(壓軸題)高中數(shù)學(xué)必修五第三章《不等式》檢測(答案解析)

1、 x , yx x x , yx x 一、選題1設(shè)正數(shù) m， ， v222 mn 則 的大值是（ ） AB13C122已知小為（ ）AB 7C3已知實數(shù) 滿條件 x ，則 x y的最大值是（ ） A BC 4設(shè)實數(shù) ， 滿約束條件 x 則 的小值是（ ）A B C1 D5若正實數(shù) b、滿足 ab ac ， a 的最小值為（ ）A B C 226已知正項等比數(shù)列a9 a7，若存在兩項 a 、 ， a a 2，則 16 n的最小值為（ ）ABC 7設(shè) ， 滿約束條件 ， z y的最小值為（ ）y A-1 B2 C D8若直線l：ax b 2 x y 0截得的弦長為4，則 1 b的最小值為（ ）AB

2、 C 2 9當(dāng) ， 滿不等式組 y y 時，目標(biāo)函數(shù)t 2 y最小值是（ ）x A-4 B-3 C Dx x , yx , ， x x x , yx , ， x 10于任意實數(shù) a，若 ，則下列不等式一定成立的是（ ）A 1 bB22C3a b a11數(shù)f ( a R )的圖像在點 處的切線斜率的最小值是（ ） A B 3C D12 ，b，則下列不等式恒成立的是（ ）A b2Cc | |二、填題13 ， ，且 a b ，不等式 1 2 a 恒成立，則 的圍為_.14關(guān)于 的等式 ax x 0 的解集為 _ 2 x 3 則 的是15知實數(shù) x， 滿 x x y ，則 x 的最大值為x 16知 ，

3、b 為實數(shù)，且 ab+2，則 的小值_已知 滿足約束條件 x x y ，則目標(biāo)函數(shù) 的最大值為_.y 18知實數(shù) 滿不等式組 y x x y y，則 的值范圍為_ xb2 a 19知 ， p 與 的小關(guān)系是a b20函數(shù)f ( x) 32mx 是 R 上增函數(shù)，則實數(shù) 取值范圍是_.三、解題21知函數(shù)flog12g .2（）關(guān)于 的不等式 的解集為 時，求g ( x)x 的最小值；（）對任意x 2，不等式 f x ) ) 恒成立，求實數(shù) a 的取x , x , yx x x , x , yx x 2 值范圍22鐵皮做一個體積為 5 3 ，為 的方體無蓋鐵，這個鐵盒底面的長與寬 各為多少 cm

4、時，用料最省？231）知 求4x 的最大值；（）知 是正實數(shù)，且x ，求1 3x 的最小值（）實數(shù) 滿足2 2 y ，求y 2 的取值范圍24王于年初用 50 萬元購買一輛大貨車，第一年因繳納各種用需支出 6 萬，從第 二年起，每年都比上一年增加支出 2 萬元，假定該車每年的運輸收入均為 25 萬小王在 該車運輸累計收入超過總支出后，考慮將大貨車作為二手車出售，若該車在第 x 年年底出 售，其銷售價格(25萬元國規(guī)定大貨車的報廢年限為 10 年(1)大車運輸?shù)降趲啄昴甑祝撥囘\輸累計入超過總支出？(2)在幾年年底將大貨車出售，能使小王獲的年平均利潤最大利累計收入銷售 收入總支)25知函數(shù)f R

5、，且f，對任意實數(shù) x ，f 成立. 的解析式；（）函數(shù)（） ，解關(guān)于 的等式f 3 2 .26新冠肺炎疫情影響，吸機成為緊缺商品，某呼吸機生產(chǎn)企業(yè)為了提高產(chǎn)品的產(chǎn)量，投入 萬元安裝了一臺新設(shè)備，并立即進行生產(chǎn)，預(yù)計使用該設(shè)備前 ( N )年的材料費、維修費、人工工資等共為（ nf ( n )設(shè)備前 n 年總盈利為萬元.n）萬元，每年的銷售收入 5 萬元設(shè)使用該（）出f ( n )關(guān)于 n 的數(shù)關(guān)系式，并估計該設(shè)備從第幾年開始盈利；（）用若干后，對該設(shè)備處理的方案有兩種：案一：當(dāng)總盈利額達到最大值時，該設(shè) 備以 10 萬的價格處理；方案二：當(dāng)年平均盈利額達到最大值時，該設(shè)備以 50 萬元的價

