最新高考數(shù)學(xué)新增分大一輪新高考：第十一章-11.2-用樣本估計(jì)總體

1、11.2用樣本估計(jì)總體最新考綱1.通過實(shí)例體會分布的意義和作用，在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中，學(xué)會列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會它們各自的特點(diǎn).2.通過實(shí)例理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差.3.能根據(jù)實(shí)際問題的需求合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取根本的數(shù)字特征(如平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差)，并作出合理的解釋.4.在解決統(tǒng)計(jì)問題的過程中，進(jìn)一步體會用樣本估計(jì)總體的思想，會用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會用樣本的根本數(shù)字特征估計(jì)總體的根本數(shù)字特征，初步體會樣本頻率分布和數(shù)字特征的隨機(jī)性.5.會用隨機(jī)抽樣的根本方法和樣本估計(jì)總體的思想，解決一些簡單的實(shí)際問題，能通過對數(shù)據(jù)

2、的分析為合理的決策提供一些依據(jù)，認(rèn)識統(tǒng)計(jì)的作用，體會統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異.6.形成對數(shù)據(jù)處理過程進(jìn)行初步評價(jià)的意識1作頻率分布直方圖的步驟(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)(2)決定組距與組數(shù)(3)將數(shù)據(jù)分組(4)列頻率分布表(5)畫頻率分布直方圖2頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線3莖葉圖統(tǒng)計(jì)中還有一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)

3、，葉就是從莖的旁邊生長出來的數(shù)4眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)數(shù)字特征概念優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)眾數(shù)通常用于描述變量的值出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)但顯然它對其他數(shù)據(jù)信息的無視使它無法客觀地反映總體特征中位數(shù)把一組數(shù)據(jù)按從小到大順序排列，處在中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))中位數(shù)等分樣本數(shù)據(jù)所占頻率，它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對極端值的不敏感有時(shí)也會成為缺點(diǎn)平均數(shù)如果有n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，xn，那么這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)eq xto(x)eq f(x1x2xn,n)平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較

4、大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低5.標(biāo)準(zhǔn)差和方差(1)標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離(2)標(biāo)準(zhǔn)差：s eq r(f(1,n)x1xto(x)2x2xto(x)2xnxto(x)2).(3)方差：s2eq f(1,n)(x1eq xto(x)2(x2eq xto(x)2(xneq xto(x)2(xn是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，eq xto(x)是樣本平均數(shù))概念方法微思考1在頻率分布直方圖中如何確定中位數(shù)？提示在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積是相等的2平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與方差反映了數(shù)據(jù)的哪些特征？提示平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標(biāo)準(zhǔn)差、方差反映了數(shù)據(jù)對平均數(shù)的波動(dòng)情況

5、，即標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；反之離散程度越小，越穩(wěn)定題組一思考辨析1判斷以下結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉盎颉?(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢()(2)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個(gè)或幾個(gè)，那么中位數(shù)也具有相同的結(jié)論()(3)從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了()(4)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)?，右?cè)的葉按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次()(5)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是眾數(shù)()(6)在頻率分布直方圖中，眾數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的()

6、題組二教材改編2一個(gè)容量為32的樣本，某組樣本的頻率為0.25，那么該組樣本的頻數(shù)為()A4 B8 C12 D16答案B解析設(shè)頻數(shù)為n，那么eq f(n,32)0.25，n32eq f(1,4)8.3.假設(shè)某校高一年級8個(gè)班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，那么這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()A91.5和91.5 B91.5和92C91和91.5 D92和92答案A解析這組數(shù)據(jù)由小到大排列為87,89,90,91,92,93,94,96，中位數(shù)是eq f(9192,2)91.5，平均數(shù)eq xto(x)eq f(8789909192939496,8)91.5.4如圖是100位居民月均用水量的頻

