定積分第一節(jié)定積分的概念及性質(zhì)

1、定積分第一節(jié)定積分的概念及性質(zhì)第1頁，共24頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)53分，星期三第一節(jié)一、定積分問題舉例二、 定積分的定義三、 定積分的性質(zhì)定積分的概念及性質(zhì) 第五章 第2頁，共24頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)53分，星期三一、定積分問題舉例1. 曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成 ,求其面積 A .矩形面積梯形面積abxyo第3頁，共24頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)53分，星期三觀察與思考 在曲邊梯形內(nèi)擺滿小的矩形, 當(dāng)小矩形的寬度減少時(shí), 小矩形面積之和與曲邊梯形面積之間的誤差將如何變化? 怎樣求曲邊梯形的面積？第4頁，共24頁，2022年，5月20日，

2、0點(diǎn)53分，星期三求曲邊梯形的面積 (1)分割: ax0 x1 x2 xn1 xn b, Dxi=xi-xi1; 小曲邊梯形的面積近似為f(xi)Dxi (xi1xixi); (2)近似代替: (4)取極限: 設(shè)maxDx1, Dx2, Dxn, 曲邊梯形的面積為 (3)求和:曲邊梯形的面積近似為 ;第5頁，共24頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)53分，星期三2 （求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時(shí)間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值第6頁，共24頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)53分，星期三（1）分

3、割部分路程值某時(shí)刻的速度（2）求和（3）取極限路程的精確值第7頁，共24頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)53分，星期三二、定積分定義 任一種分法任取總趨于確定的極限 I , 則稱此極限 I 為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時(shí)稱 f ( x ) 在 a , b 上可積 .記作第8頁，共24頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)53分，星期三積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) ,而與積分變量用什么字母表示無關(guān) ,即第9頁，共24頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)53分，星期三定理1.定理2.且只有有限個(gè)間斷點(diǎn) (證明略)定積分存在的條件第10頁，共24頁，2022

4、年，5月20日，0點(diǎn)53分，星期三例1. 用定積分表示下列極限:解:第11頁，共24頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)53分，星期三定積分的幾何意義abxyo圖51,在 上連續(xù)，oyabx圖53第12頁，共24頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)53分，星期三 既有正值又有負(fù)值時(shí)， 各部分面積的代數(shù)和第13頁，共24頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)53分，星期三利用幾何意義求定積分 解 函數(shù) y1x在區(qū)間0, 1上的定積分是以y=1-x為曲邊, 以區(qū)間0, 1為底的曲邊梯形的面積. 因?yàn)橐詙=1-x為曲邊, 以區(qū)間0, 1為底的曲邊梯形是一個(gè)直角三角形, 其底邊長及高均為1, 所以 例2 習(xí)題： 利

5、用定積分的幾何意義，說明下列等式：41102p=-dxx第14頁，共24頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)53分，星期三對定積分的補(bǔ)充規(guī)定:說明 在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小三、定積分的性質(zhì)第15頁，共24頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)53分，星期三性質(zhì)1性質(zhì)2補(bǔ)充：不論 的相對位置如何, 上式總成立.性質(zhì)3（定積分對于積分區(qū)間具有可加性） 性質(zhì)4第16頁，共24頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)53分，星期三性質(zhì)5推論1：（1）推論2：（2）第17頁，共24頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)53分，星期三解令于是第18頁，共24頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)53分，星期三證（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）性質(zhì)6第19頁，共24頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)53分，星期三解第20頁，共24頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)53分，星期三證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知性質(zhì)7（定積分中值定理）積分中值公式第21頁，共24頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)53分，星期三使即積分中值公式的幾何解釋：第22頁，共24頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)53分，星期三內(nèi)容小結(jié)1. 定積分的定義 乘積和式的極限2. 定積分的性質(zhì)3. 積分中值定理矩形公式 梯形公式連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均