雞兔同籠問題五種基本公式和例題講解

1、雞兔同籠問題五種基本公式和例題講解【雞兔問題公式】（ 1）已知總頭數(shù)和總腳數(shù)，求雞、兔各多少：（總腳數(shù) -每只雞的腳數(shù)總頭數(shù)） （每只兔的腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)）=兔數(shù)；總頭數(shù) -兔數(shù)=雞數(shù)?；蛘呤?（每只兔腳數(shù)總頭數(shù)-總腳數(shù)） （每只兔腳數(shù)-每只雞腳數(shù)）=雞數(shù)；總頭數(shù) -雞數(shù)=兔數(shù)。例如 ， “有雞、兔共 36只，它們共有腳100只，雞、兔各是多少只？”解一（ 100- 2 36）（4-2） =14（只）兔；36-14=22（只）雞。解二（ 4 36-100）（4-2） =22（只）雞；36-22=14（只）兔。（答 略）（ 2）已知總頭數(shù)和雞兔腳數(shù)的差數(shù)，當(dāng)雞的總腳數(shù)比兔的總腳數(shù)多 時，可用公

2、式（每只雞腳數(shù)總頭數(shù) - 腳數(shù)之差）（每只雞的腳數(shù)+每只兔的腳數(shù)）=兔數(shù)；總頭數(shù) -兔數(shù) =雞數(shù)或（每只兔腳數(shù)總頭數(shù)+雞兔腳數(shù)之差）（每只雞的腳數(shù)+每只免的腳數(shù)）=雞數(shù)；總頭數(shù) -雞數(shù)=兔數(shù)。（例略）（3）已知總數(shù)與雞兔腳數(shù)的差數(shù)，當(dāng)兔的總腳數(shù)比雞的總腳數(shù)多 時，可用公式。（每只雞的腳數(shù)總頭數(shù)+雞兔腳數(shù)之差）（每只雞的腳數(shù)+每只兔的腳數(shù)）=兔數(shù)；總頭數(shù) -兔數(shù)=雞數(shù)?；颍恐煌玫哪_數(shù)總頭數(shù) -雞兔腳數(shù)之差）（每只雞的腳數(shù)+每只兔的腳數(shù)）=雞數(shù)；總頭數(shù) -雞數(shù)=兔數(shù)。（例略）（4）得失問題（雞兔問題的推廣題）的解法，可以用下面的公式：（ 1只合格品得分數(shù)產(chǎn)品總數(shù) - 實得總分數(shù)）（每只合格品得分

3、數(shù)+每只不合格品扣分數(shù)）=不合格品數(shù)?；蛘呤强偖a(chǎn)品數(shù)-（每只不合格品扣分數(shù)總產(chǎn)品數(shù) +實得總分數(shù)）（每只合格品得分數(shù)+每只不合格品扣分數(shù)）=不合格品數(shù)。例如 ， “燈泡廠生產(chǎn)燈泡的工人，按得分的多少給工資。每生產(chǎn)一個合格品記4分，每生產(chǎn)一個不合格品不僅不記分，還要扣除15分。某工人生產(chǎn)了1000只燈泡，共得3525分，問其中有多少個燈泡不合格？”解一 （ 4 1000-3525）（4+15）=475 19=25（個）解二 1000- （ 15 1000+3525）（4+15） 1000-18525 19=1000-975=25（個） （答略）（ “得失問題”也稱“運玻璃器皿問題”，運到完好無損

4、者每只給運費元，破損者不僅不給運費，還需要賠成本元。它的解法顯然可套用上述公式。）（ 5）雞兔互換問題（已知總腳數(shù)及雞兔互換后總腳數(shù)，求雞兔各多少的問題）， 可用下面的公式： （兩次總腳數(shù)之和） （每只雞兔腳數(shù)和）+（兩次總腳數(shù)之差）（每只雞兔腳數(shù)之差）2=雞數(shù)； （兩次總腳數(shù)之和）（每只雞兔腳數(shù)之和）- （兩次總腳數(shù)之差）（每只雞兔腳數(shù)之差）2=兔數(shù)。例如 ， “有一些雞和兔，共有腳44只，若將雞數(shù)與兔數(shù)互換，則共有腳52只。雞兔各是多少只？”解 （ 52+44）（4+2） +（ 52-44）（4-2） 2=202 =10（只）雞 （ 52+44）（4+2） - （ 52-44）（4-2）

