最小二乘估計(jì)理論及算法在測量平差中的應(yīng)用

1、最小二乘估計(jì)理論及算法在測量平差中的應(yīng)用一、最小二乘估計(jì)理論及算法從整體上考慮近似函數(shù)P3)同所給數(shù)據(jù)點(diǎn)(土，)(i=0,1,m)誤差r = ”氣)y (i=0,1,m)的大小，常用的方法有以下三種：一是誤差r=p(x)y(i=o,i，,m)絕對(duì)值的最大值北，即誤差向量r = (r,r, r )丁的瀚一曰、口姜縮升信的有”1 0, 1, m的8氾數(shù)；二是誤差絕對(duì)值的和=0 ,即誤差向量r的1氾數(shù)；三是誤差平方和/=0 的算術(shù)平方根，即誤差向量r的2范數(shù)；前兩種方 法簡單、自然，但不便于微分運(yùn)算，后一種方法相當(dāng)于考慮2范數(shù)的平方，乙2因此在曲線擬合中常采用誤差平方和/=0 來 度量誤差r (i=

2、0, 1,，m)的整 體大小。首先介紹一些基本概念殘差設(shè)耳是被解釋變量的第次樣本觀測值，是相應(yīng)的第次樣本估計(jì)值。將罰與約之間的偏差記作(1)駕富-屁理-如有E(1)稱為第次樣本觀測值的殘差。最小二乘準(zhǔn)則使全部樣本觀測值的殘差平方和達(dá)到最小，即來確定未知參數(shù)扃南隔估計(jì)量的準(zhǔn)則，稱為最小二乘準(zhǔn)則。最小二乘估計(jì)量未知參數(shù)爵(如如，時(shí)的最小二乘估計(jì)量3=&R亂)的計(jì)算公式為(2)p = XX)lXY(2)最小二乘估計(jì)量的推導(dǎo)設(shè)殘差平方和卜如禮,己剝泛叫-。=Y-B河-f球十 BxxR=加琴十網(wǎng)盼其中皿|.為與它是”心階殘差列向量。為了得到最小二乘估計(jì)量$,我們對(duì)上式進(jìn)行極小化絲=（F P -收理十g炯

3、= axvx氐菖移項(xiàng)后，得正規(guī)方程組根據(jù)基本假定5.，（*尸存在，用（X時(shí)左乘正規(guī)方程組兩邊，得 的最小二乘估計(jì)量g式（4）/的無偏估計(jì)量隨機(jī)誤差項(xiàng)”的方差/的無偏估計(jì)量為1.2 _ 孕 _%（3）（4）（5）（3）（4）（5）稱作回歸估計(jì)的均方誤差，而稱作回歸估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差。（5）痂的方差Var（j5） = crY%）_1 = cr2C其中，C=（WQ，于是每個(gè)方的方差為而M） = *xmH=/t7dH，而京*1是矩陣C = （ X對(duì)角線 上對(duì)應(yīng)的第+ 1個(gè)元素，扣。（6）方差的估計(jì)量方差的估計(jì)量為&） = #（* = *（6）則每個(gè)周方差的估計(jì)量為（7）S氣& ） = /0度）3心=& 也

4、m+i，i=Ll,2，k（7）崗標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量為現(xiàn)肉廣F=0,l,2把現(xiàn)肉廣F=0,l,2把（8）數(shù)據(jù)擬合的具體作法是：對(duì)給定數(shù)據(jù)(土 yi) (i=0,1，m),在取定的函 數(shù)類中中，求P3)仁中，使誤差=JCi) yi (i=0,1,m)的平方和最小，即Em p(x ) - y I =mini _i ii=0= i=0從幾何意義上講，就是尋求與給定點(diǎn)(土 yi)(i=0,1,m)的距離平方和為最 小的曲線y = p(x)(圖1)。函數(shù)P(x)稱為擬合函數(shù)或最小二乘解，求擬合 函數(shù)P(x)的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。在曲線擬合中，函數(shù)類中可有不同的選取方法.成的函數(shù)類，現(xiàn)求一 P= 2使