7、率分布直方圖，那么月均用水量為2,2.5)范圍內(nèi)的居民有_人答案25解析0.50.510025.題組三易錯(cuò)自糾5的平均數(shù)和方差分別為()A5,2 B16,2C16,18 D16,9答案C解析x1，x2，x3，xn的平均數(shù)為5，eq f(x1x2x3xn,n)5，eq f(3x13x23x33xn,n)135116，x1，x2，x3，xn的方差為2，3x11,3x21,3x31，3xn1的方差是32218.6為了普及環(huán)保知識，增強(qiáng)環(huán)保意識，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試，得分(十分制)如下圖，假設(shè)得分的中位數(shù)為m，眾數(shù)為n，平均數(shù)為eq xto(x)，那么m，n，eq xto(x)的大

8、小關(guān)系為_(用“連接)答案nmeq xto(x)解析由圖可知，30名學(xué)生得分的中位數(shù)為第15個(gè)數(shù)和第16個(gè)數(shù)(分別為5,6)的平均數(shù)，即m5.5；又5出現(xiàn)次數(shù)最多，故n5；eq xto(x)eq f(233410566372829210,30)5.97.故nmeq xto(x)乙，seq oal(2,甲)seq oal(2,乙)，所以甲組的研發(fā)水平優(yōu)于乙組(2)記恰有一組研發(fā)成功為事件E，在所抽得的15個(gè)結(jié)果中，恰有一組研發(fā)成功的結(jié)果是(a，eq xto(b)，(eq xto(a)，b)，(a，eq xto(b)，(eq xto(a)，b)，(a，eq xto(b)，(a，eq xto(b)，

9、(eq xto(a)，b)，共7個(gè)因此事件E發(fā)生的頻率為eq f(7,15).用頻率估計(jì)概率，即得所求概率為P(E)eq f(7,15).1某教育局為了解“跑團(tuán)每月跑步的平均里程，收集并整理了2023年1月至2023年11月期間“跑團(tuán)每月跑步的平均里程(單位：公里)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖根據(jù)折線圖，以下結(jié)論正確的是()A月跑步平均里程的中位數(shù)為6月份對應(yīng)的里程數(shù)B月跑步平均里程逐月增加C月跑步平均里程頂峰期大致在8,9月D1月至5月的月跑步平均里程相對于6月至11月，波動(dòng)性更小，變化比擬平穩(wěn)答案D解析由折線圖知，月跑步平均里程的中位數(shù)為5月份對應(yīng)的里程數(shù)；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑

10、步平均里程頂峰期大致在9,10月份，故A，B，C錯(cuò)2.如圖是某樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖，那么該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是()A323432B334535C344532D333635答案B解析從莖葉圖中知共16個(gè)數(shù)據(jù)，按照從小到大排序后中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)為32,34，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為33；45出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為45；最大值是47，最小值是12，故極差是35.3從某中學(xué)甲、乙兩班各隨機(jī)抽取10名同學(xué)，測量他們的身高(單位：cm)，所得數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如下，由此可估計(jì)甲、乙兩班同學(xué)的身高情況，那么以下結(jié)論正確的是()A甲班同學(xué)身高的方差較大B甲班同學(xué)身高的平均值較大C甲班同學(xué)身高的中

11、位數(shù)較大D甲班同學(xué)身高在175 cm以上的人數(shù)較多答案A解析逐一考查所給的選項(xiàng)：觀察莖葉圖可知甲班同學(xué)數(shù)據(jù)波動(dòng)大，那么甲班同學(xué)身高的方差較大，A選項(xiàng)正確；甲班同學(xué)身高的平均值為eq f(181182170172178163165166157158,10)169.2，乙班同學(xué)身高的平均值為：eq f(182171172176178179162164167159,10)171，那么乙班同學(xué)身高的平均值大，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；甲班同學(xué)身高的中位數(shù)為eq f(166170,2)168，乙班同學(xué)身高的中位數(shù)為eq f(171172,2)171.5，那么乙班同學(xué)身高的中位數(shù)大，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；甲班同學(xué)身高在175 c

