專題13 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用（解析版）

1、十年十年高考+大數(shù)據(jù)預(yù)測 I）得，所以由得所以因此=27(2013山東)設(shè)函數(shù)，且的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為()求的值；()求在區(qū)間上的最大值和最小值【解析】(1)sin2xsin xcos xcos 2xsin 2x因?yàn)閳D象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為，又0，所以因此1(2)由(1)知當(dāng) x時(shí)，所以，因此1故在區(qū)間上的最大值和最小值分別為，128 (2013天津)已知函數(shù)() 求f(x)的最小正周期；() 求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值【解析】(1)sin 2x3sin 2xcos 2x2sin 2x2cos 2x所以，的最小正周期T(2)因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，在

2、區(qū)間上是減函數(shù)又f(0)2，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為229（2013湖南）已知函數(shù)（1）求的值；（2）求使 成立的x的取值集合【解析】(1)（2）由（1）知， 30(2012安徽) 設(shè)函數(shù)（ = 1 * ROMAN I）求函數(shù)的最小正周期；（ = 2 * ROMAN II）設(shè)函數(shù)對(duì)任意，有，且當(dāng)時(shí)，； 求在上的解析式【解析】（ = 1 * ROMAN I）函數(shù)的最小正周期（）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，得：函數(shù)在上的解析式為31（2012陜西）函數(shù)（）的最大值為3， 其圖像相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，則，求的值【解析】（）函數(shù)的最大值是3，即函數(shù)圖像的相鄰兩條對(duì)稱

3、軸之間的距離為，最小正周期，故函數(shù)的解析式為（），即，故32（2015山東）設(shè)（）求的單調(diào)區(qū)間；（）在銳角中，角，的對(duì)邊分別為，若，求面積的最大值【解析】（）由題意由()，可得()；由()，得()；所以的單調(diào)遞增區(qū)間是（）；單調(diào)遞減區(qū)間是（）（），由題意是銳角，所以 由余弦定理：，可得，且當(dāng)時(shí)成立面積最大值為33（2013福建）已知函數(shù)的周期為，圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為，將函數(shù)圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），在將所得圖像向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖像(1)求函數(shù)與的解析式；(2)是否存在，使得按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)確定的個(gè)數(shù)；若不存在，說明理由(3)求實(shí)數(shù)與正

4、整數(shù)，使得在內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn)【解析】（）由函數(shù)的周期為，得又曲線的一個(gè)對(duì)稱中心為，故，得，所以將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）后可得的圖象，再將的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)（）當(dāng)時(shí)，所以問題轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)是否有解設(shè)，則因?yàn)椋?，在?nèi)單調(diào)遞增又，且函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，故可知函數(shù)在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，即存在唯一的滿足題意（）依題意，令當(dāng)，即時(shí)，從而不是方程的解，所以方程等價(jià)于關(guān)于的方程，現(xiàn)研究時(shí)方程解的情況令，則問題轉(zhuǎn)化為研究直線與曲線在的交點(diǎn)情況，令，得或當(dāng)變化時(shí)，和變化情況如下表當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于當(dāng)且趨近于時(shí)，趨向于故當(dāng)時(shí)

5、，直線與曲線在內(nèi)有無交點(diǎn)，在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)，在內(nèi)無交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)，在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)由函數(shù)的周期性，可知當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)總有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn)，從而不存在正整數(shù)，使得直線與曲線在內(nèi)恰有個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)，由周期性，所以綜上，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn)考點(diǎn)44 三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1（2014新課標(biāo)，理6）如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角的始邊為射線，終邊為射線，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，將點(diǎn)到直線的距離表示為的函數(shù)，則=在0，上的圖像大致為（ ）【答案】B【解析】如圖：過M作MDOP于，則 PM=，OM=，在中，MD=

6、，選B2（2015陜西）如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深（單位：m）的最大值為A5 B6 C8 D10【答案】C【解析】由圖象知：，因?yàn)?，所以，解得：，所以這段時(shí)間水深的最大值是，故選C3（2014新課標(biāo)，理16）設(shè)點(diǎn)M（，1），若在圓O：上存在點(diǎn)N，使得OMN=45，則的取值范圍是_【答案】【解析】由圖可知點(diǎn)所在直線與圓相切，又，由正弦定理得：，即：，又，即，解之：4（2014湖北）某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度（單位：）隨時(shí)間t（單位：h）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：，（）求實(shí)驗(yàn)室這一天上午8時(shí)的溫度；（）求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差【解析】（）故實(shí)驗(yàn)室上午8

7、時(shí)的溫度為10 （）因?yàn)椋?又，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，于是在上取得最大值12，取得最小值8故實(shí)驗(yàn)室這一天最高溫度為12 ，最低溫度為8 ，最大溫差為4 5（2018江蘇）某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓的一段圓?。榇藞A弧的中點(diǎn)）和線段構(gòu)成已知圓的半徑為40米，點(diǎn)到的距離為50米現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚，大棚內(nèi)的地塊形狀為矩形，大棚內(nèi)的地塊形狀為，要求均在線段上，均在圓弧上設(shè)與所成的角為(1)用分別表示矩形和的面積，并確定的取值范圍；(2)若大棚內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為求當(dāng)為何值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大【解析】(1)連

8、結(jié)并延長交于，則，所以=10過作于，則，所以，故，則矩形的面積為，的面積為過作，分別交圓弧和的延長線于和，則令，則，當(dāng)時(shí)，才能作出滿足條件的矩形，所以的取值范圍是答：矩形的面積為平方米，的面積為，的取值范圍是(2)因?yàn)榧?、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為43，設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為，乙的單位面積的年產(chǎn)值為，則年總產(chǎn)值為，設(shè)，則令，得，當(dāng)時(shí)，所以為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，所以為減函數(shù)，因此，當(dāng)時(shí)，取到最大值答：當(dāng)時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大6（2017江蘇）如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱臺(tái)形玻璃容器的高均為32cm，容器的底面對(duì)角線的長為10cm，容器的兩底面對(duì)角線，的長分別為14c

9、m和62cm 分別在容器和容器中注入水，水深均為12cm 現(xiàn)有一根玻璃棒，其長度為40cm（容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì)）（1）將放在容器中，的一端置于點(diǎn)處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部分的長度；（2）將放在容器中，的一端置于點(diǎn)處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部分的長度【解析】（1）由正棱柱的定義，平面，所以平面平面，記玻璃棒的另一端落在上點(diǎn)處因?yàn)?，所以，從而記與水平的交點(diǎn)為，過作，為垂足，則平面，故，從而答：玻璃棒沒入水中部分的長度為16cm( 如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為24cm)（2）如圖，是正棱臺(tái)的兩底面中心由正棱臺(tái)的定義，平面 ，所以平面平面，同理，平面平面，記玻璃棒的另一端落在上點(diǎn)處過作，為垂足， 則=32 因?yàn)? 14，= 62，所以= ，從而 設(shè)則因?yàn)椋栽谥?，由正弦定理可得，解?因?yàn)?，所以于是記與水面的交點(diǎn)為，過作，為垂足，則 平面，故=12，從而 =答：玻璃棒沒入水中部分的長度為20cm(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為20cm)7（2014湖北）某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度（單位：）隨時(shí)間（單位：）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：，（）求