中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專(zhuān)題：動(dòng)點(diǎn)路徑長(zhǎng)問(wèn)題的解法研究

1、類(lèi)動(dòng)點(diǎn)路徑長(zhǎng)問(wèn)題的解法研究 在近幾年的中考中頻頻出現(xiàn)由動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的求路徑長(zhǎng)問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題的難點(diǎn)在于從動(dòng)點(diǎn)(關(guān)聯(lián)點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)路徑不明確，而這正是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.本文通過(guò)一道典型題解法的探究，從中提煉模型，進(jìn)而給出這類(lèi)問(wèn)題的通用解法. 問(wèn)題 如圖1,己知線(xiàn)段，、是上兩點(diǎn)，且，是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn).在同側(cè)分別作等邊和等邊，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為 一、探究解法 1.準(zhǔn)確作圖 本題主動(dòng)點(diǎn)是，從動(dòng)點(diǎn)是。作圖要體現(xiàn)兩個(gè)方面，一方面要體現(xiàn)點(diǎn)的臨界位置(起點(diǎn)和終點(diǎn))；另一方面要體現(xiàn)點(diǎn)的一般位置，如圖2.點(diǎn)由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，點(diǎn)、即為P運(yùn)動(dòng)的臨界點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到、 在上任取一點(diǎn)，異于、，此時(shí)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到

2、 2.合理猜想 在同一張圖中畫(huà)出點(diǎn)的特殊位置、 ，一般位置，將不同的點(diǎn)位置連結(jié)起來(lái)，形成了對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的直觀化，容易猜想點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是一條線(xiàn)段.這一猜想是基于在同一張圖中畫(huà)出點(diǎn)的多個(gè)位置，每一個(gè)位置都要準(zhǔn)確無(wú)誤，這樣使得下一步的猜想更合理、更有價(jià)值，因此對(duì)作圖的要求很高. 3.嚴(yán)謹(jǐn)證明證法1 如圖3，過(guò)點(diǎn)分別作的垂線(xiàn)，垂足為。由梯形的中位線(xiàn)，得，由等邊三角形，得，而，所以因?yàn)辄c(diǎn)到的距離為定值，所以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為線(xiàn)段.如圖4，證法2 如圖5，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可知四邊形為平行四邊形。因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以為中點(diǎn)，所以的運(yùn)動(dòng)路徑為的中位線(xiàn)，易得 二、提煉模型 由上述第二種證法可知，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑之所以為的中位線(xiàn)

3、，關(guān)鍵在于始終是中點(diǎn)。由此可知只要/， /時(shí)，四邊形為平行四邊形，的運(yùn)動(dòng)路徑就是某個(gè)定三角形的中位線(xiàn). 建立模型1 如圖6，己知線(xiàn)段，、是上兩點(diǎn)，且，是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)。分別以、為邊在線(xiàn)段的同側(cè)作、，滿(mǎn)足，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則點(diǎn)由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為 建立模型2 如圖7，己知線(xiàn)段，、是上兩點(diǎn)，且，是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，分別以、為邊在線(xiàn)段的兩側(cè)作、，滿(mǎn)足，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則點(diǎn)由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為 分析如圖8，作點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的臨界位置(與、重合)，/ / ， /。由平行四邊形性質(zhì)，可得. 因?yàn)辄c(diǎn)是中點(diǎn)，可得，因此點(diǎn)移動(dòng)的路徑為線(xiàn)段. 過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)，交于點(diǎn)，則.在中，因此點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為特別

4、地，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為 三、變式訓(xùn)練 1.如圖9，點(diǎn)、在線(xiàn)段上，且，C是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)。分別以、為斜邊在線(xiàn)段的同側(cè)作直角和直角，使，連結(jié)。設(shè)中點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的移動(dòng)路徑長(zhǎng)是 簡(jiǎn)析 由題意可知/ ， / ，對(duì)應(yīng)模型1，點(diǎn)的移動(dòng)路徑長(zhǎng)是2. 5. 2.如圖10，已知線(xiàn)段，、是上兩點(diǎn)，且，是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，在同側(cè)分別以和為直徑作半圓，點(diǎn)、分別為以和為直徑所作半圓的弧的中點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為 . 簡(jiǎn)析 如圖11，連結(jié)，由為半圓弧的中點(diǎn)，可得/，/，對(duì)應(yīng)圖7所示模型，點(diǎn)移動(dòng)路徑的長(zhǎng)是2. 3.如圖12，四邊形是邊長(zhǎng)為6的正方形，點(diǎn)、在邊上，且，點(diǎn)

5、是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，分別以為邊在線(xiàn)段的同側(cè)作正方形和正方形，、分別為的中點(diǎn)，連結(jié).設(shè)的中點(diǎn)為，則當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)移動(dòng)路徑的長(zhǎng)是 . 簡(jiǎn)析 如圖13，連結(jié)，可得/ ， / .對(duì)應(yīng)圖7所示模型，點(diǎn)移動(dòng)路徑的長(zhǎng)是=2. 4.如圖14，點(diǎn)，在線(xiàn)段上，且，是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，分別以為邊在線(xiàn)段的同側(cè)作正方形和正方形，點(diǎn)是這兩個(gè)正方形的中心，連結(jié).設(shè)的中點(diǎn)為，則當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)移動(dòng)路徑的長(zhǎng)是 . 簡(jiǎn)析 如圖15，連結(jié)，可得/ ，/ .對(duì)應(yīng)圖7所示模型，點(diǎn)移動(dòng)路徑的長(zhǎng)是3. 5.如圖16，點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，分別以為為邊向上、向下作正方形和正方形，設(shè)正方形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)分別為,當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，線(xiàn)段中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是 . 簡(jiǎn)析 如圖17 ，和直角在AB的兩側(cè)，.對(duì)應(yīng)模型2，畫(huà)出如圖所示的圖形，的