5、2=12 2=6（只）兔（答略）雞兔同籠目錄 1 總述 2 假設(shè)法 3 方程法一元一次方程二元一次方程4 抬腿法5 列表法 6 詳解 7 詳細解法基本問題特殊算法習(xí)題8 雞兔同籠公式1 總述雞兔同籠是中國古代的數(shù)學(xué)名題之一。大約在 1500年前， 孫子算經(jīng)中就記載了這個有趣的問題。書中是這樣敘述的： “今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數(shù)，有35 個頭,從下面數(shù)，有94 只腳。問籠中各有幾只雞和兔？算這個有個最簡單的算法。（總腳數(shù)-總頭數(shù)雞的腳數(shù)）（兔的腳數(shù)-雞的腳數(shù)）=兔的只數(shù)（ 94 35 2）2=12（兔子數(shù)）

6、總頭數(shù)（35）兔子數(shù)（12） =雞數(shù)x=35-12x=35-12（只）2x=242x=24（ 23）解釋： 讓兔子和雞同時抬起兩只腳，這樣籠子里的腳就減少了頭數(shù)只，由于雞只有2 只腳，所以籠子里只剩下兔子的兩只腳，再除以就是兔子數(shù)。雖然現(xiàn)實中沒人雞兔同籠。假設(shè)法假設(shè)全是雞：2 35=70（只）雞腳比總腳數(shù)少：94 70=24 （只）兔：24 （4-2）=12 （只）雞：35 12=23（只）假設(shè)法（通俗）假設(shè)雞和兔子都抬起一只腳，籠中站立的腳：94-35=59（只）然后再抬起一只腳，這時候雞兩只腳都抬起來就摔倒了，只剩下用兩只腳站立的兔子，站立腳：59-35=2（4 只） 兔：24 2=1（2

7、 只） 雞：35-12=23（只）方程法一元一次方程解：設(shè)兔有x 只，則雞有（35-x）只。4x+2（35-x）=944x+70-2x=942x=94-70 x=24 2x=1235-12=23（只）或 解：設(shè)雞有x 只，則兔有（35-x）只。2x+4（35-x）=942x+140-4x=942x=46x=2335-23=12（只）答：兔子有12 只，雞有23 只。注：通常設(shè)方程時，選擇腿的只數(shù)多的動物，會在套用到其他類似雞兔同籠的問題上，好算一些。二元一次方程解：設(shè)雞有x 只，兔有y 只。x+y=352x+4y=94（ x+y=35） 2=2x+2y=70（2x+2y=70）-（2x+4y=

8、94）=（2y=24）y=12把 y=12 代入（ x+y=35）x+12=35x=23（只）。答：兔子有12 只，雞有23 只抬腿法法一假如讓雞抬起一只腳，兔子抬起2 只腳， 還有 94 除以 2=47 只腳。 籠子里的兔就比雞的頭數(shù)多1，這時，腳與頭的總數(shù)之差47-35=12，就是兔子的只數(shù)。法二假如雞與兔子都抬起兩只腳，還剩下94 35 2=24 只腳 ， 這時雞是屁股坐在地上，地上只有兔子的腳，而且每只兔子有兩只腳在地上，所以有24 2=12 只兔子，就有35 12=23 只雞列表法腿數(shù)雞（只數(shù)）兔（只數(shù)）詳解中國古代孫子算經(jīng)共三卷，成書大約在公元5 世紀。這本書淺顯易懂，有許多有趣的

9、算術(shù)題，比如“雞兔同籠”問題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？題目中給出雉兔共有35 只，如果把兔子的兩只前腳用繩子捆起來，看作是一只腳，兩只后腳也用繩子捆起來，看作是一只腳，那么，兔子就成了2 只腳，即把兔子都先當(dāng)作兩只腳的雞。雞兔總的腳數(shù)是35 2=70（只），比題中所說的94 只要少94-70=24（只）?，F(xiàn)在，我們松開一只兔子腳上的繩子，總的腳數(shù)就會增加2 只，即 TOC o 1-5 h z 70+2=72（只），再松開一只兔子腳上的繩子，總的腳數(shù)又增加2， 2，2， 2，一直繼續(xù)下去，直至增加24， 因此兔子數(shù)：24 2=12（只） ，從而雞有35-12=23

