方向向量v與平面的法向量n之間的夾角，則有eq f(,2)(如圖1)或eq f(,2)(如圖2)，所以有sin |cos |cosv，n|eq f(|vn|,|v

33、|n|).特別地，0時(shí)，eq f(,2)，l；eq f(,2)時(shí)，0，l或l. (2)線面角的求法設(shè)n是平面的法向量，eq o(AB,sup6()是直線l的方向向量，如圖，則直線l與平面所成的角滿足sin eq f(|o(AB,sup6()n|,|o(AB,sup6()|n|)例2：正三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等，則與平面的夾角的余弦值為 【答案】【解析】設(shè)，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系如圖，則，又平面的一個(gè)法向量，設(shè)與平面的夾角為，則，故2、(2018高考全國(guó)卷)如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PFBF.(1)

34、證明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值【解】(1)證明：由已知可得，BFPF，BFEF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.(2)作PHEF，垂足為H.由(1)得，PH平面ABFD.以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq o(HF,sup16()的方向?yàn)閥軸正方向，|eq o(BF,sup16()|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Hxyz.由(1)可得，DEPE.又DP2，DE1，所以PEeq r(3).又PF1，EF2，故PEPF.可得PHeq f(r(3),2)，EHeq f(3,2).則H(0，0，0)，Peq blc(rc)(avs4

35、alco1(0，0，f(r(3),2)，Deq blc(rc)(avs4alco1(1，f(3,2)，0)，eq o(DP,sup16()eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(3,2)，f(r(3),2)，eq o(HP,sup16()eq blc(rc)(avs4alco1(0，0，f(r(3),2)為平面ABFD的法向量設(shè)DP與平面ABFD所成角為，則sin eq blc|rc|(avs4alco1(f(o(HP,sup16()o(DP,sup16(),|o(HP,sup16()|o(DP,sup16()|)eq f(f(3,4),r(3)eq f(r(3),4).所以DP與平

36、面ABFD所成角的正弦值為eq f(r(3),4).三、求平面與平面的夾角三、求平面與平面的夾角向量法求二面角設(shè)二面角l的平面角為(0)，n1，n2分別為平面，的法向量，向量n1，n2的夾角為，則有(如圖1)或(如圖2)，其中cos eq f(n1n2,|n1|n2|). 如圖，AB、CD分別是二面角l的兩個(gè)面內(nèi)與l垂直的異面直線，則二面角l的平面角滿足cos 設(shè)n1，n2分別是二面角l的兩個(gè)面，的法向量，在圖中二面角l的平面角滿足cos 在圖中二面角l的平面角滿足cos 2求直線與平面所成角的方法（）先作出該角，再利用求角余弦公式來(lái)求。（）改求直線的方向向量與平面的法向量所成角的余角，如圖所

37、示，設(shè)直角的方向向量為，平面的法向量為，直線和平面所成角為，則或，因?yàn)榈娜≈捣秶牵?。?如圖所示，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面ABCD，已知ABC，BC，AB，SASB，求直線SD與平面面SAB所成角的正弦值。變式1 如圖8-197所示，在四棱錐P-ABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E，F(xiàn)分別是AB,PB的中點(diǎn)，求DB與平面DEF所成角的正弦值。變式2 如圖8-198所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AD=4,AB =2,以AC的中點(diǎn)O為球心，以AC為直徑的球面交PD于點(diǎn)M，求直線CD

38、與平面ACM所成角的正弦值。變式3, 如圖8-199所示，四棱錐S-ABCD中，ABCD，BCCD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.求AB與平面SBC所成角的正弦值3求平面與平面所成角的方法 在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，（是交線的方向向量），其方向如圖8-200所示，則二面角-的平面角的余弦值為。(2)設(shè)是二面角-的兩個(gè)半平面的法向量，其方向一個(gè)指向二面角內(nèi)側(cè)，另一個(gè)指向二面角的外側(cè)，則二面角-的余弦值為。例8.57 如圖8-201所示，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD，PA=AB=2，ABC=60，E,F分別為BC，PC的中點(diǎn)，求二面角E-AF-C

