工程力學(xué)第二篇第十一章彎曲應(yīng)力

1、第 5 章 彎曲應(yīng)力 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力 對(duì)稱彎曲切應(yīng)力 梁的強(qiáng)度分析與設(shè)計(jì) 非對(duì)稱彎曲應(yīng)力 彎拉(壓)組合問(wèn)題本章主要研究：?jiǎn)屋x祖,材料力學(xué)教程11 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力 2 慣性矩與平行軸定理3 對(duì)稱彎曲切應(yīng)力4 梁的強(qiáng)度條件與合理強(qiáng)度設(shè)計(jì)5 雙對(duì)稱截面梁的非對(duì)稱彎曲6 彎拉(壓)組合7 慣性積與主慣性矩8 一般非對(duì)稱彎曲應(yīng)力9 剪心概念單輝祖,材料力學(xué)教程21 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力 引言 彎曲試驗(yàn)與假設(shè) 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力公式 例題單輝祖,材料力學(xué)教程3 引 言彎曲應(yīng)力 彎曲正應(yīng)力 梁彎曲時(shí)橫截面上的s 彎曲切應(yīng)力 梁彎曲時(shí)橫截面上的t對(duì)稱彎曲對(duì)稱截面梁，在縱向?qū)ΨQ面承受橫向外力時(shí)的受力與變形形式對(duì)稱彎曲單

2、輝祖,材料力學(xué)教程4 彎曲試驗(yàn)與假設(shè)彎曲試驗(yàn)單輝祖,材料力學(xué)教程5試驗(yàn)現(xiàn)象 橫線為直線, 仍與縱線正交 靠頂部縱線縮短, 靠底部縱 線伸長(zhǎng) 縱線伸長(zhǎng)區(qū),截面寬度減小 縱線縮短區(qū), 截面寬度增大彎曲假設(shè) 橫截面變形后保持平面，仍與縱線正交彎曲平面假設(shè) 各縱向“纖維”處于單向受力狀態(tài)單向受力假設(shè)（純彎與正彎矩作用）單輝祖,材料力學(xué)教程6推 論 梁內(nèi)存在一長(zhǎng)度不變的過(guò)渡層中性層 中性層與橫截面得交線中性軸 橫截面間繞中性軸相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng) 中性軸截面縱向?qū)ΨQ軸單輝祖,材料力學(xué)教程7 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力公式公式的建立幾何方面:物理方面:靜力學(xué)方面:單輝祖,材料力學(xué)教程8(a)(b)中性軸通過(guò)橫截面形心(a)(c)

3、(d)(a)抗彎截面系數(shù)(d)慣性矩單輝祖,材料力學(xué)教程9結(jié)論中性軸過(guò)截面形心 中性軸位置： 正應(yīng)力公式： 中性層曲率：, 對(duì)稱彎曲, 純彎與非純彎 應(yīng)用條件：總 結(jié)假設(shè)平面假設(shè)，單向受力假設(shè)綜合考慮三方面單輝祖,材料力學(xué)教程10一些易混淆的概念 對(duì)稱彎曲對(duì)稱截面梁，在縱向?qū)ΨQ面承受橫向外 力時(shí)的受力與變形形式 純 彎 曲梁或梁段各橫截面的剪力為零彎矩為常 數(shù)的受力狀態(tài) 中性軸橫截面受拉與受壓區(qū)的分界線 形心軸通過(guò)橫截面形心的坐標(biāo)軸 彎曲剛度EI代表梁截面抵抗彎曲變形的能力 抗彎截面系數(shù)Wz代表梁截面幾何性質(zhì)對(duì)彎曲強(qiáng)度 的影響中性軸與形心軸對(duì)稱彎曲與純彎曲 截面彎曲剛度與抗彎截面系數(shù)單輝祖,材

