專升本《高等數(shù)學(xué)》備考沖刺-極值的方法與技巧

1、PAGE 求極值的方法與技巧極值一般分為無(wú)條件極值和條件極值兩類(lèi)。無(wú)條件極值問(wèn)題即是函數(shù)中的自變量只受定義域約束的極值問(wèn)題；條件極值問(wèn)題即是函數(shù)中的自變量除受定義域約束外，還受其他條件限制的極值問(wèn)題。一、求解無(wú)條件極值的常用方法1利用二階偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系和符號(hào)判斷取不取極值及極值的類(lèi)型定理1(充分條件) 設(shè)函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x0, y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 又fx(x0, y0)=0, fy(x0, y0)=0, 令fxx(x0, y0)=A, fxy(x0, y0)=B, fyy(x0, y0)=C, 則f (x, y)在(x0, y0)處是否取得極值的條件如

2、下： (1) AC-B20時(shí)具有極值, 且當(dāng)A0時(shí)有極小值； (2) AC-B20時(shí)沒(méi)有極值； (3) AC-B2=0時(shí)可能有極值, 也可能沒(méi)有極值。 極值的求法： 第一步 解方程組fx(x, y)=0, fy(x, y)=0, 求得一切實(shí)數(shù)解, 即可得一切駐點(diǎn)。 第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0, y0), 求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B和C。 第三步 定出AC-B2的符號(hào), 按定理1的結(jié)論判定f(x0, y0)是否是極值、是極大值 還是極小值。應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題：對(duì)于二元函數(shù)z=f(x, y),在定義域內(nèi)求極值這是一個(gè)比較適用且常用的方法, 但是這種方法對(duì)三元及更多元的函數(shù)并不適用； AC-B2=0時(shí)

3、可能有極值, 也可能沒(méi)有極值，還需另作討論；如果函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在，這些點(diǎn)當(dāng)然不是駐點(diǎn)，但也可能是極值點(diǎn)，討論函數(shù)的極值問(wèn)題時(shí)這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮。例1求函數(shù)的極值。解 令得駐點(diǎn)及又由 故為極小值。由于 ，此時(shí)有通常的方法無(wú)法判定。令，則，由得駐點(diǎn)又故在處取極大值，即函數(shù)在圓周上取極大值2對(duì)于三元及更多元的函數(shù)定理1并不適用，而在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常要遇到求三元以上函數(shù)的極值問(wèn)題，對(duì)此可由二次型的正定性加以解決。定義1 設(shè)元函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)有一階、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。 記, 稱為函數(shù)在點(diǎn)處的梯度。定義2 滿足的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。定義3 稱為函數(shù)在點(diǎn)處的黑塞矩陣。顯然是由的個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的階實(shí)對(duì)

4、稱矩陣。定理2(極值存在的必要條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處存在一階偏導(dǎo)數(shù)，且為該函數(shù)的極值點(diǎn)，則。定理3(極值的充分條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)具有一階、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且則(1)當(dāng)為正定矩陣時(shí)，為的極小值 (2)當(dāng)為負(fù)定矩陣時(shí)，為的極大值 (3)當(dāng)為不定矩陣時(shí)，不是的極值。應(yīng)注意的問(wèn)題：利用二次型的正定性來(lái)判斷多元函數(shù)的極值雖然是一個(gè)很好的方法,但也有一定的局限性,因?yàn)槌浞謼l件對(duì)正定和負(fù)定的要求是很?chē)?yán)格的,若條件不滿足,那結(jié)論就不一定成立. 例1求三元函數(shù)的極值。解先求駐點(diǎn)，由 得所以駐點(diǎn)為。再求(Hessian)黑塞矩陣因?yàn)樗?，可知是正定的，所以在點(diǎn)取得極小值：.當(dāng)然，此題也可用初等方法求得極

