數(shù)學(xué)、心理與數(shù)學(xué)教學(xué)課件

1、數(shù)學(xué)、心理與數(shù)學(xué)教學(xué)首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院連四清9/13/202211 數(shù)學(xué)教育系統(tǒng)學(xué)習(xí)氛圍學(xué)習(xí)材料學(xué)習(xí)條件 學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)知識(shí)基礎(chǔ)能力基礎(chǔ)學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)習(xí)慣記憶能力學(xué)生內(nèi)因外因教師數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境數(shù)學(xué)能力教學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)知識(shí)性格特征抽象性嚴(yán)謹(jǐn)性嚴(yán)謹(jǐn)性復(fù)雜性9/13/202222 數(shù)學(xué)是什么？恩格斯曾經(jīng)概括為：“純數(shù)學(xué)的研究對象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系?！?數(shù)學(xué)是文化，技術(shù)、是科學(xué)。數(shù)學(xué)是模式等。9/13/20223美國國家研究委員會(huì)在1989年發(fā)表的致全國公民的一份關(guān)于數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀與前景的報(bào)告（Everybody Counts: A Report to the Nation on the Futur

2、e of Mathematics Education)。這份報(bào)告調(diào)查了美國從幼兒園到研究生階段的數(shù)學(xué)教育狀況，分析了美國數(shù)學(xué)教育的各個(gè)方面，報(bào)告指出了當(dāng)時(shí)美國數(shù)學(xué)教育中存在的問題。大力呼吁進(jìn)行數(shù)學(xué)教育改革，從根本上提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平。雖然這份報(bào)告至今也有近二十年了，但是其中的一些觀點(diǎn)還被我國的很多學(xué)者所應(yīng)用。9/13/20224這份報(bào)告中對數(shù)學(xué)的描述數(shù)學(xué)已經(jīng)遠(yuǎn)不止是算術(shù)和幾何，而是一門豐富多彩的學(xué)科了?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)所處理的是科學(xué)中的數(shù)據(jù)、測量和觀測資料；是推斷、演繹、證明；是自然現(xiàn)象、社會(huì)行為、社會(huì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)是模式和秩序的科學(xué)，數(shù)學(xué)的領(lǐng)域不是分子、細(xì)胞，而是數(shù)、機(jī)會(huì)、形狀、算法和變化。作

3、為研究抽象對象的科學(xué)，數(shù)學(xué)依靠邏輯而不是觀測結(jié)果作為其真理的標(biāo)準(zhǔn)，但是數(shù)學(xué)也適用觀測、模擬甚至實(shí)驗(yàn)作為發(fā)現(xiàn)真理的根據(jù)。9/13/20225應(yīng)用這些思考問題方式的經(jīng)驗(yàn)構(gòu)成了數(shù)學(xué)能力在當(dāng)今這個(gè)技術(shù)時(shí)代日益重要的一種智力，它使人們能夠批判地閱讀，能識(shí)別謬誤，能深察偏見、能估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)，能提出變通方法，數(shù)學(xué)能使我們更好地了解我們生活在其中的充滿信息的世界。9/13/20227例1 xxyyy5510y=1059/13/20228例2 分析 由于不知道開始時(shí)4枚棋子的顏色及其排列，所以按照題意操作，情形比較復(fù)雜。因此，我們可以考慮用一種數(shù)學(xué)符號(hào)或關(guān)系來表示這種操作，這樣就有可能獲得問題的解決。 考慮到操作程

4、序中的棋子的顏色（黑白兩色），同色中間放黑子，異色取白。 你們想到什么？9/13/202210數(shù)學(xué)表達(dá)（mathematics representation)從上述題目，我們可以看到數(shù)學(xué)表達(dá)的價(jià)值所在。簡化信息之間的關(guān)系，易于發(fā)現(xiàn)探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律。思考：從數(shù)學(xué)表達(dá)的角度講，除一些數(shù)學(xué)概念、定理或性質(zhì)的教學(xué)除了教授知識(shí)之外，數(shù)學(xué)教師還要從數(shù)學(xué)的本質(zhì)來分析數(shù)學(xué)內(nèi)容本身具有的價(jià)值。9/13/202211數(shù)學(xué)不應(yīng)是過濾器，而應(yīng)是泵在我國的數(shù)學(xué)課堂里盛行一種效率極低的教學(xué)模式，教師毫無生氣的講解與學(xué)生廖然無趣的聽講。對于大多數(shù)學(xué)生來講，從事教學(xué)主要是一種被動(dòng)的行動(dòng)：教師寫黑板、學(xué)生抄筆記、學(xué)生以機(jī)械的、模

