正弦定理 市賽獲獎 詳細版課件

1、1.1.1 正弦定理一、問題情境 對自然界的深刻研究是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的最豐富的來源.傅立葉數(shù)學來源于實際，服務于實際298m631051、邊的關系：2、角的關系：3、邊角關系：1）兩邊之和大于第三邊；兩邊之差小于第三邊2）在直角三角形中：a2+b2=c21）A+B+C=18001）大邊對大角，大角對大邊，等邊對等角2）在直角三角形ABC中,C=900,則回顧三角形中的邊角關系:一、前提測評1、知識目標(1)使同學們理解正弦定理的推導過程(2)能應用正弦定理解斜三角形2、能力目標 培養(yǎng)同學們分析歸納的能力、分析問題解決問題的能力二、展示目標對任意三角形,這個等式都會成立嗎?怎么證明這個結論？ABCcb

2、a在直角三角形中:正弦定理的發(fā)現(xiàn)這個結論對于任意三角形可以證明是成立的.不妨設C是最大角，若C是直角，我們已經證得結論成立.如何證明C為銳角、鈍角時結論也成立？BCDbc(1)證法1：若C為銳角（如圖(1)）過點A作ADBC于D，此時有即 ，同理可證 所以ABCDcb(2) 若C為鈍角（如圖(2)）過點A作ADBC，交BC的延長線于D，此時也有同樣可得綜上可知，結論成立. 證法2：利用三角形的面積轉換，先作出三邊上的高AD,BE,CF,則AFBCDE1、當ABC為銳角三角形時，如圖（1）證明:過A作單位向量 垂直,則 的夾角為_, 的夾角為_, 的夾角為_.已知:ABC中，CB=a,AC=b,

3、AB=c.求證:ACBabcj方法一(向量法)（一）正弦定理的證明ACBabc2、當ABC為鈍角三角形時，不妨設ABCabc如圖,同樣可證得即等式對任意三角形都成立證法二：(等積法)在任意斜ABC當中作ADBC于D 同理可證DABCcabh證法三：(外接圓法)如圖所示,作ABC外接圓則同理（R為ABC外接圓半徑）ABCabcODA=D正弦定理在任意一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即注意：定理適合任意三角形。ABCacb正弦定理的應用:一、解斜三角形；二、在三角形中實現(xiàn)邊角互化.（2R是三角形外接圓的直徑）正弦定理在解斜三角形中的兩類應用:(1)、已知兩角和任一邊,求一角和其他兩條邊

4、.(2)、已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊的對角(進而求其他的角和邊)ABaCAaabB（鞏固練習）下列哪些條件可以使用正弦定理解三角形？579899610458975456081020（1）（2）（3）（4）（5）例1.已知在ABC中，c=10,A=450,C=300,求a,b和B 解：c=10 A=450,C=300 B= 1800 -(A+C)=1050 由 = 得 a= = =10由 = 得 b= = = 20sin750=20 = 5 +5例題講解：例2、在ABC中，b= ,B=600 ,c=1,求a和A，C 解： = sinC= = = B=900 a= =2 bc,B=600 C 90時A= 90時Ab 1解ab 1解ab 1解a=b 無解a=b 無解a=b 1解ab 無解ab 無解ab1、bsinAab 2解2、a=bsinAb 1解 3、ac，故AC，無解C：D：3、ABC中，sinAsinB是AB( )D即不必要也非充分條件A充分非必要條件C充要條件B必要非充分條件解：在ABC中，由正弦定理可知又因為sinAsinB,所以ab,根據(jù)“大邊對大角”，得：AB所以sinAsinB是AB的充