6、格處理；問哪種方案處理較為合理？并說明理.【參考答案】*試卷處理標(biāo)記，請不要除一選題1解析： m( ) 則 2n ( ) m( ) 則 2n ( ) 【分析】化簡( v 2，再結(jié)合基本不等式，即可求.【詳解】由題意，正數(shù) m，u 2， v 2 2 mn ， 2 mn 1 ( ) v m 2 4 m 2 2 mn 4 mn m1 1 4 1 1 m m 4 4 m n 4 4 2 n n ， n 當(dāng)且僅當(dāng) n 1時，即 時等號成所以 的最大值是為 . 3故選：.【點睛】利用基本不等式求最值時，要注意其滿足的三個條件一正、二定、三相”：（）一”：就是各項必須為正數(shù)；（）二”：就是要求和的最小值，必

7、須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化定值；要求積的最大 值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（）三等：用本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這 個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地.2B解析：【分析】由對數(shù)運算可得出，利用基本不等式可求得 的最小值【詳解】因為，即log ，所以，且有 b ，由基本不等式可得，所以，a ，所以( 2) ，且 ， ，當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立因此， 的最小值為 7 .故選：【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（）一二定三”一”就是各項必須為正數(shù)；（）二”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成值；要求積的

8、最大 值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（）三等是用本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這 個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地.3C解析：【分析】畫出滿足條件的目標(biāo)區(qū)域，將目標(biāo)函數(shù)化為斜截式y(tǒng) ，由直線方程可知，要使最大，則直線y 的截距要最大，結(jié)合可行域可知當(dāng)直線y 過點 A 時距最大，因此，解出 A 點標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)，即可得到最大值. 【詳解】畫出滿足約束條件 x x y 的目標(biāo)區(qū)域，如圖所: x y 由 x y,得y ，要使 最，則直線y 的截距要最大，由圖可知當(dāng)線y 過點 A 時距最大， 聯(lián)立 ,解 A(1,2) ，所以 x y的最大值為： ，

9、故選：【點睛】方法點睛：求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟“一、二移、三：（）出可行（一定要注意是實線還是虛線）；（）到目標(biāo)數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或 最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（）最優(yōu)解標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最.4C解析：【分析】先作出約束條件對應(yīng)的可行域，然后分析目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合圖形即可求 【詳解】 作出約束條件 x y 所表示的平面區(qū)域如圖所示：移動直線x y ，可知當(dāng)其過點 A 時得最小值， 解方程組 x ，求得 ， y y A(1,0)，代入求得 ，所以 的小值是1，故選：【點睛】方法點睛：該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題，解題方法如下： （）據(jù)題中給

10、的約束條件畫出可行域；（）據(jù)目標(biāo)數(shù)的意義找到最優(yōu)解；（）方程組得最優(yōu)解的坐標(biāo)；（）入求得小值，得到結(jié).5D解析：【解析】分析：根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出 2a+b+c 的最小值即可詳解：由題得：因為 a+ac+ab+bc=2， （）a+c=2，又 ab， 均正實數(shù)， （）（）( a )( )=2 ，當(dāng)且僅當(dāng) a+b=a+c 時，即 b=c 取號故選 D.點睛：本題考查了絕對值的意義，考查基本不等式的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題 6Am nm n解析：【分析】根據(jù)條件可先求出數(shù)列的公比，再根據(jù) 16可求出的最小值 na a m n 2可得出 m ，利用基本不等式即【詳解】正項等比數(shù)列中，9 2 7，所以 q