5、得I = p成的函數(shù)類，現(xiàn)求一 P= 2使得I = p (七) yj=,k-y, i=0T -=minI = (a#-y)2i=0 k=0為a0, 1，an的多元函數(shù)，因此上述問題即為求1 = 1 (a0, 1，a 由多元函數(shù)求極值的必要條件，得SIdaj=2E j - yt)%=0,k i=0 k=0 (乙 j+k )a ik=0 i=0(3)是關(guān)于a0, ai，ak =i=0的線性方程組,j = 0,1,，n用矩陣表示為的極值問題。(10)(11)圖1 (二)多項(xiàng)式擬合 假設(shè)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)(土 yi)(i=0,1,m)，中為所有次數(shù)不超過n(n m)的多項(xiàng)式構(gòu)i=0 *=0/(9)當(dāng)擬合函數(shù)為

6、多項(xiàng)式時(shí)，稱為多項(xiàng)式擬合，滿足式(9)的Pn (X)稱為最小二乘 擬合多項(xiàng)式。特別地，當(dāng)n=1時(shí)，稱為線性擬合或直線擬合。顯然i=0.乙ni Li=0i=0.乙ni Li=0iwx2ii=0.藝，.匕 xn+1ii=0a0ai乙n+1 i i=0乙2ni i=0i=0:須nyI 1i=0(12)式(11)或式(12)稱為正規(guī)方程組或法方程組?？梢宰C明，方程組(12)的系數(shù)矩陣是一個(gè)對(duì)稱正定矩陣，故存在唯一解。從式(12)中解出ak (k=0,1,，n)，從而可得多項(xiàng)式p (x) = lLa xk可以證明，式(13)中的Pn S滿足式(1)，即Pn S為所求的擬合多項(xiàng)式。我i稱為最小二乘擬合多項(xiàng)

7、式Pn S)的平方誤差，記作M2 = W Pn (xi稱為最小二乘擬合多項(xiàng)式Pn S)的平方誤差，記作M2 = W Pn (xi) - yji=0由式(11)可得們把i=0 由式(11)可得|,|2=潺2乙(xky )(14) TOC o 1-5 h z 2ik i i(14)i=0 k=0i=0多項(xiàng)式擬合的一般方法可歸納為以下幾步：(1)由已知數(shù)據(jù)畫出函數(shù)粗略的圖形一一散點(diǎn)圖，確定擬合多項(xiàng)式的次數(shù)n；xj (j = 0,1,2n)xjy(j = 0,1,2n) HYPERLINK l bookmark76 o Current Document 列表計(jì)算i=0 和i=0 ；(3)寫出正規(guī)方程組

8、，求出a0,a1,.an ；寫出擬合多項(xiàng)式-弓曾。在實(shí)際應(yīng)用中，nm或nJm；當(dāng)n=m時(shí)所得的擬合多項(xiàng)式就是拉格朗日 或牛頓插值多項(xiàng)式。二、測量平差的主要公式及方法概述本文采用的平差方法主要是間接平差。在間接平差中，它的函數(shù)模型為：$=BX-l,隨機(jī)模型為：“ W ，法方程為：* 一 平差值方程的矩陣形式為:L+V=BX”+d在間接平差中各向量的關(guān)系式為：= /+ L-/L= L+ VQn. = Q( 知 J按協(xié)因數(shù)傳播律，可得L、X”、V及相互間的協(xié)因數(shù)陣：y。 _Q 鄧橢W -Q = QQvx = BQ茲 Qu =Qw = BQ w if1 -BQU .gM+QM?！?再計(jì)算1”的自協(xié)因數(shù)

9、陣以及它和L、X”、V間的互協(xié)因數(shù)陣：h=Q+h二麗=。Q二史偵心/+ H疽叫Qzv =(M + Q此二。=Q，十 Q口十 9h = bnF以上是間接平差協(xié)因數(shù)陣的解算過程。對(duì)于任意控制網(wǎng)，采用間接平差,選擇待定點(diǎn)的坐標(biāo)為參數(shù)時(shí),對(duì)該網(wǎng)進(jìn)行最 小二乘法平差計(jì)算的步驟為：計(jì)算各待定點(diǎn)的近似高程。根據(jù)近似高程和已知點(diǎn)高程列出誤差方程的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，并組成誤差 方程。組成法方程后，求解，計(jì)算改正數(shù)并求得平差值。按照組方程列出的協(xié)因數(shù)陣所示,分析點(diǎn)位平差值之間的相對(duì)精度。三、實(shí)例分析礦區(qū)開采對(duì)礦區(qū)地形有著明顯的變形影響，為了了解礦區(qū)開采對(duì)地面的影響, 本文以荷澤某礦的一觀測墩開采過程中先后采集的若干個(gè)