39、的余弦值。變式1 如圖8-203所示，已知四棱錐P-ABCD，PBAD，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)等于2的正三角形，底面ABCD為棱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成二面角為120，求平面APB與平面CPB所成二面角的余弦值。變式2 如圖8-204所示，四棱錐S-ABCD中，SD底面ABCD，ABDC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上一點(diǎn)，平面EDC平面SBC，求二面角A-DE-C的大小。變式3 如圖8-205所示，直三棱柱中，ACB=90，AC=1，CB=，側(cè)棱=1，側(cè)面的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為D，的中點(diǎn)為M，求平面與平面CDM所成二面角的正弦值。例3：正方體中，二面角的大小是 【答案

40、】【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)二面角的平面角為，二面角的大小為2、(2018沈陽(yáng)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一)如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PAPD，APD90.(1)證明：平面PAB平面PCD；(2)(一題多解)求二面角APBC的余弦值解：取AD的中點(diǎn)為O，BC的中點(diǎn)為Q，連接PO，OQ，易得PO底面ABCD，OQAD，以O(shè)為原點(diǎn)，eq o(OA,sup16()，eq o(OQ,sup16()，eq o(OP,sup16()的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)

41、系，如圖，不妨設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，可得A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(1，2，0)，P(0，0，1)設(shè)平面APB的法向量為n1(x1，y1，z1)，而eq o(PA,sup16()(1，0，1)，eq o(PB,sup16()(1，2，1)則eq blc(avs4alco1(n1o(PA,sup16()0，,n1o(PB,sup16()0，)即eq blc(avs4alco1(x1z10，,x12y1z10，)則y10，取x11，得n1(1，0，1)為平面APB的一個(gè)法向量設(shè)平面BCP的法向量為n2(x2，y2，z2)，而eq o(PB,sup16()(1，2，1)，eq o(

42、PC,sup16()(1，2，1)，則eq blc(avs4alco1(n2o(PB,sup16()0，,n2o(PC,sup16()0，)eq blc(avs4alco1(x22y2z20，,x22y2z20，)則x20，取y21，得n2(0，1，2)為平面BCP的一個(gè)法向量所以cosn1，n2eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(100112,r(2)r(5)eq f(2,r(10)eq f(r(10),5)，由圖易知二面角APBC為鈍角，故二面角APBC的余弦值為eq f(r(10),5).3、(2018高考全國(guó)卷)如圖，在三棱錐PABC中，ABBC2eq r(2)，PAPBPC

43、AC4，O為AC的中點(diǎn)(1)證明：PO平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角MPAC為30，求PC與平面PAM所成角的正弦值解：(2)如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq o(OB,sup16()的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2eq r(3)，eq o(AP,sup16()(0，2，2eq r(3)取平面PAC的一個(gè)法向量eq o(OB,sup16()(2，0，0)設(shè)M(a，2a，0)(0a2)，則eq o(AM,sup16()(a，4a，0)設(shè)平面PAM的法向量為n(x，y，z)由eq

44、o(AP,sup16()n0，eq o(AM,sup16()n0得eq blc(avs4alco1(2y2r(3)z0，,ax（4a）y0，)可取n(eq r(3)(a4)，eq r(3)a，a)，所以coseq o(OB,sup16()，neq f(2r(3)（a4）,2r(3（a4）23a2a2).由已知可得|coseq o(OB,sup16()，n|eq f(r(3),2)，所以eq f(2r(3)|a4|,2r(3（a4）23a2a2)eq f(r(3),2)，解得a4(舍去)，aeq f(4,3)，所以neq blc(rc)(avs4alco1(f(8r(3),3)，f(4r(3),

45、3)，f(4,3).又eq o(PC,sup16()(0，2，2eq r(3)，所以coseq o(PC,sup16()，neq f(r(3),4).所以PC與平面PAM所成角的正弦值為eq f(r(3),4).一、選擇題1.(2016長(zhǎng)沙模擬)在正方體A1B1C1D1ABCD中，AC與B1D所成的角的大小為()A.eq f(,6) B.eq f(,4) C.eq f(,3) D.eq f(,2)解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，則A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).eq o(AC,sup6()(1，1，0)，eq o(B1D,sup6(