10、（只）。我們來總結(jié)一下這道題的解題思路：如果先假設(shè)它們?nèi)请u，于是根據(jù)雞兔的總數(shù)就可以算出在假設(shè)下共有幾只腳，把這樣得到的腳數(shù)與題中給出的腳數(shù)相比較，看看差多少，每差 2 只腳就說明有1 只兔，將所差的腳數(shù)除以2，就可以算出共有多少只兔。概括起來，解雞兔同籠題的基本關(guān)系式是：兔數(shù)=（實際腳數(shù)-每只雞腳數(shù)雞兔總數(shù)） （每只兔子腳數(shù)-每只雞腳數(shù)）。 類似地， 也可以假設(shè)全是兔子。我們也可以采用列方程的辦法：設(shè)兔子的數(shù)量為x，雞的數(shù)量為y那么： x+y=35 那么 4x+2y=94 這個算方程解出后得出：兔子有 12 只，雞有 23 只。詳細解法基本問題 雞兔同籠 是一類有名的中國古算題。最早出現(xiàn)在

11、孫子算經(jīng)中 .許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化成這類問題，或者用解它的典型解法-假設(shè)法來求解。因此很有必要學(xué)會它的解法和思路.例 1 有若干只雞和兔子，它們共有88 個頭， 244 只腳，雞和兔各有多少只解： 我們設(shè)想，每只雞都是金雞獨立 ,一只腳站著；而每只兔子都用兩條后腿，像人一樣用兩只腳站著。現(xiàn)在，地面上出現(xiàn)腳的總數(shù)的一半， 也就是 TOC o 1-5 h z 244 2=122（只）.在 122 這個數(shù)里，雞的頭數(shù)算了一次，兔子的頭數(shù)相當(dāng)于算了兩次。因此從 122 減去總頭數(shù)88，剩下的就是兔子頭數(shù)122-88=34（只），有 34只兔子.當(dāng)然雞就有54只。答：有兔子34只 ,雞54只。上

12、面的計算，可以歸結(jié)為下面算式：總腳數(shù) 2-總頭數(shù)=兔子數(shù). 總頭數(shù)-兔子數(shù)=雞數(shù)特殊算法上面的解法是孫子算經(jīng)中記載的。做一次除法和一次減法，馬上能求出兔子數(shù)，多簡單！能夠這樣算，主要利用了兔和雞的腳數(shù)分別 TOC o 1-5 h z 是 4和 2,4又是 2的 2 倍 .可是，當(dāng)其他問題轉(zhuǎn)化成這類問題時，腳數(shù) 就不一定是4 和 2， 上面的計算方法就行不通。因此， 我們對這類問題給出一種一般解法.還說例 1.如果設(shè)想88 只都是兔子，那么就有4 88 只腳，比244只腳多了88 4-244=108（只）.每只雞比兔子少（4-2）只腳，所以共有雞 TOC o 1-5 h z （88 4-244）

13、 （4-2）= 54（只）.說明我們設(shè)想的88只 兔子中，有 54只不是兔子。而是雞.因此可以列出公式雞數(shù)=（兔腳數(shù)總頭數(shù)-總腳數(shù)）（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）.當(dāng)然，我們也可以設(shè)想88 只都是雞 ,那么共有腳2 88=176（只），比 244 只腳少了244-176=68（只）.每只雞比每只兔子少（4-2）只腳，68 2=34（只）.說明設(shè)想中的雞 ,有34只是兔子，也可以列出公式兔數(shù)=（總腳數(shù)-雞腳數(shù)總頭數(shù)）（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）.上面兩個公式不必都用，用其中一個算出兔數(shù)或雞數(shù)，再用總頭數(shù)去減，就知道另一個數(shù)。假設(shè)全是雞，或者全是兔，通常用這樣的思路求解，有人稱為假設(shè)法 .現(xiàn)在，拿一個具體問題來試試上面

14、的公式。例 2 紅鉛筆每支0.19 元，藍鉛筆每支0.11 元，兩種鉛筆共買了16支，花了2.80元。問紅，藍鉛筆各買幾支？解：以分 作為錢的單位.我們設(shè)想，一種雞 有11 只腳，一種兔子有 19只腳，它們共有16個頭， 280只腳?，F(xiàn)在已經(jīng)把買鉛筆問題，轉(zhuǎn)化成 雞兔同籠問題了.利用上面算兔數(shù)公式，就有藍筆數(shù)=(19 16-280) (19-11)=24 8=3(支).紅筆數(shù)=16-3=13(支).答：買了13 支紅鉛筆和3 支藍鉛筆。對于這類問題的計算，常?？梢岳靡阎_數(shù)的特殊性.例 2 中的 腳數(shù) 19 與 11 之和是 30.我們也可以設(shè)想16只中， 8只是兔子,8 只是雞 ,根據(jù)這一