5、仿的方式對待講義、練習(xí)冊、家庭作業(yè)，所有學(xué)過的東西很快忘得一干二凈。雖然例題講解和死記硬背有時(shí)也能幫助提高學(xué)生的標(biāo)準(zhǔn)化考試成績，但對于高層思維、分析問題和解決問題能力的提高，通常的效果平平。我們的老師、學(xué)生處于極其疲憊的狀態(tài)之中，我們的數(shù)學(xué)教育處于一個(gè)惡性循環(huán)之中。9/13/202212數(shù)學(xué)提供了普遍適用并且強(qiáng)有力的思考方式不僅表現(xiàn)在實(shí)際問題的解決中：如經(jīng)典問題“哥尼斯堡七橋問題”，歐拉用抽象成一筆畫問題而奠定了圖論分支的發(fā)展。9/13/202214數(shù)學(xué)思維初始的概略性實(shí)際上，在解決問題中，人們常?；貟侀_問題的某些方法或部分，而抓住一些主要結(jié)構(gòu)。即把問題抽象成較簡單的形式，然后先解決這個(gè)簡單的

6、問題，然后利用這個(gè)解答來幫助或指導(dǎo)更復(fù)雜的整個(gè)問題的解決。概略性特點(diǎn)。一位專家的故事、蹩腳的畫家9/13/2022159/13/2022173 數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)與數(shù)學(xué)教學(xué)3.1代數(shù)的本質(zhì)代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運(yùn)算，即加、減、乘、除、乘方和開方運(yùn)算等。所有能夠用代數(shù)運(yùn)算加以表達(dá)的問題稱之為代數(shù)問題。代數(shù)學(xué)這門學(xué)問所要討論的問題是如何有效、系統(tǒng)地解決各種各樣的代數(shù)問題。9/13/202218為了解決這個(gè)問題，我們簡要地回顧一下數(shù)系擴(kuò)充過程。小學(xué)、初中和高中數(shù)學(xué)課程中，逐步漸進(jìn)地學(xué)習(xí)逐級(jí)擴(kuò)充的數(shù)系運(yùn)算：最原始的自然數(shù)系N起始，到整數(shù)系Z,再到有理數(shù)Q，然后到實(shí)數(shù)系R，再到高中的復(fù)數(shù)系C。問題：每一次擴(kuò)充

7、究竟添加了哪一類“新數(shù)”，所引進(jìn)的新數(shù)的運(yùn)算又是如何歸結(jié)到原有數(shù)的運(yùn)算來加以定義的？9/13/2022193.1.1. 數(shù)字的認(rèn)識(shí)3.1.1.1自然數(shù)自然數(shù)系是我們用來數(shù) “個(gè)數(shù)” 的數(shù)學(xué)工具（mathematical toll for counting),它的本質(zhì)就是一個(gè)順序排列的體系，其起始者為1，往后順序地“后者”就是“前者”多加1個(gè)，也即 2=1+1，3=2+1，4=3+1，5=4+1， . 如此逐個(gè)加1以致于無窮。自然數(shù)系最原始的根本的結(jié)構(gòu)就是“+1”，任何自然數(shù)都可以由1起始，逐步+1而達(dá)到它。上述對自然數(shù)的描述就是數(shù)學(xué)歸納法原理。9/13/202220認(rèn)清上述自然數(shù)的出發(fā)點(diǎn)，就不

8、難看出加法、乘法和乘法的本質(zhì)了.歸納定義：加法是“+1”的復(fù)合：a+(n+1)=(a+n)+1乘法是自相加的縮寫：1a=a,2a=a+a, ; 即(n+1) a=na+a乘方是自相乘的縮寫；a(n+1)=ana9/13/202221運(yùn)算律證明：就是用一些事物的正確性去說明其他一些事物的正確性。由此，我們可以歸納證明加法交換律、加法結(jié)合律，分配律9/13/202222總之，自然數(shù)系的加、乘和乘方運(yùn)算都是由最原始的“+1”運(yùn)算，逐步復(fù)合得到的，三個(gè)運(yùn)算律也是可以由以歸納定義為出發(fā)點(diǎn)，用數(shù)學(xué)歸納法證明的，這樣我們就建立起了代數(shù)的基礎(chǔ)。9/13/202224有了這些運(yùn)算律，我們才能系統(tǒng)地解決自然數(shù)的加