5、小值，結(jié)果一樣。二、求解條件極值的常用方法1代入法化為無(wú)條件極值問(wèn)題從一道錯(cuò)誤的例題談條件極值的代入法1 (這里全文引用)同濟(jì)大學(xué)出版的教材(高等數(shù)學(xué)(第二版下).上海:同濟(jì)大學(xué)出版社,1998.8)在介紹條件極值時(shí)舉了這樣的一道例題:“例10:某公司的兩個(gè)工廠生產(chǎn)同樣的產(chǎn)品,但所需成本不同,第一個(gè)工廠生產(chǎn)單位產(chǎn)品和第二個(gè)工廠生產(chǎn)單位產(chǎn)品時(shí)的總成本是。若公司的生產(chǎn)任務(wù)是500個(gè)單位產(chǎn)品,問(wèn)如何分配任務(wù)才能使總成本最小?解:根據(jù)題意,是求函數(shù)在在條件下的極值。作輔助函數(shù)令，解得，所以根據(jù)題意知,當(dāng)?shù)谝粋€(gè)工廠生產(chǎn)125個(gè)單位產(chǎn)品、第二個(gè)工廠生產(chǎn)375個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)總成本最小?！鄙鲜鼋夥?粗看起來(lái)好象

6、沒(méi)有什么毛病,但卻是經(jīng)不起推敲的。簡(jiǎn)單的驗(yàn)證可知,本例求出的總成本為,但卻不是最小,譬如,就比求得的“最小值”小了一半還要多!事實(shí)上,點(diǎn)(125,375)不是最小值點(diǎn),而是最大值點(diǎn)。究其原因,主要是解題方法選擇不當(dāng)造成的。我們知道,求解自變量不超過(guò)三個(gè)的條件極值問(wèn)題,既可以用拉格朗日乘數(shù)法,也可以用代入法。用拉格朗日乘數(shù)法雖然很方便,但極值點(diǎn)的判定卻比較麻煩。對(duì)這個(gè)問(wèn)題,幾乎所有的教材都沒(méi)有作出正面的回答,只指出了用這種方法求出的極值點(diǎn)是“可能的”極值點(diǎn),“至于如何確定所求得的點(diǎn)是否為極值點(diǎn),在實(shí)際問(wèn)題中往往可根據(jù)問(wèn)題本身的性質(zhì)來(lái)判定”。然而許多實(shí)際問(wèn)題中,根據(jù)問(wèn)題本身的性質(zhì)卻無(wú)法確定究竟是極

7、大還是極小。在這種情況下,采用代入法則可以有效地解決極值點(diǎn)的判定問(wèn)題。本例中,由于總成本究竟是最小還是最大并不好判定,因而采用代入法求解就可以避免產(chǎn)生上述的錯(cuò)誤。若令并代入目標(biāo)函數(shù)中,可得總成本，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間0,500上的最小值。由,可得惟一駐點(diǎn)=125(顯然是極大值點(diǎn)),計(jì)算該駐點(diǎn)及兩端點(diǎn)處的函數(shù)值,有C(125)=531950C(0)=500700C(500)=250700比較即知=500是所求之最小值點(diǎn),此時(shí)=0。即把500個(gè)單位產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù)都分配給第一個(gè)工廠生產(chǎn)時(shí)總成本最小。應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題：在討論二元函數(shù)在約束條件的極值問(wèn)題時(shí)，如果由能解(或)就把求二元函數(shù)的條件極值

8、轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)的極值了。使用代入法時(shí)，減少了變量，給判別極值帶來(lái)了方便，但有時(shí)在約束條件中不易將(或)解出，使用這種方法就困難了。我們知道在求解約束條件比較簡(jiǎn)單的條件極值問(wèn)題時(shí),既可以用拉格朗日乘數(shù)法,也可用代入法,但在用代入法求解時(shí),如果不注意代入的條件,則可能導(dǎo)致不完整甚至錯(cuò)誤的解答3。例如求在條件下的極值。用代入法求解時(shí),如果將代入式,則得,通過(guò)求解方程組得,但將代入時(shí),無(wú)解。因而在條件下似乎無(wú)極值。但如果用拉格朗日乘數(shù)法,則可得到二個(gè)可能的極值點(diǎn),分別為(1,0,0)與(-1,0,0),且通過(guò)幾何意義(乃是求原點(diǎn)到柱面的最短距離),不難得出(1,0,0)與(-1,0,0)都是極小值點(diǎn)