15、設(shè)想，腳數(shù)是 TOC o 1-5 h z 8 (11+19)=240(支)。比 280 少 40.40 (19-11)=5(支)。就知道設(shè)想中的8 只 雞 應(yīng)少 5只，也就是雞 (藍鉛筆)數(shù)是3.30 8比19 16或 11 16要容易計算些。利用已知數(shù)的特殊性，靠心算來完成計算.實際上，可以任意設(shè)想一個方便的兔數(shù)或雞數(shù)。例如，設(shè)想16 只中，兔數(shù) 為 10,雞數(shù)為 6，就有腳數(shù)19 10+11 6=256.比 280 少 24.24 (19-11)=3,就知道設(shè)想6 只 雞 ,要少3只。要使設(shè)想的數(shù)，能給計算帶來方便，常常取決于你的心算本領(lǐng).下面再舉四個稍有難度的例子。例 3 一份稿件，甲單

16、獨打字需6小時完成.乙單獨打字需10小時完成，現(xiàn)在甲單獨打若干小時后，因有事由乙接著打完，共用了7 小時。甲打字用了多少小時？解： 我們把這份稿件平均分成30份 （30是 6和 10的最小公倍數(shù)）， 甲每小時打30 6=5（份），乙每小時打30 10=3（份）.現(xiàn)在把甲打字的時間看成兔 頭數(shù)，乙打字的時間看成雞 頭數(shù)，總頭數(shù)是7.兔 的腳數(shù)是5,雞 的腳數(shù)是3，總腳數(shù)是30，就把問題轉(zhuǎn)化成雞兔同籠問題了。根據(jù)前面的公式兔 數(shù) =（30-3 7） （5-3）=4.5,雞 數(shù) =7-4.5=2.5,也就是甲打字用了4.5小時，乙打字用了2.5小時。答：甲打字用了4 小時 30 分 .例 4 今年是

17、 1998 年，父母年齡（整數(shù)）和是78 歲，兄弟的年齡和是 17歲。 四年后 （2002年） 父的年齡是弟的年齡的4倍， 母的年齡是兄的年齡的3 倍 .那么當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3 倍時，是公元哪一年？解： 4 年后，兩人年齡和都要加8.此時兄弟年齡之和是17+8=25，父母年齡之和是78+8=86.我們可以把兄的年齡看作雞 頭數(shù)，弟的年齡看作兔 頭數(shù)。 25是 總頭數(shù) .86 是 總腳數(shù).根據(jù)公式，兄的年齡是 TOC o 1-5 h z (25 4-86) (4-3)=14(歲).1998 年，兄年齡是14-4=10(歲).父年齡是(25-14) 4-4=40(歲).因此，當(dāng)父的年齡是兄的

18、年齡的3 倍時，兄的年齡是(40-10) (3-1)=15(歲).這是 2003年。答：公元2003年時，父年齡是兄年齡的3 倍 .例 5 蜘蛛有 8 條腿， 蜻蜓有 6 條腿和 2 對翅膀， 蟬有 6 條腿和 1 對翅膀?，F(xiàn)在這三種小蟲共18 只，有 118 條腿和 20 對翅膀.每種小蟲各幾只？解：因為蜻蜓和蟬都有6 條腿，所以從腿的數(shù)目來考慮，可以把小蟲分成 8 條腿 與 6 條腿 兩種。利用公式就可以算出8條腿的蜘蛛數(shù)=(118-6 18) (8-6) TOC o 1-5 h z =5(只).因此就知道6 條腿的小蟲共18-5=13(只).也就是蜻蜓和蟬共有13 只，它們共有20 對翅

19、膀。再利用一次公式蟬數(shù) =(13 2-20) (2-1)=6(只).因此蜻蜓數(shù)是13-6=7(只).答：有 5 只蜘蛛， 7 只蜻蜓， 6 只蟬。例 6 某次數(shù)學(xué)考試考五道題，全班52 人參加，共做對181 道題，已知每人至少做對1 道題，做對1 道的有 7 人， 5 道全對的有6 人，做對 2 道和 3 道的人數(shù)一樣多，那么做對4 道的人數(shù)有多少人？解：對 2 道， 3 道， 4 道題的人共有 TOC o 1-5 h z 52-7-6=39（人）.他們共做對181-1 7-5 6=144（道）.由于對 2 道和 3 道題的人數(shù)一樣多，我們就可以把他們看作是對2.5道題的人（2+3） 2=2.