9、法問題。問題：對2+3+4+5進(jìn)行運(yùn)算需要用到哪些運(yùn)算律？9/13/202225存在0,使得a+0=a；對任意給定的a都有一個(gè)確定的b使得a+b=0，這樣唯一確定的b叫做a的相反數(shù)，記作b；定義：ab=a+(b).任給a,b,cZ，有: (1)a+b Z； (2)a+b=b+a； (3)(a+b)+c=a+(b+c)； (4) (a+b)c=ac+bc9/13/202227由此可以證明：(n)a=(na), 因?yàn)?(na)+(n)a=(a+a+a)+(a)+(a)+(a) =(a+a)+a+(a)+(a)+(a)=0 以下法則可以證明： a0=0， 1 (1)=1，(1)(1)=19/13/2

10、02228 證明： a+a0=a1+a0=a (0+1)=a1=a, 所以, a0=0 1 (1)+1=1 (1)+11=1 (1)+1=10=0, 所以, 1 (1)=1 因?yàn)?1) (1)+(1)=(1) (1)+1 (1) =(1) (1)+1=(1) 0=0 所以(1)(1)=1.9/13/202229當(dāng)然，當(dāng)然在實(shí)際教學(xué)中我們不必如此嚴(yán)格，只要告訴學(xué)生記住運(yùn)算律即可，而不是背出口訣“負(fù)負(fù)得正”、“乘負(fù)數(shù)括號(hào)內(nèi)變號(hào)” .9/13/2022303.1.1.3 有理數(shù)和無理數(shù)整數(shù)集合對于乘法是封閉的，但對乘法的逆運(yùn)算除法卻不封閉，除法可以說來自物質(zhì)的分配，但其本質(zhì)是尋求ax=b的解，其實(shí)是

11、a的乘法逆元素的問題。 由此可以定義新數(shù)的運(yùn)算： 9/13/2022313.1.2 運(yùn)算律的應(yīng)用我們回過頭來看自然數(shù)的那些看似簡單的運(yùn)算律究竟有什么大用處，其實(shí)運(yùn)算律是整個(gè)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)！當(dāng)我們回顧這些數(shù)學(xué)的精要而簡樸的內(nèi)容時(shí)，我們才會(huì)知道什么是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，什么才是我們在教學(xué)中要堅(jiān)持的原則。9/13/2022329/13/202233由于對于任意數(shù)，運(yùn)算律普遍成立，所以對于上述的未知數(shù)，我們可以應(yīng)用運(yùn)算律，進(jìn)行方程中的去括號(hào)，合并同類項(xiàng)的操作。從數(shù)系擴(kuò)充，和解方程可以看出，運(yùn)算律是代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是代數(shù)學(xué)的根本。即我們可以應(yīng)用運(yùn)算律系統(tǒng)地解決代數(shù)問題?！胺峙渎傻哪嬗谩?、新石器時(shí)代（項(xiàng)武義）9/1

12、3/202234歸納法歸納定義，運(yùn)算律的歸納證明；代數(shù)學(xué)所研討的數(shù)系結(jié)構(gòu)和各種公式，它們的本質(zhì)是逐步歸納、構(gòu)造得到的，它們的直觀性比之幾何就相去甚遠(yuǎn)了。代數(shù)學(xué)中的公式和定理絕大部分都是用歸納法由低次到高次，由一元，二元到高元逐步歸納而發(fā)現(xiàn)的，然后再用歸納論證去確認(rèn)其正確性。因此歸納是代數(shù)學(xué)的基本方法：歸納地探索、發(fā)現(xiàn)、歸納定義和歸納地證明。9/13/2022353.2幾何本質(zhì)及其研究方法幾何學(xué)的課題就是研究、理解空間的本質(zhì)，它是我們研究大自然、理解大自然的起點(diǎn)和基石所在。幾何的基礎(chǔ)是空間的空間的基本結(jié)構(gòu)和基本性質(zhì)。點(diǎn)、聯(lián)結(jié)兩點(diǎn)之間的直線段和直線，平面是空間的基本結(jié)構(gòu)。三角形是僅次于直線段和直線

13、的基本幾何圖形，而空間的部分性質(zhì)都已經(jīng)在三角形的幾何性質(zhì)中得到充分體現(xiàn)。三角形之所以成為古希臘幾何學(xué)所研究的主角，其原因也就是：三角形既簡單而又充分地反映空間的本質(zhì)?？臻g基本性質(zhì)：連結(jié)、分隔、對稱性、平行性和連續(xù)性。9/13/202236幾何研究的基本方法自古到今，幾何學(xué)的研究在方法論上大體上可以劃分為以下幾個(gè)階段：實(shí)驗(yàn)幾何：用歸納實(shí)驗(yàn)去發(fā)現(xiàn)空間之本質(zhì)。推理幾何：以實(shí)驗(yàn)幾何之所得為基礎(chǔ)，該用演繹法，以邏輯推理探索新知，并對于已知的各種各樣的空間本質(zhì)，精益求精地作系統(tǒng)化和深刻的分析。在這方面，古希臘文明獲得了輝煌的成就，它也是全人類理性文明中的重要成就。9/13/202237坐標(biāo)幾何：笛卡爾（D