12、m以上的人數(shù)為3人，乙班同學(xué)身高在175 cm以上的人數(shù)為4人，那么乙班同學(xué)身高在175 cm以上的人數(shù)多，D選項(xiàng)錯(cuò)誤4為了解學(xué)生在課外活動(dòng)方面的支出情況，抽取了n個(gè)同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果顯示這些學(xué)生的支出金額(單位：元)都在10,50內(nèi)，其中支出金額在30,50內(nèi)的學(xué)生有117人，頻率分布直方圖如下圖，那么n等于()A180 B160 C150 D200答案A解析30,50對應(yīng)的概率為1eq blc(rc)(avs4alco1(0.010.025)100.65，所以neq f(117,0.65)180.5某工廠對一批新產(chǎn)品的長度(單位：mm)進(jìn)行檢測，如圖是檢測結(jié)果的頻率分布直方圖，據(jù)此估計(jì)這批

13、產(chǎn)品的中位數(shù)為()A20 B25 C22.5 D22.75答案C解析產(chǎn)品的中位數(shù)出現(xiàn)在頻率是0.5的地方自左至右各小矩形的面積依次為0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，設(shè)中位數(shù)是x，那么由0.10.20.08(x20)0.5，得x22.5，應(yīng)選C.6北京市2023年12個(gè)月的PM2.5平均濃度指數(shù)如下圖由圖判斷，四個(gè)季度中PM2.5的平均濃度指數(shù)方差最小的是()A第一季度 B第二季度C第三季度 D第四季度答案B解析從題設(shè)中提供的圖象及數(shù)據(jù)分析可以看出：第二季度的三個(gè)月中PM2.5的平均濃度指數(shù)較為平緩，差異不大較為整齊，因此其方差最小，應(yīng)選B.7樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)eq x

14、to(x)5，那么樣本數(shù)據(jù)2x11,2x21，2xn1的平均數(shù)為_答案11解析由x1，x2，xn的平均數(shù)eq xto(x)5，得2x11,2x21，2xn1的平均數(shù)為2eq xto(x)125111.8從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取1 000件，測量該種產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得到如下圖的頻率分布直方圖，假設(shè)這項(xiàng)指標(biāo)在185,215內(nèi)，那么這項(xiàng)指標(biāo)合格，估計(jì)該企業(yè)這種產(chǎn)品在這項(xiàng)指標(biāo)上的合格率為_答案0.79解析這種指標(biāo)值在185,215內(nèi)，那么這項(xiàng)指標(biāo)合格，由頻率分布直方圖得到這種指標(biāo)值在185,215內(nèi)的頻率為(0.0220.0330.024)100.79，所以估計(jì)該企業(yè)這種產(chǎn)品在這項(xiàng)指標(biāo)

15、上的合格率為0.79.9從甲、乙、丙三個(gè)廠家生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品中抽取8件產(chǎn)品，對其使用壽命(單位：年)進(jìn)行追蹤調(diào)查的結(jié)果如下：甲：3,4,5,6,8,8,8,10；乙：4,6,6,6,8,9,12,13；丙：3,3,4,7,9,10,11,12.三個(gè)廠家廣告中都稱該產(chǎn)品的使用壽命是8年，請根據(jù)結(jié)果判斷廠家在廣告中分別運(yùn)用了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)中的哪一種集中趨勢的特征數(shù)甲：_；乙：_；丙：_.答案眾數(shù)平均數(shù)中位數(shù)解析甲的眾數(shù)為8，乙的平均數(shù)為8，丙的中位數(shù)為8.10某校女子籃球隊(duì)7名運(yùn)發(fā)動(dòng)身高(單位：cm)分布的莖葉圖如圖，記錄的平均身高為175 cm，但記錄中有一名運(yùn)發(fā)動(dòng)身高的末位數(shù)字不清晰，如