9、,極小值都是1。原因是求在條件下的極值時(shí),的取值范圍是,而將代入,求的極值時(shí), 的取值范圍已是。2更一般的方法是利用拉格朗日乘數(shù)法求解“乘數(shù)法”所得到的點(diǎn)只是可能的極值點(diǎn),到底是否是極值點(diǎn)以及其類(lèi)型要依據(jù)拉格朗日函數(shù)的二階微分的符號(hào)來(lái)判斷.例 求函數(shù)在條件()下的極值.分析:通過(guò)求簡(jiǎn)單函數(shù)的極值點(diǎn)從而達(dá)到求復(fù)雜函數(shù)極值點(diǎn)的方法,是在實(shí)際解題中經(jīng)常使用的.解 先求令得駐點(diǎn)又由 ,故為即的極大值點(diǎn), 此時(shí).3運(yùn)用梯度法求條件極值2將梯度法用于求條件極值的問(wèn)題。方程組的解,就是所求極值問(wèn)題的可能極值點(diǎn)。例1.試求個(gè)正數(shù),其和為定值的條件下,什么時(shí)候乘積最大,并證明證明:本題的實(shí)質(zhì)是求在條件下的最大值

10、問(wèn)題。根據(jù)本文定理,列出下列方程組,求解可能的極值點(diǎn)。進(jìn)一步求解得容易得到,根據(jù)題意,則是唯一的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn)。所以,即這一方法當(dāng)然適合于二元函數(shù)和三元函數(shù)的條件極值問(wèn)題。例如:求在條件下的極值, 只要列出方程組再求出相應(yīng)的,則其中是可能的極值點(diǎn).例2從斜邊之長(zhǎng)為的一切直角三角形中,求最大周長(zhǎng)的直角三角形。解:設(shè)兩條直角邊為本題的實(shí)質(zhì)是求在條件下的極值問(wèn)題。根據(jù)本文定理,列出方程組: 進(jìn)一步求解得容易解出,所以,根據(jù)題意是唯一的極大值點(diǎn),因而也是最大值點(diǎn)。當(dāng)兩條直角邊都為時(shí),直角三角形的周長(zhǎng)最大。4利用二次方程判別式的符號(hào)求某些條件極值4例 若,試求的極值.解 因?yàn)?代入得即 (1)這

11、個(gè)關(guān)于的二次方程要有實(shí)數(shù)解, 必須:即 解關(guān)于的二次不等式,得: 顯然,求函數(shù)的極值, 相當(dāng)于求 (2)或 (3)的極值.由(2)得 (4)這個(gè)關(guān)于的二次方程要有實(shí)數(shù)解,必須, 即解此關(guān)于的二次不等式,得.所以把代入(4)得,再把,代入(1),得,最后把,代入,得.所以,當(dāng),時(shí),函數(shù)達(dá)到極大值3.同理可得,當(dāng),時(shí),函數(shù)達(dá)到極小值-3.也可以從(3)作類(lèi)似討論得出的極大值3和極小值-3.5利用標(biāo)準(zhǔn)量代換法求函數(shù)極值5求某些有多個(gè)變量的條件極值時(shí),我們可以選取某個(gè)與這些變量有關(guān)的量作為標(biāo)準(zhǔn)量,稱其余各量為比較量,然后將比較量用標(biāo)準(zhǔn)量與另外選取的輔助量表示出來(lái),這樣就將其變?yōu)檠芯繕?biāo)準(zhǔn)量與輔助量間的關(guān)系了.如果給定條件是幾個(gè)變量之和的形式,一般設(shè)這幾個(gè)量的算術(shù)平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量.例 設(shè),求的最小值.解 取為標(biāo)準(zhǔn)量, 令,則(為任意實(shí)數(shù)),從而有 (等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)成立). 所以的最小值為.1 李天勝，從一道錯(cuò)誤的例題談條件極值的代入法J，