高等數(shù)學(xué)中有理分式定積分解法總結(jié)

1、由十個(gè)例題把握有理分式定積解法【摘要】當(dāng)被積函數(shù)為兩多項(xiàng)式的商P x 的有理函數(shù)時(shí),解法各種各樣、不易把握,Q x 在此由易到難將其解法進(jìn)行整理、總結(jié)【關(guān)鍵詞】有理分式 真分式 假分式 多項(xiàng)式除法 拆項(xiàng)法 湊微分法 定積分P x兩個(gè)多項(xiàng)式的商 稱為有理函數(shù),又稱為有理分式,我們總假定分子多項(xiàng)式 P xQ x與分母多項(xiàng)式 Q x 之間無公因式,當(dāng)分子多項(xiàng)式 P x 的次數(shù)小與分母多項(xiàng)式 Q x ,稱有理式為真分式,否就稱為假分式 . 1. 對(duì)于假分式的積分： 利用多項(xiàng)式除法, 總可將其化為一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分式之和的形式. 21dx例 1.13 x42 2 x dx12 x解 原式3 x22 x

2、1x2dxx21x2 3 x dxxx2dx 1232 x dx12 x11dx32 x dxdx2 x1dx 13 xxarctan xC例 1.2 2x42x23dxx1解 原式2x2x22113x2dxx22 x dx3x11dxx222x34arctanxxC31 總結(jié)：解被積函數(shù)為假分式的有理函數(shù)時(shí),用多項(xiàng)式動(dòng)身將其化簡(jiǎn)為多項(xiàng)式和真分式之和的形式,然后進(jìn)行積分 . 對(duì)于一些常見函數(shù)積分進(jìn)行記憶,有助于提高解題速度,例如：2x 12 dx 1 2 dxx 1 x 1P x對(duì)于真分式,如分母可分解為兩個(gè)多項(xiàng)式乘積 Q x = Q 1 x Q 2 x ,且 Q 1 x ,Q xQ 2 x

3、無公因式,就可拆分成兩個(gè)真分式之和：P x P x 1 P 2 x,上述過程稱為Q x Q x 1 Q 2 x把真分式化為兩個(gè)部分分式之和 . 如 Q 1 x 或 Q 2 x 再分解為兩個(gè)沒有公因式的多項(xiàng)式乘積,就最終有理函數(shù)分解式中顯現(xiàn)多項(xiàng)式、x P 1 xa k、x 2 P 2px xq l 等三類函數(shù),就多項(xiàng)式的積分簡(jiǎn)潔求的2. 先舉例,有類型一、類型二、類型三,以此為基礎(chǔ)求解較復(fù)雜的真分式積分m2.1 類型一 axk b dxcx3x 1例 2.1.1 2 dxx3 2解 原式 = x 3 x2 3 x 1dxx = xdx 3 dx 3 1 dx 12 dxx x = 1 x 23

4、x 3 In x 1 C2 x總結(jié)：當(dāng)被積函數(shù)多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的形式,將其進(jìn)行化簡(jiǎn),使被積函數(shù)為簡(jiǎn)潔冪函數(shù),然后利用常見積分公式進(jìn)行運(yùn)算2.2 類型二23dxcxkmdxdtaxb例 2.2.1 xx2解 令 x+2=t , 就xt2,有 dx2 原式=tt22dx241dt2Caxb mdx,再依據(jù)后者3=t24t4dtt3=1 dtt41dtt2t3=Int+4-2+C t22t =Inx2x4x2總結(jié)： 當(dāng)被積函數(shù)形如時(shí)k cxdx,將其用換元法轉(zhuǎn)換為axbmcxk解法求解2.3 類型三ax2Pxcldxcos2 dt22Cbx例2.3.1 x23 x22dx2 x原式=xx312dt

5、12設(shè)x-1 =tant,x=tant+1,dx=set2 tdt上式=1+tant3 set2t dt2 sett=3 tant3tan2t3tant1 dt2 set t=sin3tcos1t3sin cos t3sin2t2 costdt =-12 cost costd cos t+3sin 2 dtdt4 =-Incos t+12 cos t+2t+2sintcost2Qtant=x-1,cost=x121,sint=xx11121上式=1In x22 x222 x1x42arctanx12 x2 x242x3 例2.3.2 x2x21dx 3；對(duì)于形如ax2bx+cl時(shí),x =1 2

6、 22xx22 dx2 x3 =1x21x3 dx22x3 -2x122d x221 = 1In2 x2 x3 -2arttanx1+C 22總結(jié)：當(dāng)被積函數(shù)分母含有ax2+bx+c時(shí),可以用湊微分法進(jìn)行積分可將其變形為 T 2x+1 或者是 1-T2x , 然后利用三角函數(shù)恒等變形sin2x+ cos 2x=1和1 +tan2x= set 2x將T 2x降次,便于運(yùn)算 .3. 以前面的幾種簡(jiǎn)潔類型為基礎(chǔ),現(xiàn)在來爭(zhēng)辯較為復(fù)雜的有理真分式的積分例 3.1 x22 +310dx然后用基本積分公3x解法 1 x22 +310dx3x=x2110dx23x103x=Inx23x10+C解法 2 x22

7、 +310dx3xx22 +310=x2 +32=xA5+xB23x+5x =AB x5B22Ax15x12x5x原式=x15x12dx =Inx23x10+C 總結(jié)： 假分式分母可以因式分解,將被積函數(shù)化為部分分式之和的形式,4 式進(jìn)行運(yùn)算 . 例 3.2 2 x1x2x1dx2dx 3x 2原式=221x 2x1dxxx=1d 12x1-12 x111dx222 xx 2x =1d 12x11x211d2 xx11x12 x2x2124. 以此為標(biāo) =In2x1-1Inx2x1+1arctanx1+C 232總結(jié)：遇到被積函數(shù)是復(fù)雜的有理函數(shù),用拆分法將其分解為自己熟識(shí)的函數(shù),靈敏變換例 3.3 xx31dx1x2=xx231d x1xx2x221x11d xx1 2 22 xx221d xx11d xx11x21d 1x22x1x12d xx11d x22 x1Inx1x11Cx1總結(jié)： 此題能夠得出一個(gè)重要結(jié)論,分母因式分解要求為各個(gè)因式之間無公約數(shù),準(zhǔn)進(jìn)行因式分解,拆項(xiàng)除此之外, 常見的仍有, 可化為有理函數(shù)的積分. 例如利用三角函數(shù)的萬能公式,將被積函 數(shù) 中 含 有 三 角 函 數(shù) 的 分 式 函 數(shù) , 例 ：sin1+sinxxdx. 例 如