46、)(1，1，1)，eq o(AC,sup6()eq o(B1D,sup6()1(1)110(1)0，eq o(AC,sup6()eq o(B1D,sup6()，AC與B1D所成的角為eq f(,2).答案D2.(2017鄭州調(diào)研)在正方體ABCDA1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的正弦值為()A.eq f(r(3),2) B.eq f(r(3),3) C.eq f(3,5) D.eq f(2,5)解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.則B(1，1，0)，B1(1，1，1)，A(1，0，0)，C(0，1

47、，0)，D1(0，0，1)，所以eq o(BB1,sup6()(0，0，1)，eq o(AC,sup6()(1，1，0)，eq o(AD1,sup6()(1，0，1).令平面ACD1的法向量為n(x，y，z)，則neq o(AC,sup6()xy0，neq o(AD1,sup6()xz0，令x1，可得n(1，1，1)，所以sin |cosn，eq o(BB1,sup6()|eq f(1,r(3)1)eq f(r(3),3).答案B3.在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()A.eq f(1,2) B.eq f(2,3) C

48、.eq f(r(3),3) D.eq f(r(2),2)解析以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)棱長(zhǎng)為1，則A1(0，0，1)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(1,2)，D(0，1，0)，eq o(A1D,sup6()(0，1，1)，eq o(A1E,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(1,2)，設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為n1(1，y，z)，所以有eq blc(avs4alco1(o(A1D,sup6()n10，,o(A1E,sup6()n10，)即eq blc(avs4alco1(yz0，,1f(1,2)z0，)解得eq

49、blc(avs4alco1(y2，,z2.)n1(1，2，2).平面ABCD的一個(gè)法向量為n2(0，0，1)， cosn1，n2eq f(2,31)eq f(2,3).即所成的銳二面角的余弦值為eq f(2,3).答案B4.(2017西安調(diào)研)已知六面體ABCA1B1C1是各棱長(zhǎng)均等于a的正三棱柱，D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，則直線CC1與平面AB1D所成的角為()A.45 B.60C.90 D.30解析如圖所示，取AC的中點(diǎn)N，以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則Aeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,2)，0)，Ceq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,2)，0)

50、，B1eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3)a,2)，0，a)，Deq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,2)，f(a,2)，C1eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,2)，a)，eq o(AB1,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3)a,2)，f(a,2)，a)，eq o(AD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，a，f(a,2)，eq o(CC1,sup6()(0，0，a).設(shè)平面AB1D的法向量為n(x，y，z)，由neq o(AB1,sup6()0，neq o(AD,sup6()0，可取n(

51、eq r(3)，1，2).coseq o(CC1,sup6()，neq f(o(CC1,sup6()n,|o(CC1,sup6()|n|)eq f(2a,a2r(2)eq f(r(2),2)，直線CC1與平面AB1D所成的角為45.答案A5.設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是()A.eq f(r(3),2) B.eq f(r(2),2)C.eq f(2r(2),3) D.eq f(2r(3),3)解析如圖建立坐標(biāo)系.則D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，eq o(D1A1,sup6()(2，0，0)，eq o(DB,sup6()(2

52、，2，0)，設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量n(x，y，z)，則eq blc(avs4alco1(no(DA1,sup6()0，,no(DB,sup6()0，)eq blc(avs4alco1(2x2z0，,2x2y0，)令z1，得n(1，1，1).D1到平面A1BD的距離deq f(|o(D1A1,sup6()n|,|n|)eq f(2,r(3)eq f(2r(3),3).答案D二、填空題6.(2017昆明月考)如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是_.解析以BC為x軸，BA為y軸，BB

53、1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)ABBCAA12，則C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(xiàn)(0，0，1)，則eq o(EF,sup6()(0，1，1)，eq o(BC1,sup6()(2，0，2)，eq o(EF,sup6()eq o(BC1,sup6()2，coseq o(EF,sup6()，eq o(BC1,sup6()eq f(2,r(2)2r(2)eq f(1,2)，EF和BC1所成的角為60.答案607.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于_.解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.設(shè)AA12AB2，則D(0，0，0)，C