20、5）.這樣兔腳數(shù)=4，雞腳數(shù)=2.5,總腳數(shù)=144，總頭數(shù)=39.對 4 道題的有（144-2.5 39） （4-2.5）=31（人）.答：做對4 道題的有31 人。以例 1 為例 有若干只雞和兔子，它們共有88 個頭， 244 只腳，雞和兔各有多少只？以簡單的X 方程計算的話，我們一般用設(shè)大數(shù)為X，那么也就是設(shè)兔為X，那么雞的只數(shù)就是總數(shù)減去雞的只數(shù)，即（88-X）只。解：設(shè)兔為X 只。則雞為（88-X）只。4X+2 （88-X） =244上列的方程解釋為：兔子的腳數(shù)加上雞的腳數(shù)，就是共有的腳數(shù)。4X就是兔子的腳數(shù)，2（88-X）就是雞的腳數(shù)。4X+2 88-2X=2442X+176=24

21、42X+176-176=244-1762X=682X 2=68 2X=34即兔子為34 只，總數(shù)是88 只，則雞：88-34=54 只。 TOC o 1-5 h z 答：兔子有34 只，雞有54 只。習(xí)題一1 龜鶴共有100 個頭， 350 只腳.龜，鶴各多少只？2學(xué)校有象棋，跳棋共26 副，恰好可供120 個學(xué)生同時進行活動。象棋 2 人下一副棋，跳棋6 人下一副 .象棋和跳棋各有幾副？3一些2分和 5 分的硬幣，共值2.99元，其中2分硬幣個數(shù)是5分硬幣個數(shù)的4 倍，問 5 分硬幣有多少個？4 某人領(lǐng)得工資240 元， 有 2 元， 5 元，10 元三種人民幣，共 50 張，其中 2 元與

22、 5 元的張數(shù)一樣多。那么2 元， 5 元， 10 元各有多少張？5一件工程，甲單獨做12 天完成，乙單獨做18 天完成，現(xiàn)在甲做了若干天后，再由乙接著單獨做完余下的部分，這樣前后共用了16天 .甲先做了多少天？6摩托車賽全程長281 千米，全程被劃分成若干個階段，每一階段中，有的是由一段上坡路（3 千米） ，一段平路（4 千米） ，一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）組成的；有的是由一段上坡路（3千米） ，一段下坡路（2 千米）和一段平路（4 千米）組成的。已知摩托車跑完全程后，共跑了25 段上坡路.全程中包含這兩種階段各幾段？7用1 元錢買 4 分， 8 分， 1 角的郵票共15 張，

23、問最多可以買1 角的郵票多少張？二、兩數(shù)之差的問題雞兔同籠中的總頭數(shù)是兩數(shù)之和,如果把條件換成兩數(shù)之差,又應(yīng)該怎樣去解呢 TOC o 1-5 h z 例 7 買一些 4 分和 8 分的郵票，共花 6 元 8 角。 已知 8 分的郵票比4分的郵票多40 張，那么兩種郵票各買了多少張？解一：如果拿出40 張 8 分的郵票，余下的郵票中8 分與 4 分的張數(shù)就一樣多 .（680-8 40） （8+4）=30（張），這就知道，余下的郵票中，8分和4分的各有30張。因此 8 分郵票有40+30=70（張）.答：買了8 分的郵票70 張， 4 分的郵票30 張。也可以用任意假設(shè)一個數(shù)的辦法.解二：譬如，假

24、設(shè)有20 張 4 分，根據(jù)條件8 分比 4 分多 40 張 ,那么應(yīng)有 60 張 8 分。以分 作為計算單位，此時郵票總值是 4 20+8 60=560. TOC o 1-5 h z 比 680 少，因此還要增加郵票。為了保持差 是 40，每增加1 張 4分，就要增加1 張 8 分，每種要增加的張數(shù)是（680-4 20-8 60） （4+8）=10（張）.因此 4 分有20+10=30（張）， 8 分有60+10=70（張）.例 8 一項工程，如果全是晴天，15 天可以完成。倘若下雨，雨天比晴天多 3 天，工程要多少天才能完成解：類似于例3，我們設(shè)工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份