4、料力學(xué)教程11 例 題 例 1-1 梁用18 工字鋼 制成，Me=20 kNm, E=200 GPa。試計(jì)算：最大彎曲正應(yīng)力smax ，梁軸曲率半徑 r解：1. 工字鋼（GB 706-1988）一種規(guī)范化、系列化的工字形截面的標(biāo)準(zhǔn)鋼材18 工字鋼：?jiǎn)屋x祖,材料力學(xué)教程122. 應(yīng)力計(jì)算3. 變形計(jì)算Me=20 kNm，E=200 GPa，求 smax 與 r單輝祖,材料力學(xué)教程132 慣性矩與平行軸定理 靜矩與慣性矩 簡(jiǎn)單截面慣性矩 平行軸定理 例題單輝祖,材料力學(xué)教程14 靜矩與慣性矩靜矩慣性矩截面對(duì)z軸的靜矩截面對(duì) z 軸的慣性矩單輝祖,材料力學(xué)教程15 簡(jiǎn)單截面慣性矩矩形截面慣性矩圓形截

5、面慣性矩單輝祖,材料力學(xué)教程16 平行軸定理平行軸定理Cy0z0形心直角坐標(biāo)系Oyz 任意直角坐標(biāo)系同理得：二者平行單輝祖,材料力學(xué)教程17 例 題 例 2-1 已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm, d=20mm試計(jì)算：截面 B-B 的最大拉應(yīng)力st,max與壓應(yīng)力sc,max解：1. 彎矩計(jì)算2. 形心位置計(jì)算由矩形 1 與矩形 2 組成的組合截面單輝祖,材料力學(xué)教程183. 慣性矩計(jì)算4. 最大彎曲正應(yīng)力單輝祖,材料力學(xué)教程19例 2-2 已知：鋼帶厚 d = 2mm, 寬 b = 6mm, D=1400mm, E=200GPa。試計(jì)算：帶內(nèi)的 smax 與 M解：

6、1. 問(wèn)題分析 應(yīng)力變形關(guān)系： 內(nèi)力變形關(guān)系：已知鋼帶的變形（軸線曲率半徑），求鋼帶應(yīng)力與內(nèi)力單輝祖,材料力學(xué)教程20帶厚 d=2 mm, 寬 b= 6mm, D = 1400mm, E = 200GPa，求 smax 與 M2. 應(yīng)力計(jì)算3. 彎矩計(jì)算單輝祖,材料力學(xué)教程213 對(duì)稱彎曲切應(yīng)力 矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力 薄壁與圓形截面梁的彎曲切應(yīng)力 彎曲正應(yīng)力與彎曲切應(yīng)力比較 例題單輝祖,材料力學(xué)教程22 矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力假設(shè) t (y) / 截面?zhèn)冗?，并沿截面寬度均勻分布狹窄矩形截面梁 (hb)Sz(w)面積 w 對(duì)中性軸 z 的靜矩彎曲切應(yīng)力公式單輝祖,材料力學(xué)教程23單輝祖,材料力

7、學(xué)教程24截面翹曲與非純彎推廣 切應(yīng)變非均布 截面翹曲（abab（=，彎曲 s 仍保持線性分布切應(yīng)力非均布當(dāng)梁上作用橫向分布載荷時(shí)，只要 l 5h，純彎s 公式仍足夠精確當(dāng)FS=常數(shù)時(shí)，單輝祖,材料力學(xué)教程25 薄壁與圓形截面梁的彎曲切應(yīng)力工字形薄壁梁假設(shè) : t / 腹板側(cè)邊, 并沿其厚度均勻分布w y 下側(cè)部分截面對(duì)中性軸 z 的靜矩單輝祖,材料力學(xué)教程26盒形薄壁梁w假設(shè) : t / 腹板側(cè)邊, 并沿腹板厚度均布單輝祖,材料力學(xué)教程27圓形截面梁分析表明，最大彎曲切應(yīng)力仍發(fā)生在中性軸上，并可近似認(rèn)為沿中性軸均勻分布單輝祖,材料力學(xué)教程28 彎曲正應(yīng)力與彎曲切應(yīng)力比較當(dāng) l h 時(shí)，sma