54、(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，則eq o(DC,sup6()(0，1，0)，eq o(DB,sup6()(1，1，0)，eq o(DC1,sup6()(0，1，2).設(shè)平面BDC1的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則neq o(DB,sup6()，neq o(DC1,sup6()，所以有eq blc(avs4alco1(xy0，,y2z0，)令y2，得平面BDC1的一個(gè)法向量為n (2，2，1).設(shè)CD與平面BDC1所成的角為，則sin |cosn，eq o(DC,sup6()|eq blc|rc|(avs4alco1(f(no(DC,sup6(),|n|o(DC,sup

55、6()|)eq f(2,3).答案eq f(2,3)8.已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值等于_.解析延長(zhǎng)FE，CB相交于點(diǎn)G，連接AG，如圖所示.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3，則GBBC3，作BHAG于點(diǎn)H，連接EH，則EHB為所求二面角的平面角.BHeq f(3r(2),2)，EB1，tanEHBeq f(EB,BH)eq f(r(2),3).答案eq f(r(2),3)三、解答題9.(2015全國(guó)卷)如圖，四邊形ABCD為菱形，ABC120，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE平面ABC

56、D，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)證明：平面AEC平面AFC，(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值.(1)證明如圖，連接BD，設(shè)BDACG，連接EG，F(xiàn)G，EF.在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB1.由ABC120，可得AGGCeq r(3).由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC.又AEEC，所以EGeq r(3)，且EGAC.在Rt EBG中，可得BEeq r(2)，故DFeq f(r(2),2).在Rt FDG中，可得FGeq f(r(6),2).在直角梯形BDFE中，由BD2，BEeq r(2)，DFeq f(r(2),2)，可得EFeq f(3r(2),2)，從而E

57、G2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，可得EG平面AFC.因?yàn)镋G平面AEC，所以平面AEC平面AFC.(2)解如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以eq o(GB,sup6()，eq o(GC,sup6()的方向?yàn)閤軸，y軸正方向，|eq o(GB,sup6()|為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz，由(1)可得A(0，eq r(3)，0)，E(1，0，eq r(2)，F(xiàn)eq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(r(2),2)，C(0，eq r(3)，0).所以eq o(AE,sup6()(1，eq r(3)，eq r(2)，eq o(CF,sup6()eq blc(rc)(av

58、s4alco1(1，r(3)，f(r(2),2).故coseq o(AE,sup6()，eq o(CF,sup6()eq f(o(AE,sup6()o(CF,sup6(),|o(AE,sup6()|o(CF,sup6()|)eq f(r(3),3).所以直線AE與直線CF所成角的余弦值為eq f(r(3),3).10.(2016全國(guó)卷)如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，平面ABEF為正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE與二面角CBEF都是60.(1)證明：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值.(1)證明由已知可得AFDF，AFEF，所以AF平面E

59、FDC.又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.(2)解過(guò)D作DGEF，垂足為G.由(1)知DG平面ABEF.以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq o(GF,sup6()的方向?yàn)閤軸正方向，|eq o(GF,sup6()|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Gxyz.由(1)知DFE為二面角DAFE的平面角，故DFE60，則|DF|2，|DG|eq r(3).可得A(1，4，0)，B(3，4，0)，E(3，0，0)，D(0，0，eq r(3).由已知得ABEF，所以AB平面EFDC.又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF.由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF為二面角CBEF的平

60、面角，CEF60.從而可得C(2，0，eq r(3).所以eq o(EC,sup6()(1，0，eq r(3)，eq o(EB,sup6()(0，4，0)，eq o(AC,sup6()(3，4，eq r(3)，eq o(AB,sup6()(4，0，0).設(shè)n(x，y，z)是平面BCE的法向量，則eq blc(avs4alco1(no(EC,sup6()0，,no(EB,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(xr(3)z0，,4y0，)所以可取n(3，0，eq r(3).設(shè)m是平面ABCD的法向量，則eq blc(avs4alco1(mo(AC,sup6()0，,mo(AB,su