25、，雨天每天完成8份 .用上一例題解一的方法，晴天有 TOC o 1-5 h z （150-8 3） （10+8）= 7（天）.雨天是 7+3=10天，總共7+10=17（天）.答：這項工程17 天完成。請注意，如果把雨天比晴天多3 天 去掉，而換成已知工程是17 天完成，由此又回到上一節(jié)的問題.差是3，與和是17，知道其一，就能推算出另一個。這說明了例7， 例 8 與上一節(jié)基本問題之間的關(guān)系.總腳數(shù)是兩數(shù)之和,如果把條件換成兩數(shù)之差,又應(yīng)該怎樣去解呢例 9 雞與兔共100 只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)少28.問雞與兔各幾只？解一：假如再補上28 只雞腳，也就是再有雞28 2=14（只），雞與兔腳數(shù)就

26、相等，兔的腳是雞的腳4 2=2（倍），于是雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的 2 倍。兔的只數(shù)是（100+28 2） （2+1）=38（只）.雞是 100-38=62（只） .答：雞 62 只，兔 38 只。當(dāng)然也可以去掉兔28 4=7（只）.兔的只數(shù)是（100-28 4） （2+1）+7=38（只）.也可以用任意假設(shè)一個數(shù)的辦法。解二：假設(shè)有50 只雞，就有兔100-50=50（只）.此時腳數(shù)之差是4 50-2 50=100,比 28 多了72.就說明假設(shè)的兔數(shù)多了（雞數(shù)少了）.為了保持總數(shù)是 TOC o 1-5 h z 100，一只兔換成一只雞，少了4 只兔腳，多了2 只雞腳，相差為6只 （千萬注意，不

27、是2）.因此要減少的兔數(shù)是（100-28） （4+2）=12（ 只） .兔只數(shù)是50-12=38（只）.另外， 還存在下面這樣的問題：總頭數(shù)換成兩數(shù)之差 ,總腳數(shù)也換成兩數(shù)之差.例 10 古詩中，五言絕句是四句詩，每句都是五個字；七言絕句是四句詩，每句都是七個字。有一詩選集，其中五言絕句比七言絕句多13首，總字數(shù)卻反而少了20個字 .問兩種詩各多少首？解一：如果去掉13 首五言絕句，兩種詩首數(shù)就相等，此時字數(shù)相差13 5 4+20=280（字）.每首字數(shù)相差7 4-5 4=8（字）.因此，七言絕句有280 （28-20）=35（首） TOC o 1-5 h z 五言絕句有35+13=48（首）

28、.答：五言絕句48 首，七言絕句35 首。解二：假設(shè)五言絕句是23 首，那么根據(jù)相差13 首，七言絕句是10首 .字數(shù)分別是20 23=460（字）， 28 10=280（字），五言絕句的字數(shù)，反而多了460-280=180（字）.與題目中少 20字 相差180+20=200（字）.說明假設(shè)詩的首數(shù)少了。為了保持相差13 首，增加一首五言絕句，也要增一首七言絕句，而字數(shù)相差增加8.因此五言絕句的首數(shù)要比假設(shè)增加200 8=25（首）.五言絕句有23+25=48（首）.七言絕句有10+25=35（首）.在寫出雞兔同籠公式的時候，我們假設(shè)都是兔，或者都是雞，對于例 7，例9 和例 10 三個問題，

29、當(dāng)然也可以這樣假設(shè)?，F(xiàn)在來具體做一下，把列出的計算式子與雞兔同籠 公式對照一下，就會發(fā)現(xiàn)非常有趣的事 .例 7，假設(shè)都是8 分郵票， 4 分郵票張數(shù)是 TOC o 1-5 h z （680-8 40） （8+4）=30（張）.例 9，假設(shè)都是兔，雞的只數(shù)是（100 4-28） （4+2）=62（只）.10，假設(shè)都是五言絕句,七言絕句的首數(shù)是（20 13+20） （28-20）=35（首）.首先，請讀者先弄明白上面三個算式的由來，然后與雞兔同籠 公式- 成了 +. 其奧妙何在呢有了負數(shù)的概念，并會列二元一次方程組，就會明白，從數(shù)學(xué)上說，這一講前兩節(jié)列舉的所有例子都是同一件事。例 11 有一輛貨車