11、 .因為a a n q m n 1 1 12，所以 m .因為1 16 16 16m n 16m ( m )( ) ( 17) ( m m n 5 m n 5 ，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 4 m n時取等號，因為 、 *，以 m ， 4 ，所以 16 n的最小值為 5.故選：【點睛】本題考查等比數(shù)列的基本量的計算，考查利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)7B解析：【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu) 解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案【詳解】 y 解：由約束條件 作出可行域如圖，y 化目標(biāo)函數(shù)z y為y ，由圖可知，當(dāng)直線y 過點 A ，直線在 y 軸的截距最小， z

12、 有小值 y 聯(lián)立 1 3 ，解得 A( ， ) 2 1 的最小值為 2 2故選： 【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題 8B解析：【分析】求出圓的圓心與半徑，可得圓心在直線 0)上，推出 ，利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解 【詳解】 取最小值解：圓x 2 y ，即 x 2 ，表示以M (1,2)為圓心，以 2 為半徑的圓，由題意可得圓心在直線 b 上，故 b ，即 b， 2 a b 2 2 2 a 2 a 2b，當(dāng)且僅當(dāng)2 ，即 a b 2b時，等號成立，故選：【點睛】本題考查直線與圓的方程的綜合應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力， 屬于中檔題9B解析：

13、【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得 y在點( 處取得最小值tmin ，本題選擇 B 選.點睛：求線性目標(biāo)函數(shù) byab0)的最值，當(dāng) b 時直線過可行域且在 y 軸上截 距最大時， 值大，在 y 軸距最小時， 值最小；當(dāng) b 時直線過可行域且在 y 軸 上截距最大時， 值最小，在 y 軸截距最小時z 值大.10解析：【解析】根據(jù)題意，依次分析選項：對于 A，a ，b 時， ，故 A 錯；對于 B，當(dāng) ， ， a 2 ，故 B 錯誤；對于 ，不等式的性質(zhì)可得 正；對于， ， 時， b a，故 D 錯；故選 C.11解析：【分析】先求導(dǎo)數(shù)根導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜再

14、據(jù)基本不等式求最值. 【詳解】f 1 k ,當(dāng)且僅當(dāng) b時取等號，因此切線斜率的最小值是 2， D.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來進行轉(zhuǎn). 在利用基本不等式求最值時，要特別注“拆拼、湊等巧使其滿足基本不等式中 “正(即件要求中字母為正)、定(不式的另一邊必須為定、等等號取得的條 的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯.12解析：【分析】首先利用特值法排除 A、 兩，利用不等式的性質(zhì)可確 C 項是正確的，再舉出反例判 斷 D 項錯誤的，從而得到答.【詳解】當(dāng) a， 時滿足 a，但1 1a b，2b2排除 A、；因為 0，b c 2 c 2 2 ，故 是確的；

15、當(dāng) 時，a| b| 不成立，排除 D，故選：【點睛】該題考查的是有關(guān)不等式的問題，涉及到的知識點有利用不等式的性質(zhì)比較式子的大小， 利用特值法排除不正確的選項，堅持做到小題小做的思想，屬于簡單題.二、填題13【分析】由可得然后利用基本不等式可求出而不等式恒成立等價于小于等 于最小值從而可求出的范圍【詳解】解：因為所以當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號因為不 等式恒成立所以小于等于最小值所以故答案為：【點睛】易錯點睛：利用基解析 m 2 【分析】由 a b 可得 1 1 1 a a b b a ，然后利用基本不等式可求出 1 1 1 ，不等式 b 2 恒成立，等價于 m 小于等于 1b a 最小值，從而可求出

16、m 的圍【詳解】解：因為 a ，所以 1 1 1 1 b 2 a b b a a b 3 1 2 a 2 ，當(dāng)且僅當(dāng) bb a ，即 a 時，取等號，因為不等式 1 2 恒成立，所以 小等于 1 a 最小值，所以 ，故答案為：m 【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（）一二定三”一”就是各項必須為正數(shù)；（）二”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成值；要求積的最大 值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（）三等是用本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這 個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方14【解析】由題意知 2

