實(shí)變函數(shù)精品課件

1、關(guān)于實(shí)變函數(shù)第一張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月注：A可數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) A可以寫成無窮序列的形式a1, a2, a3, 1, 2, 3, 4, 5, 6, a1, a2, a3, a4, a5, a6, 例：1）Z = 0，1，-1，2，-2，3，-3， 與自然數(shù)集N對(duì)等的集合稱為可數(shù)集或可列集，其基數(shù)記為可數(shù)集的定義2）0,1中的有理數(shù)全體 =0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, 第二張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月假設(shè)這是一個(gè)無限集M我們可以取出其中一個(gè)點(diǎn)a1顯然Ma1還是無限集在Ma1中可以取出一點(diǎn)a2顯然Ma1，a2還是無限集我們可以取出一個(gè)可數(shù)

2、子集a1,a2,a3,. 任何無限集合均含有可數(shù)子集（即可數(shù)集是無限集中具有最小勢(shì)的的集合) 可數(shù)集的性質(zhì)（子集）第三張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月可數(shù)集的子集或?yàn)橛邢藜驗(yàn)榭蓴?shù)集推論 第四張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月可數(shù)集的性質(zhì)（并集）有限集與可數(shù)集的并仍為可數(shù)集A=a1, a2, a3, a4, a5, a6, 當(dāng)集合有公共元素時(shí)，不重復(fù)排。假設(shè)A，B，C兩兩不交，則AB= b1, b2, b3 , , bn ，a1, a2, a3, 可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并仍為可數(shù)集有限個(gè)可數(shù)集的并仍為可數(shù)集C= c1, c2, c3, c4, c5, c6, B=b1, b2, b3,

3、,bnAC= c1, a1, c2, a2, c3, a3, 第五張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng)Ai互不相交時(shí)，按箭頭所示，我們得到一個(gè)無窮序列;當(dāng)Ai有公共元時(shí)，在排列的過程中除去公共元素；A1A2A3A4可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并仍為可數(shù)集的證明說明:與Hilbert旅館問題比較;如何把無限集分解成無限個(gè)無限集合的并?第六張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月首先0,1中的有理數(shù)全體=0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, 是可數(shù)集，例 全體有理數(shù)之集Q是可數(shù)集 -2 -1 0 1 2 3 4所以Q是可數(shù)集（可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并）說明:有理數(shù)集在直線上稠密,但仍與

4、稀疏分布在直線上的整數(shù)集有相同多的點(diǎn)(對(duì)等意義下).第七張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月有限個(gè)可數(shù)集的卡氏積是可數(shù)集設(shè)A，B是可數(shù)集，則AB也是可數(shù)集從而AB也是可數(shù)集（可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并）利用數(shù)學(xué)歸納法即得有限個(gè)乘積的情形3 可數(shù)集的性質(zhì)（卡氏積） x固定，y在變第八張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例 平面上以有理點(diǎn)為圓心，有理數(shù)為半徑的圓全體A為可數(shù)集證明：平面上的圓由其圓心 (x,y) 和半徑 r 唯一決定,從而 r(x,y)第九張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例有限集與可數(shù)集的并仍為可數(shù)集可數(shù)集并可數(shù)集仍為可數(shù)集AAMMB第十張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6

5、月對(duì)上例的說明特殊情形： 0,1 (0,1) R R-Q 1/2 , 1/3 , , 1/5 , 0 , 1 , , 1/3 , 1/4 ,第十一張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月整系數(shù)多項(xiàng)式方程的實(shí)根稱為代數(shù)數(shù)；不是代數(shù)數(shù)的實(shí)數(shù)成為超越數(shù)。由代數(shù)基本定理知任意整系數(shù)多項(xiàng)式至多有有限個(gè)實(shí)根，從而結(jié)論成立.設(shè) P 是整系數(shù)多項(xiàng)式全體所成之集,P(n)是n次整系數(shù)多項(xiàng)式全體例 代數(shù)數(shù)全體是可數(shù)集第十二張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月有關(guān)超越數(shù)的說明1874年Cantor開始研究無限集的計(jì)數(shù)問題;1873年C.埃爾米特證明了e是超越數(shù);1882年Lindemann證明了是超越數(shù);1934年A.O.蓋爾豐得證明了若不是0和1的代數(shù)數(shù)，是無理代數(shù)數(shù),則是超越數(shù)(此問題為Hilbert于1900年提出的23個(gè)問題中的第7問題)。我們證明了代數(shù)數(shù)全體是可數(shù)集合，通過后面可知道超越數(shù)全體是不可數(shù)集，故超越數(shù)比代數(shù)數(shù)多得多第十三張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月假設(shè)這是集合A從中可以取出可數(shù)子集M很容易將M一分為二M1,M2，使得兩個(gè)都是可數(shù)集AMM=a1, a2, a3, a4, a5, a6, M1 =a1, a3, a5, M2=a2, a4, a6, 取A*=(AM)M1=A-M2即可例說明：由此我們可得任一