專升本《高等數(shù)學(xué)》精選練習(xí)強(qiáng)化試卷08

1、專升本高等數(shù)學(xué)精選練習(xí)強(qiáng)化試卷08一、選擇題（1）設(shè)在0，1上，則下列不等式成立的是（ A ） （A）；（B）； （C）；（D）。解題思路：利用微分中值定理及一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性。解：由定理可知， ，使得， ，嚴(yán)格單增，故， 。（2）設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)， 的圖形如圖所示，則導(dǎo) 函數(shù)的圖形為（ D ） （A） （B） （C） （D）（3）設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則有（C）一個極小值點和兩個極大值點；兩個極小值點和一個極大值點；兩個極小值點和兩個極大值點；三個極小值點和一個極大值點； （4）在區(qū)間內(nèi)方程( C )（A）無實根；（B）有且只有一個實根；（C）恰有兩個實根；（D）有無窮多

2、個根。解:設(shè)，則，只要考察內(nèi)零點的情況。時，內(nèi)無零點，上連續(xù)、可導(dǎo)，由零點定理知，使，故內(nèi)有且只有一個零點，內(nèi)有且只有一個零點。綜上可知在內(nèi)方程恰好有兩個實根。（5）曲線（ ）（A）僅有水平漸近線；（B）既有垂直又有水平漸近線；（C）僅有垂直漸近線；（D）既有垂直又有斜漸近線。解：， 曲線有一條垂直漸近線。，曲線有一條斜漸近線，故應(yīng)選(D)。（6）設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù)且， ，則在處（ D ） （A）不可導(dǎo)；（B）可導(dǎo)且；（C）有極大值；（D）有極小值。解題思路：四個結(jié)論都要考慮是否存在，是否為零。若存在，則（A）不對；若，則（B）不對；由，可知，可能是極值，是極大值還是極小值，只需看在內(nèi)還是。

3、解：， （A）、（B）都不對。由的保號性以及，可知在內(nèi)恒有，故是極小值。（7）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有定義，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則（ B ）（A）當(dāng)時，存在，使；（B），有；（C）當(dāng)時，存在，使；（D）存在，使。（8）（ C ）；。解：把代入等式，得，。，而，在點兩側(cè)與同號，由負(fù)變正，故是拐點。（9）設(shè)為正整數(shù)，則函數(shù)（ D ） （A）有極小值； （B）有極大值； （C）既無極小值也無極大值； （D）有無極值依賴于的取值。解：， 當(dāng)為偶數(shù)時，單調(diào)減少，既無極小值也無極大值； 當(dāng)為奇數(shù)時，由于，當(dāng)時，； 時，故是的極大值點。 綜上可知，應(yīng)選（D）。（10）若，則方程（ ）。無實根；（B）有唯一實根；（C）

4、有兩個實根；（D）有三個實根。解：，在內(nèi)單增，有唯一實根。二、證明題1求證：當(dāng)時，有。證明：只須證，（）設(shè)，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且。 則， 當(dāng)時， ，從而在內(nèi)嚴(yán)格單減， （），即，從而（）。另證：設(shè)，則在上連續(xù)、可導(dǎo)，在內(nèi)，在內(nèi)的圖形向上凸的，又，即（）。2.設(shè)，常數(shù)，證明：。分析：要證，只須證， 即證（）證明：設(shè)（），則，當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)減少，即，從而。3設(shè)，證明：。證明：設(shè)，則， ， 在內(nèi)的駐點為， ，在，故， 即。4.設(shè)，證明不等式。（學(xué)生自證）5設(shè)在上可導(dǎo)，且當(dāng)時，其中為常數(shù)。證明如果，則方程在內(nèi)有且僅有一個實根。證明：記，顯然，由中值定理可知， ， , 又，由零點定理可知，至少存在

5、一點，使， 即方程在內(nèi)至少有一個實根。 ，在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)只有一個零點， 即方程在內(nèi)有且僅有一個實根。三、解答題1設(shè)，求滿足不等式的最小正數(shù)A。分析：由，故該問題實際上是求在上的最大值。解：設(shè)， 令，得唯一駐點， 當(dāng)時，；當(dāng)時， 是的極大值點，也是最大值點， 即為所求。2討論曲線與的交點個數(shù)。（2003年考研題） 解：問題等價于討論方程有幾個不同的實根。設(shè)，則，不難看出，。當(dāng)；當(dāng)，故為函數(shù)。，即兩條曲線無交點。，即兩條曲線只有一個交點。，由于；，故，分別位于，即兩條曲線有兩個交點。3若火車每小時所耗燃料費用與火車速度立方成正比，已知速度為時， 每小時的燃料費用為40元，其他費用每小時200元，求最經(jīng)濟(jì)的行駛速度。解：火車每小時所耗燃料費用為，當(dāng)時，解得。 設(shè)火車行駛耗資， 則，。， 令，得