8、x tmax單輝祖,材料力學(xué)教程29 例 題例 3-1 FS = 15 kN, Iz = 8.8410-6 m4, b = 120 mm, d = 20 mm, yC = 45 mm。試求: tmax ；腹板與翼緣交接處切應(yīng)力 ta解：?jiǎn)屋x祖,材料力學(xué)教程30解：例 3-2 已知梁段剪力FS，試分析鉚釘?shù)氖芰屋x祖,材料力學(xué)教程31 上翼板橫截面對(duì) 中性軸 z 的靜矩M1 橫截面 1 的彎矩M2 橫截面 2 的彎矩單輝祖,材料力學(xué)教程324 梁的強(qiáng)度條件與合理強(qiáng)度設(shè)計(jì) 梁危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài) 梁的強(qiáng)度條件 梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì) 例題單輝祖,材料力學(xué)教程33 梁危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)實(shí)心與非薄壁截面梁a與

9、c 點(diǎn)處單向應(yīng)力b 點(diǎn)處純剪切單輝祖,材料力學(xué)教程34薄壁截面梁c 與d 點(diǎn)處單向應(yīng)力a 點(diǎn)處純剪切b 點(diǎn)處s 與t 聯(lián)合作用d單輝祖,材料力學(xué)教程35 梁的強(qiáng)度條件 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件： 彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件：t - 材料純剪切許用應(yīng)力s - 材料單向應(yīng)力許用應(yīng)力強(qiáng)度條件的應(yīng)用 細(xì)長(zhǎng)非薄壁梁 短而高梁、薄壁梁、 M 小 FS大的梁或梁段梁的強(qiáng)度條件 對(duì)一般薄壁梁，還應(yīng)考慮 s 、t 聯(lián)合作用下的強(qiáng)度問(wèn)題（參見第 8 章中的強(qiáng)度理論）單輝祖,材料力學(xué)教程36 梁的合理設(shè)計(jì) 將較多材料放置在遠(yuǎn)離中性軸的位置，并注意塑性與脆性材料的差異上下對(duì)稱塑性材料脆性材料 注重彎曲強(qiáng)度，兼顧腹板的剪切強(qiáng)度與穩(wěn)定

10、性避免剪切破壞與局部失穩(wěn)合理截面形狀單輝祖,材料力學(xué)教程37彎曲等強(qiáng)條件等強(qiáng)度梁各橫截面具有同樣強(qiáng)度的梁剪切等強(qiáng)條件合理截面變化單輝祖,材料力學(xué)教程38單輝祖,材料力學(xué)教程39合理安排約束 a = ? F 最大單輝祖,材料力學(xué)教程40合理安排加載方式單輝祖,材料力學(xué)教程41 例 題例 4-1 簡(jiǎn)易吊車梁，F(xiàn) =20 kN，l = 6 m，s = 100 MPa ，t = 60 MPa，選擇工字鋼型號(hào)解：1. 危險(xiǎn)工作狀態(tài)分析移動(dòng)載荷問(wèn)題單輝祖,材料力學(xué)教程422. 按彎曲 s 條件選截面選 22a, Wz=3.0910-4 m43. 校核梁的剪切強(qiáng)度單輝祖,材料力學(xué)教程43例 4-2 鑄鐵梁，

11、 y1 = 45 mm，y2 = 95 mm，st = 35 MPa ，sc = 140 MPa，Iz =8.8410-6 m4，校核梁的強(qiáng)度解：MD最大正彎矩MB最大負(fù)彎矩危險(xiǎn)截面截面 D, B單輝祖,材料力學(xué)教程44危險(xiǎn)點(diǎn)a, b, c截面D截面B單輝祖,材料力學(xué)教程455 雙對(duì)稱截面梁的非對(duì)稱彎曲 彎曲正應(yīng)力分析 中性軸與最大彎曲正應(yīng)力 例題單輝祖,材料力學(xué)教程46 彎曲正應(yīng)力分析非對(duì)稱彎曲雙對(duì)稱截面梁非對(duì)稱彎曲非對(duì)稱截面梁非對(duì)稱彎曲單輝祖,材料力學(xué)教程47彎曲正應(yīng)力分析矢量沿坐標(biāo)軸正向的彎矩M為正利用疊加法分析內(nèi)力與應(yīng)力彎曲正應(yīng)力沿橫截面線性分布單輝祖,材料力學(xué)教程48 中性軸與最大彎