17、和 3 是方程的兩個根即答案為 7點睛】本題考查 一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題解題的關(guān)鍵是根據(jù)一元二次不等式與對應(yīng)方 程之間的關(guān)系求出的值解析 7【解析】由題意知a0且 2 和 3 是程 ax 0 的個根，3 ，b3 b , .即答案為 7.【點睛】本題考查一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一元二次不等式與對應(yīng)方程之間的關(guān)系，求出a的值15 【詳解】根據(jù)題意得到如圖可行域是封閉的三角形頂點是(01)() （）目 標(biāo)函數(shù)可得到當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點 A(01)有最大值-2 故得到答案為：-2 點睛：利用線 性規(guī)劃求最值的步驟：(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)解析：【詳解】根據(jù)題意得到如圖可行域是

18、封閉的三角形，頂點是0,1) (1 3,2 )（，） 目標(biāo)函數(shù) x y，y x , 可得到當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點 ，有最大值，故得到答案為：-2.點睛：利用線性規(guī)劃求最值的步驟在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域考目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進行變形常見的類型有截距型（ 型）、斜率型（y x 型）和距離型（ 型）確定最優(yōu)解：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的類型，并結(jié)合可行域確定最優(yōu)解(4)求值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值 16【分析】利用基本不等式轉(zhuǎn)化為再利用換元法設(shè)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次不 等式求的最小值【詳解】當(dāng)時等號成立設(shè)解得：或即的最小值為故答案為： 【點睛】本題考查基本不等式一元二次不等式重點考查轉(zhuǎn)化

19、與變形計算能力屬 解析： 10 【分析】利用基本不等式轉(zhuǎn)化為 4 再利用換元法設(shè) ab 0 ，化為關(guān) 的一元二次不等式，求 的小值.【詳解】ta b ， 4 ab 當(dāng) 4 ab ab ，4 時等號成立，設(shè) ab 0 ， t ，tt 0 ，得： 6 或 t ， t ， t ，即 ab 2 6 6，, 2, 2ab的最小值為 故答案為：10 【點睛】本題考查基本不等式，一元二次不等式，重點考查轉(zhuǎn)化與變形，計算能力，屬于基礎(chǔ)題. 17【分析】畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義得到答案【詳 解】如圖所示：畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)則則表示直線在軸的截距的相反數(shù)根據(jù) 圖像知當(dāng)直線過點時即時有最大值為故

20、答案為：【點睛】本題考查了線性規(guī)劃 解析 2【分析】畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義得到答.【詳解】如圖所示：畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)， ，則 y x ，則表示直線在 軸截距的相反數(shù)，根據(jù)圖像知當(dāng)直線過點 x ， 時有最大值為 .故答案為： 2 .【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，畫出圖像是解題的關(guān).18【分析】作出可行域表示與00）連線的斜率合圖形求出斜率的最小值 最大值即可求解【詳解】如圖不等式組表示的平面區(qū)域（包括邊界）所以表示 與（00）連線的斜率因為所以故【點睛本題主要考查了簡單的線性規(guī)解析： 【分析】作出可行域，yx表示 與（，）連線的斜率，結(jié)合圖形求出斜率的最小值，最大值即

21、可求解 【詳解】 如圖，不等式組 y x x 表示的平面區(qū)域（包括邊界），所以 表 與（，）線的斜率，因為A ，所以k，故 , .【點睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃問題，涉及斜率的幾何意義，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔 題19【分析】由已知結(jié)合作差法進行變形后即可比較大小【詳解】因為與所以 時取等號所以故答案為：【點睛】本題主要考查了不等式大小的比較作差法的 應(yīng)用是求解問題的關(guān)鍵解析：p q【分析】由已知結(jié)合作差法進行變形后即可比較大小 【詳解】因為 ， b ， b a 2 與 ，a 所以 b b2 (b2 )(b (b ) 2 (b a b ab 0 取等號，所以 p 故答案為： p 【點睛】