16、果把其末位數(shù)字記為x，那么x的值為_答案2解析170eq f(1,7)(12x451011)175，eq f(1,7)(33x)5，即33x35，解得x2.11某市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每人月用水量中不超過w立方米的局部按4元/立方米收費(fèi)，超出w立方米的局部按10元/立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)查了10 000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：(1)如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價(jià)格為4元/立方米，w至少定為多少？(2)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替，當(dāng)w3時(shí)，估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi)解(1)如題圖所示，用水量在0.5,

17、2)的頻率的和為(0.20.30.4)0.50.45，用水量在0.5,3)的頻率的和為(0.20.30.40.50.3)0.50.85.用水量小于等于2立方米的頻率為0.45，用水量小于等于3立方米的頻率為0.85，又w為整數(shù)，為使80%以上的居民在該月的用水價(jià)格為4元/立方米，w至少定為3.(2)當(dāng)w3時(shí)，該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為0.05(4.53)107.21.81.510.5(元)即當(dāng)w3時(shí)，該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為10.5元12某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶，根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分，得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用

18、戶滿意度評分的頻數(shù)分布表A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖圖B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表滿意度評分分組50,60)60,70)70,80)80,90)90,100頻數(shù)2814106(1)在圖中作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比擬兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可)；B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖圖(2)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度分為三個(gè)等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意估計(jì)哪個(gè)地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由解(1)作出頻率分布直方圖如圖：通過兩地區(qū)用戶滿意度

19、評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；B地區(qū)用戶滿意度評分比擬集中，而A地區(qū)用戶滿意度評分比擬分散(2)A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大記CA表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意；CB表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意由直方圖得P(CA)的估計(jì)值為(0.010.020.03)100.6，P(CB)的估計(jì)值為(0.0050.02)100.25.所以A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大13(2023全國)為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，xn，下面給出的指標(biāo)中可以

20、用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()Ax1，x2，xn的平均數(shù) Bx1，x2，xn的標(biāo)準(zhǔn)差Cx1，x2，xn的最大值 Dx1，x2，xn的中位數(shù)答案B解析因?yàn)榭梢杂脴O差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述數(shù)據(jù)的離散程度，所以要評估畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度，應(yīng)該用樣本數(shù)據(jù)的極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)選B.14共享單車入住泉州一周年以來，因其“綠色出行，低碳環(huán)保的理念而備受人們的喜愛，值此周年之際，某機(jī)構(gòu)為了了解共享單車使用者的年齡段，使用頻率、滿意度等三個(gè)方面的信息，在全市范圍內(nèi)發(fā)放5 000份調(diào)查問卷，回收到有效問卷3 125份，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取80份，分別對使用者的年齡段、2635歲使用者的使用頻率、2635歲使用者的滿

21、意度進(jìn)行匯總，得到如下三個(gè)表格：表(一)使用者年齡段25歲以下26歲35歲36歲45歲45歲以上人數(shù)20401010表(二)使用頻率06次/月714次/月1522次/月2331次/月人數(shù)510205表(三)滿意度非常滿意(910)滿意(89)一般(78)不滿意(67)人數(shù)1510105(1)依據(jù)上述表格完成以下三個(gè)統(tǒng)計(jì)圖形：(2)某城區(qū)現(xiàn)有常住人口30萬，請用樣本估計(jì)總體的思想，試估計(jì)年齡在26歲35歲之間，每月使用共享單車在714次的人數(shù)解(1)(2)由表(一)可知：年齡在26歲35歲之間的有40人，占總抽取人數(shù)的一半，用樣本估計(jì)總體的思想可知，某城區(qū)30萬人口中年齡在26歲35歲之間的約有30eq f(1,2)15(萬人)；又年齡在26歲35歲之間每月使用共享單車在714次之間的有10人，占總抽取人數(shù)的eq f(1,4)，次之間的約有15eq f(1,4)eq f(15,4)(萬人)，所以年齡在26歲