12、曲正應(yīng)力中性軸為通過(guò)橫截面形心的直線中性軸位置與方位中性軸的方位角為：?jiǎn)屋x祖,材料力學(xué)教程49smax 發(fā)生在離中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處矩形、工字形與箱形等具有外棱角截面：最大彎曲正應(yīng)力單輝祖,材料力學(xué)教程50 例 題例 5-1 Fy =Fz =F = 1.0 kN，a = 800 mm，截面高 h = 80 mm，寬 b = 40 mm，s = 160 MPa ，校核梁強(qiáng)度解：1. 內(nèi)力分析危險(xiǎn)截面截面 A單輝祖,材料力學(xué)教程512. 應(yīng)力分析危險(xiǎn)點(diǎn)d, f3. 強(qiáng)度校核危險(xiǎn)點(diǎn)處于單向應(yīng)力狀態(tài)單輝祖,材料力學(xué)教程526 彎拉(壓)組合 彎拉(壓)組合的應(yīng)力 偏心壓縮應(yīng)力 例題單輝祖,材料力學(xué)教程5

13、3 彎拉(壓)組合的應(yīng)力實(shí)例彎拉組合偏心拉伸（外力平行與 偏離軸線）（橫向載荷軸向載荷）單輝祖,材料力學(xué)教程54彎拉(壓）組合分析危險(xiǎn)點(diǎn)處單向應(yīng)力內(nèi)力FN，Mmax單輝祖,材料力學(xué)教程55 偏心壓縮應(yīng)力外力向形心簡(jiǎn)化彎壓組合中性軸與載荷作用點(diǎn)位于形心軸 z 兩側(cè)單輝祖,材料力學(xué)教程56 例 題例 6-1 F = 10 kN，l = 2 m，e = l / 10，a = 30，s = 160 MPa，選擇工字鋼型號(hào)解：1. 計(jì)算簡(jiǎn)圖外力分解，向梁軸簡(jiǎn)化單輝祖,材料力學(xué)教程572. 內(nèi)力分析3. 截面型號(hào)初選選 12.6, Wz=7.7510-4 m4 , A=1.8110-3 m24. 校核與修

14、改設(shè)計(jì)12.6 滿足強(qiáng)度要求，否則修改設(shè)計(jì)按彎曲強(qiáng)度初步設(shè)計(jì)單輝祖,材料力學(xué)教程58例 6-2 圖示圓截面鑄鐵桿，直徑為d。試證明當(dāng)偏心距 e d / 8 時(shí)，橫截面上無(wú)拉應(yīng)力，并討論有關(guān)概念。橫截面上無(wú)拉應(yīng)力的條件中性軸與周邊相切解：1. 問(wèn)題證明單輝祖,材料力學(xué)教程592. 截面核心概念 使橫截面僅受壓之偏心壓力作用點(diǎn)的集合,稱為截面核心 脆性材料桿偏心承壓時(shí), 外力作用點(diǎn)宜控制在截面核心內(nèi)單輝祖,材料力學(xué)教程607 慣性積與主慣性矩 截面慣性積 慣性積平行軸定理 轉(zhuǎn)軸公式與主慣性矩單輝祖,材料力學(xué)教程61 截面慣性積慣性積截面對(duì) y, z 軸的慣性積當(dāng) y 或 z 軸為截面對(duì)稱軸時(shí)慣性積

15、為代數(shù)量( 為正、負(fù)或零 ）單輝祖,材料力學(xué)教程62試計(jì)算圖示三角形截面的慣性積 Iyz算例單輝祖,材料力學(xué)教程63 慣性積平行軸定理平行軸定理Cy0z0形心直角坐標(biāo)系Oyz任意直角坐標(biāo)系二者平行- C在坐標(biāo)系Oyz中的坐標(biāo)單輝祖,材料力學(xué)教程64算例試計(jì)算圖示矩形截面的慣性積 Iyz單輝祖,材料力學(xué)教程65 轉(zhuǎn)軸公式與主慣性矩轉(zhuǎn)軸公式a：始邊-y軸，為正單輝祖,材料力學(xué)教程66主軸與主慣性矩滿足慣性積為零的坐標(biāo)軸 -主軸對(duì)主軸的慣性矩 - 主慣性矩通過(guò)形心的主軸主形心軸相應(yīng)慣性矩主形心慣性矩主形心軸主形心軸單輝祖,材料力學(xué)教程67算例確定主形心軸與主形心慣性矩，h=2b單輝祖,材料力學(xué)教程6