10、水準(zhǔn)監(jiān)測點(diǎn)數(shù)據(jù)為依 據(jù),經(jīng)過平差方法處理后作比較，以監(jiān)測的區(qū)域范圍作為特征區(qū)域分析該區(qū)的地 形沉降變化。1、儀器選擇以及檢測精度本次監(jiān)測中所用的還是常規(guī)測量儀器，以水準(zhǔn)儀為主，沉降基準(zhǔn)點(diǎn)點(diǎn)位高程 用GPS測出。顧及本次監(jiān)測的特點(diǎn)及所需數(shù)據(jù)精度，監(jiān)測精度須滿足三、四等水 準(zhǔn)測量要求，填數(shù)據(jù)的表格如表1所示,精度要求如表2和表3所示。表1數(shù)據(jù)表格測 站 編 號(hào)后尺下絲前尺下絲方向 及 尺號(hào)標(biāo)尺讀數(shù)K+黑 1八、紅高差中數(shù)備注上絲上絲后距前距黑面紅面視距差dEd后等吸每登里高差中誤基姓蹈長度Ue水準(zhǔn)尺現(xiàn)3S底散閉舍策平地山地三等6宅50拄返4鬲】0瞬哉而往返、往6 .蒲表3三四等水準(zhǔn)測量精度（b）標(biāo)

11、民焚壁帆姓長度槎距E迎氟*汁墮基輔較差鬲定較巷秘雄島J丈退測方法位器三等取而|號(hào)部363.Q三假后的前后因瓦DSI8&1.0L5能依前后后的四等單成啪S0513.05.0后后清前片1徹荻前后后2、監(jiān)測點(diǎn)布設(shè)監(jiān)測點(diǎn)布設(shè)在礦區(qū)內(nèi)一組沉降觀測墩上，以其中一點(diǎn)作為基準(zhǔn)點(diǎn)，采用閉合 環(huán)的形式觀測，將觀測路線形成了兩個(gè)閉合環(huán)，用以監(jiān)測該校是否有區(qū)域性的不 均勻沉降。圖2為其沉降基準(zhǔn)網(wǎng)點(diǎn)位分布示意圖，其中d01是沉降基準(zhǔn)點(diǎn)，其余點(diǎn) 為沉降監(jiān)測工作基準(zhǔn)點(diǎn)。圖23、監(jiān)測數(shù)據(jù)的平差計(jì)算進(jìn)行水準(zhǔn)測量前應(yīng)對(duì)水準(zhǔn)儀i角進(jìn)行檢驗(yàn)，規(guī)范要求不大于15d。測量時(shí)按 后-前-前-后的順序進(jìn)行觀測。由于本次目標(biāo)是監(jiān)測區(qū)內(nèi)是否有不

12、均勻沉降，因此 用一個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)便能保證監(jiān)測的順利進(jìn)行。表4分別是礦區(qū)開采前后布點(diǎn)區(qū)域沉降 點(diǎn)數(shù)據(jù)的平差結(jié)果。表4礦區(qū)開采前后水準(zhǔn)點(diǎn)平差結(jié)果jh n 點(diǎn)號(hào)開采前開采后高程（m）精度（mm）高程（m）精度（mm）d01113.220113.220d02112.1980.091112.1900.99d03112.8980.85112.8850.89d04113.5120.78113.5010.86d05113.2490.99113.2271.12d06113.3180.95113.3061.05d07114.0120.90114.0031.13d08112.5790.90112.5651.01d09113.3140.90113.3081.01D10112.9150.94112.9041.154、沉降分析沉降分析方法沉降監(jiān)測結(jié)果分析一般有圖形分析和數(shù)據(jù)分析兩種方法。圖形分析能直觀的 從圖上的曲線變化反映出各測點(diǎn)的沉降狀態(tài)。但圖形分析必須以數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，將 采集的數(shù)據(jù)經(jīng)過平差之后得到了最可靠的值,對(duì)其進(jìn)行分析，才能真實(shí)的反映測 點(diǎn)的變化情況。沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)計(jì)算與分析步驟檢查觀測記錄無誤后才能進(jìn)行平差計(jì)算,將上次測量與本次測量結(jié)果相減， 觀測數(shù)據(jù)變化的幅度。假設(shè)G50是穩(wěn)定的一