函數(shù)的概念與基本性質(zhì) 強基培訓(xùn)-高中數(shù)學(xué)強基計劃培訓(xùn)講義

1、函數(shù)的概念與基本性質(zhì)【知識點】1.函數(shù)的單調(diào)性（1）增函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果定義域內(nèi)某個區(qū)間上任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，那么就說在這個區(qū)間上是增函數(shù)。（2）減函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果定義域內(nèi)某個區(qū)間上任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，那么就說在這個區(qū)間上是減函數(shù)。（3）單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）：如果在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說在這個區(qū)間上具有單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。2.函數(shù)的奇偶性（1）奇函數(shù)：如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)的任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)。奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱。（2）偶函數(shù)：如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)的任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做

2、偶函數(shù)。偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸原點對稱。（3）如果函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么就說具有奇偶性。3.函數(shù)的對稱性（1）如果，那么函數(shù)關(guān)于直線對稱。（2）如果，那么函數(shù)關(guān)于點成中心對稱。4.函數(shù)的周期性對于函數(shù)，如果存在一個不為零的常數(shù)，使得當(dāng)取定義域中的每個數(shù)時，總有成立，那么稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱作這個函數(shù)的周期。如果函數(shù)的所有周期中存在最小的正常數(shù)，稱為函數(shù)的最小正周期。例題1、設(shè)，則的最大值為 。例題2、對四位數(shù)，若，則稱為類數(shù)；若，則稱為類數(shù)。用分別表示類數(shù)和類數(shù)的個數(shù)，則 。例題3、證明函數(shù)在R上是減函數(shù)。例題4、已知函數(shù)。（1）求證：函數(shù)是偶函數(shù)；（2）判斷函數(shù)分別在區(qū)間上的單調(diào)性，并加以證明；（3）若，求證：。例題5、已知定義在R上的函數(shù)對任意實數(shù)恒有，且當(dāng)時，又。（1）求證：為奇函數(shù)；（2）求證：在R上是減函數(shù)；（3）求在上的最大值和最小值。例題6、已知函數(shù)既關(guān)于直線對稱，又關(guān)于直線對稱，求證：為周期函數(shù)。例題7、設(shè)集合，集合，映射，使得。已知。求的值。例題8、設(shè)，在上定義函數(shù)如下：若，則表示的數(shù)字之和，例如。設(shè)函數(shù)的值域是集合。求證： 例題9、已知為非零實數(shù)，且。若當(dāng)時，對任意實數(shù)都有，試求出值域外的唯一數(shù)。例題10、 函數(shù)的定義域為，且對于一切實數(shù)