14、escartes）和費(fèi)爾馬（Fermat）通過坐標(biāo)系的建立，把當(dāng)代數(shù)學(xué)中的兩大主角幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)簡明有力地結(jié)合起來，開創(chuàng)了近代數(shù)學(xué)的先河，其自然而然的結(jié)果是微積分的產(chǎn)生和大量應(yīng)用解析法研究自然現(xiàn)象。9/13/202238向量幾何：向量幾何在本質(zhì)上是坐標(biāo)解析幾何的返璞歸真。向量幾何是不依賴坐標(biāo)系的解析幾何（Coordinate-free analytical geometry），它自然而然地化解了原先解析幾何中，由于坐標(biāo)系的選取所引入的各種各樣的不變量的困擾！9/13/2022394 認(rèn)知心理與數(shù)學(xué)4.1 工作記憶（working Memory)一次課堂上的親身經(jīng)歷!按照字母順序背26個(gè)英文字母

15、，但是要是要求倒序背26個(gè)字母，結(jié)果會(huì)如何？嘗試一下。這種類似的任務(wù)有很多。如倒說一句話的游戲。掌握去括號(hào)法則的情況下，為什么一些學(xué)生在去掉含有多個(gè)單項(xiàng)式的括號(hào)的過程中會(huì)忘掉變號(hào)？9/13/202240工作記憶與短時(shí)記憶不同，工作記憶是一種在加工信息的同時(shí)保持信息的心理工作資源或平臺(tái)。9/13/202241不用紙筆給出下列算式的答案9/13/202242工作記憶的特點(diǎn)工作記憶最大限制是它的容量.即工作記憶可以同時(shí)處理59個(gè)信息組塊 (Miller, 1956).工作記憶系統(tǒng)的信息保持的短暫性（通常為2至3秒。如果信息的不到及時(shí)的保持，那么信息會(huì)很快消失。9/13/202243認(rèn)知負(fù)荷（Cogn

16、itive Load）任何一項(xiàng)任務(wù)都要求工作記憶系統(tǒng)處理信息，同時(shí)又要保持住某些信息。Sweller與他的同事們將處理信息和保持信息的總量稱為心理活動(dòng)總量，這一總量稱為認(rèn)知負(fù)荷。9/13/202244影響認(rèn)知負(fù)荷大小的因素：元素之間關(guān)系的同時(shí)性9/13/202245數(shù)學(xué)為什么難學(xué)？研究表明：數(shù)學(xué)知識(shí)通常包含多種基本元素，而且這些基本元素又同時(shí)存在多種關(guān)系。即使是簡單的數(shù)學(xué)公式也是如此。平方差公式應(yīng)用的條件是“一個(gè)數(shù)學(xué)式子是兩個(gè)數(shù)（或式）的和與這兩個(gè)數(shù)（或式）差的積”，符號(hào)表達(dá)式為“(a+b)(a-b)”。9/13/202246平方差公式這種關(guān)系中至少包含三層關(guān)系：第一，它首先是一個(gè)積；第二，這個(gè)積是一個(gè)和與差的積；第三，和式中的被加數(shù)與差式中的被減數(shù)相同，同時(shí)和式中的加數(shù)與差式中的減數(shù)相同（如右圖所示）。在公式適用性判斷中，上述的三種關(guān)系必須同時(shí)滿足。差：ab積:(a+b)(a-b)和：abab 平方差公式符號(hào)之間的關(guān)系9/13/202247對數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行認(rèn)知負(fù)荷分析，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，多數(shù)數(shù)學(xué)知識(shí)都存在類似的特點(diǎn)。即多個(gè)元素和多個(gè)關(guān)系并存。這說明：數(shù)學(xué)知識(shí)具有較大的認(rèn)知負(fù)荷。這也是為什么數(shù)學(xué)難學(xué)的一個(gè)重要原因。9/13/202248現(xiàn)象解釋去括號(hào)忘變號(hào)？去絕對值忘討論？通分過程中分子忘乘一個(gè)數(shù)或式？9/13/2022494.2 知識(shí)的范疇概念性知識(shí)：what is i