數(shù)學空間幾何體的體積

1、空間幾何體的體積OSABCDE幾個重要的直角三角形1.RtSBO：由高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面的射影組成2.RtSMO：由高、斜高和斜高在底面的射影組成3.RtOMB：由底面中心O與底邊中點M連線，與半條底邊MB，還有中心與底面頂點連線組成4.RtSMB：由斜高、側(cè)棱、半條底邊組成MSABCD1. 已知：正四棱錐SABCD中，底面 邊長為2，斜高為2 。 求：（1）側(cè)棱長； （2）棱錐的高；（3）側(cè)棱與底所成的角的正切值；（4）側(cè)面與底面所成的角；OSBM對一般的正棱錐*都有四個基本的直角三角形：RtSBO、RtSMO、RtOMB、RtSMB；*都存在一個基本的小三棱錐OSABDEM涉及到正三棱錐的

2、相關(guān)量：1.線：2.角：側(cè)棱與底面所成的線面角SBO、側(cè)面與底面所成的二面角SMO性質(zhì)：對正棱錐，有：各條側(cè)棱與底面所成的角相等各個側(cè)面與底面所成的角相等hhrRa/2高h、斜高h、底半徑R、邊心距r 、邊長的一半a/2側(cè)棱b、b體積問題常用體積公式常用體積公式abcV長方體= a b c 取一摞書放在桌面上，并改變它們的位置，觀察改變前后的體積是否發(fā)生變化？問題:一般柱體的體積高度、書中每頁紙面積和順序不變實驗猜想：2.3、祖暅原理2.2、作圖驗證 兩等高的幾何體,若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等 2.4、柱的體積shSS底面積相等，高也相等的柱體的體積也相等。V

3、柱體=sh3.1錐體（棱錐、圓錐）的體積 （底面積S，高h） 注意：三棱錐的頂點和底面可以根據(jù)需要變換，四面體的每一個面都可以作為底面，可以用來求點到面的距離問題:錐體(棱錐、圓錐）的體積 類似的,底面積相等,高也相等的兩個錐體的體積也相等.V錐體=S為底面積,h為高.ss3.2等底面積等高的錐體的體積有何關(guān)系?ss/ss/hxV臺體=上下底面積分別是s/,s,高是h，則問題4:臺體(棱錐、圓錐）的體積V臺體=V柱體=shV錐體=ss/ss/sS/=0S=S問題5:柱、錐、臺的體積關(guān)系（2）柱、錐、臺體積的計算公式及它們之間的聯(lián)系(1)體積度量的基本思路：長方體體積公式是計算其他幾何體體積的基

4、礎(chǔ).問題6:回顧反思長方體正方體臺體。柱體錐體即特殊到一般的數(shù)學思想。RR球的體積：一個半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個以上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐后，所得的幾何體的體積與一個半徑為R的半球的體積相等。探究RR例： 如圖是一個獎杯的三視圖,單位是cm，試畫出它的直觀圖，并計算這個獎杯的體積.(精確到0.01cm)86618515151111x/y/z/這個獎杯的體積為V=V正四棱臺+V長方體+ V球 其中V正四棱臺V正方體=6818=864V球=所以這個獎杯的體積為V=1828.76cm3s常用體積公式常用體積公式hV棱柱= hs底V棱柱= ls直斜三棱柱ABC-ABC的側(cè)面BBCC

5、的面積為S，AA到此側(cè)面的距離是a，求此三棱柱的體積？ABCABC斜三棱柱ABC-ABC的側(cè)面BBCC的面積為S，AA到此側(cè)面的距離是a，求此三棱柱的體積？ABCABC常用體積公式常用體積公式V棱錐= hs底將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使B，D兩點間距離變?yōu)閍，求所得三棱錐D-ABC的體積？ABCDABCDOO將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使B，D兩點間距離變?yōu)閍，求所得三棱錐D-ABC的體積？ABCDABCDO求多面體的體積時常用的方法1、直接法2、割補法3、變換法根據(jù)條件直接用柱體或錐體的體積公式如果一個多面體的體積直接用體積公式計算用困難，可將其分割成易求體

6、積的幾何體，逐塊求積，然后求和。如果一個三棱錐的體積直接用體積公式計算用困難，可轉(zhuǎn)換為等積的另一三棱錐，而這一三棱錐的底面面積和高都是容易求得求棱長為a的正四面體的體積？已知正三棱錐的側(cè)面積是18 ，高為3，求它的體積？若正四棱錐的底面積是S，側(cè)面積是Q，則它的體積為？過棱錐的高的三等分點作兩個平行于底面的截面，它將棱錐分為三部分體積之比（自上而下）為 。1719PABC三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，PA=a, PB=b, PC=c , ABC的面積為S求點P到底面ABC的距離如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF/AB，EF=1.5, EF與面AC的距離為

7、2，求此多面體的體積？ABCDEFGHV棱柱BCF-GHEV棱錐E-ADHG=4.5=3多面體ABCDEFV=7.5如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF/AB，EF=1.5, EF與面AC的距離為2，求此多面體的體積？=6BCDEFAV棱錐E-ABCDV棱錐F-BCEV棱錐C-BFE=1.5=V棱錐C-AEB=V棱錐E-ABCD已知三棱錐有一條棱長為4，其余各棱長為3，求其體積？334ABCD已知三棱錐有一條棱長為4，其余各棱長為3，求其體積？ABCDEV棱錐D-ABCV棱錐D-BCEV棱錐A-BCE= SBCEADV棱錐D-ABC已知三棱錐P-ABC中，PA=1，AB=AC=2， PAB= PAC= BAC= 60，求三棱錐的體積？ABCP解法一EO直接法已知三棱錐P-ABC中，PA=1，AB=AC=2， PAB= PAC= BAC= 60，求三棱錐的體積？ABCP解法二變換法已知三棱錐P-ABC中