22、本題主要考查了不等式大小的比較，作差法的應(yīng)用是求解問題的關(guān)鍵20【分析】由題意知在上恒成立從而結(jié)合一元二次不等式恒成立問題可列出 關(guān)于的不等式進而可求其取值范圍【詳解】解：由題意知知在上恒成立則只需 解得故答案為:【點睛】本題考查了不等式恒成立問題考查了運用導(dǎo)數(shù)探究解析： , 【分析】 由題意知f 3 x 在 R 上恒成立，從而結(jié)合元二次不等式恒成立問題，可列出關(guān)于 的等式，而可求其取值范. 【詳解】解：由題意知，知f 3 x2 x m 在 R 上成立，則只需 ，解得m .故答案: .【點睛】本題考查了不等式恒成立問題，考查了運用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的單調(diào)一地，由增函數(shù)可得 導(dǎo)數(shù)不小于零，由減函數(shù)可得

23、導(dǎo)數(shù)不大于.于一元二次不等式在 R 上成立問，如若 在 R 上恒成立，可得 ； 在 R 上a .恒成立，可得 三、解題211） 2 2）112 【分析】（）據(jù)二次等式的解集得 a ，根據(jù)基本不等式求解即可；（）據(jù)題意問題轉(zhuǎn)化為 xax F ，（ ），分類討論即可求.【詳解】（）關(guān)于 的不等式g ) 的解集為 g x 2 2 又 ， x 2 ，取“ ”時 x 即g g 2 的最小值為 2 ，“ ”時 x （）x 時， x2 ，f 根題意得：ax 記F ，（ ）當(dāng) 時，F(xiàn) minF 由 a a ， 2當(dāng) 時， min aF 4由 a 24 7 2 7， 7當(dāng) 時，F(xiàn) minF 由 ， 綜上所述，的

24、取值范圍是112 7【點睛】本題的第二問中關(guān)鍵是采用動軸定區(qū)間的方法進行求解，即討論對稱軸在定區(qū)間的左右兩 側(cè)以及對稱軸在定區(qū)間上的變化情況，從而確定該函數(shù)的最.22盒底面的長與寬均為 5cm時，用料最.【分析】法一：因為體積為 5 3 高 ，所以底面積是定值 25設(shè)長為 ，寬為 列出表面積結(jié)合基本不等式即可；法二：列出表面積后，利用求導(dǎo)函數(shù)的方法求最.【詳解】25x，解法 ：鐵盒底面的長為 ，寬為25x，則.表面積S 25 x 25 100 x 25 . 4 x 25 65 .當(dāng)且僅當(dāng) 25，即 時，表面積有最小值 65.所以這個鐵盒底面的長與寬均為 答：這個鐵盒底面的長與寬均為cmcm時，

25、用料最省. 時，用料最省.解法 ：鐵盒底面的長為 ，寬為25x，表面積為ycm，則. x , x , 25 x xy100 x 100 x 2.令 y4 x 2 100 x得， .當(dāng)x ，函數(shù) y4x2x為減函數(shù)；當(dāng)x ，函數(shù) y4x2 x為增函數(shù)；所以當(dāng) 時， 有小值 65.答：這個鐵盒底面的長與寬均為cm時，用料最省.231） （2 ；（）.【分析】（）于 x x ，再根據(jù)基本不等式求解即可；（）據(jù)題意，再利用基本不等式1的用法求解即可；（）y2 2代入y2 ，再配方求解即可得答案【詳解】解：（）為 x ，以 ， 3 ，所以 43 ，當(dāng)且僅當(dāng) x 2 ， 時號立，所以4x 的最大值為 （）

26、于 是正實數(shù)，且x ，所以 3 1 3 x x y 4 y x y x y ，當(dāng)且僅當(dāng)y 3xx ，即y 3x 3 時等號成.x y2 x y2 故1 3x 的最小值為 .（）于實數(shù) 滿2 22，故y2 x2 x 2所以y x x x ，當(dāng) 時，y 2 x 取得最小值為 故y2 的取值范圍為.【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，注意自變量的取值范圍，考查化歸轉(zhuǎn)化思想，運算能 力，是中檔.24(2)5.【解析】試題分析：（）出第 年年底，該車運輸累計收入與總支出的差，令其大于 0，可得到結(jié)論； （）用利潤累計收銷售收入總出，可得平均利潤，利用本不等式，可得結(jié) 論試題（）大貨車輸?shù)降?年底，該車運輸累計收入與總支出的差為 萬， 則由,可得，故從第 3 年該運輸累計收入超過