16、88 一般非對(duì)稱彎曲應(yīng)力 一般非對(duì)稱彎曲正應(yīng)力 開口薄壁梁彎曲切應(yīng)力 例題單輝祖,材料力學(xué)教程69 一般非對(duì)稱彎曲正應(yīng)力平面假設(shè)與單向受力假設(shè)假設(shè)綜合考慮三方面中性軸通過(guò)截面形心單輝祖,材料力學(xué)教程70中性軸與主形心軸 z重合(f)(d)應(yīng)用條件：; smaxspM矢量/任一主形心軸單輝祖,材料力學(xué)教程71幾個(gè)概念及其間關(guān)系對(duì) 稱 彎 曲非對(duì)稱彎曲彎曲平面彎曲（M 矢量 / 主形心軸時(shí)）斜 彎 曲（M矢量不 / 主形心軸時(shí)）平面彎曲斜彎曲兩個(gè)互垂平面彎曲的組合 中性軸不垂直于彎矩作用面的變形形式斜彎曲 中性軸垂直于彎矩作用面的變形形式平面彎曲 幾個(gè)概念間的關(guān)系單輝祖,材料力學(xué)教程72 開口薄壁

17、梁彎曲切應(yīng)力Sz-截面 w 對(duì) z 軸的靜矩Iz- 整個(gè)截面對(duì) z 軸的慣性矩推導(dǎo)詳見假設(shè) 切應(yīng)力平行于截面中心線切線，并沿壁厚均布y,z 軸主形心軸單輝祖,材料力學(xué)教程73例 8-1 已知 F= 6kN, l =1.2m, s = 160MPa, 校核梁的強(qiáng)度 例 題解：1. 問(wèn)題分析 截面 A 最危險(xiǎn) MA=Fl 矢量MA /主形心軸 y，發(fā)生平面彎曲 中性軸位于 y 軸，邊緣 ab 與 ed 各點(diǎn)處的 s 最大單輝祖,材料力學(xué)教程742. 應(yīng)力計(jì)算 F= 6kN, l =1.2m, s = 160MPa, 校核梁的強(qiáng)度單輝祖,材料力學(xué)教程75例 8-2 確定工字形截面梁的剪流分布解：1.

18、 翼緣剪流計(jì)算 2. 腹板剪流計(jì)算單輝祖,材料力學(xué)教程769 剪心概念 剪心概念 常見截面的剪心位置 例題單輝祖,材料力學(xué)教程77 剪心概念現(xiàn)象與問(wèn)題要使梁僅彎不扭，橫向載荷 ( F,q ) 應(yīng)如何施加 ？F單輝祖,材料力學(xué)教程78平面彎曲的外力條件 梁 z 軸發(fā)生平面彎曲FSy位置： ez=?要使梁 z 軸發(fā)生平面彎曲, 外力 ( F, q ) 作用線y 軸, 并距其 ez 處根據(jù)合力矩定理：剪流分布方式確定剪力位置也應(yīng)確定單輝祖,材料力學(xué)教程79 梁 y 軸發(fā)生平面彎曲FSz位置：ey=?根據(jù)合力矩定理:要使梁 y 軸發(fā)生平面彎曲，外力(F, q ) 作用線z 軸，并距其 ey 處單輝祖,材料力學(xué)教程80 剪心定義 剪心位置僅與截面的形狀及尺寸有關(guān)，與外力無(wú)關(guān)，屬于截面幾何性質(zhì) 當(dāng)橫向外力作用線通過(guò)剪心時(shí)，梁將只彎不扭，故剪心又稱彎心剪心概念 剪心性質(zhì)剪力 FSy , FSz 作用線的交點(diǎn) S (ey, ez)