30、運輸2000 只玻璃瓶，運費按到達時完好的瓶子數(shù)目計算，每只2 角，如有破損，破損瓶子不給運費，還要每只賠償1元 .結(jié)果得到運費379.6元，問這次搬運中玻璃瓶破損了幾只？解：如果沒有破損，運費應(yīng)是400 元。但破損一只要減少1+0.2=1.2（元）.因此破損只數(shù)是（400-379.6） （1+0.2）=17（只）.答：這次搬運中破損了17 只玻璃瓶。請你想一想，這是雞兔同籠同一類型的問題嗎例 12 有兩次自然測驗，第一次 24道題， 答對 1 題得 5分， 答錯 （包含不答）1 題倒扣 1 分；第二次15 道題，答對1 題 8 分，答錯或不答 1 題倒扣 2 分，小明兩次測驗共答對30 道題

31、，但第一次測驗得分比第二次測驗得分多10 分，問小明兩次測驗各得多少分？解一：如果小明第一次測驗24 題全對，得5 24=120（分）.那么第 TOC o 1-5 h z 二次只做對30-24=6（題）得分是8 6-2 （15-6）=30（分）.兩次相差120-30=90（分）.比題目中條件相差10 分， 多了 80 分。 說明假設(shè)的第一次答對題數(shù)多了，要減少.第一次答對減少一題，少得5+1=6（分） ，而第二次答對增加一題不但不倒扣2 分，還可得8 分，因此增加8+2=10 分。兩者兩差數(shù)就可減少6+10=16（分）.（90-10） （6+10）=5（題）.因此第一次答對題數(shù)要比假設(shè)（全對）

32、減少5 題，也就是第一次答對 TOC o 1-5 h z 19題，第二次答對30-19=11（題）.第一次得分5 19-1 （24- 19）=90.第二次得分8 11-2 （15-11）=80.答：第一次得90 分，第二次得80 分。解二：答對30 題，也就是兩次共答錯24+15-30=9（題）.第一次答錯一題，要從滿分中扣去5+1=6（分），第二次答錯一題，要從滿分中扣去8+2=10（分）.答錯題互換一下，兩次得分要相差6+10=16（分）.如果答錯9 題都是第一次，要從滿分中扣去6 9.但兩次滿分都是120分。比題目中條件第一次得分多10分 ,要少了6 9+10.因此，第二次答錯題數(shù)是（6

33、 9+10） （6+10）=4（題）第一次答錯9-4=5（題）.第一次得分5 （24-5）-1 5=90（分）.第二次得分8 （15-4）-2 4=80（分）.習(xí)題二買語文書30 本，數(shù)學(xué)書24 本共花 83.4元。每本語文書比每本數(shù)學(xué)書貴 0.44元。每本語文書和數(shù)學(xué)書的價格各是多少？2甲茶葉每千克132 元，乙茶葉每千克96 元，共買這兩種茶葉12千克 .甲茶葉所花的錢比乙茶葉所花錢少354 元。問每種茶葉各買多少千克？3一輛卡車運礦石，晴天每天可運16 次，雨天每天只能運11 次 .一連運了若干天，有晴天，也有雨天。其中雨天比晴天多3 天，但運的 TOC o 1-5 h z 次數(shù)卻比晴天

34、運的次數(shù)少27次 .問一連運了多少天？4某次數(shù)學(xué)測驗共20 道題，做對一題得5 分，做錯一題倒扣1 分，不做得 0 分。小華得了76 分 .問小華做對了幾道題？5甲，乙二人射擊，若命中，甲得4 分，乙得5 分；若不中，甲失分，乙失3 分。每人各射10 發(fā)，共命中14 發(fā) .結(jié)算分數(shù)時，甲比乙多 10分。問甲，乙各中幾發(fā)？6甲，乙兩地相距12 千米 .小張從甲地到乙地，在停留半小時后，又從乙地返回甲地，小王從乙地到甲地，在甲地停留40 分鐘后，又從甲地返回乙地。已知兩人同時分別從甲，乙兩地出發(fā)，經(jīng)過4 小時后，他們在返回的途中相遇.如果小張速度比小王速度每小時多走1.5千米，求兩人的速度。？三、

35、從三 到 二 雞 和 兔 是兩種東西，實際上還有三種或者更多種東西的類似問題.在第一節(jié)例5 和例 6 就都有三種東西。從這兩個例子的解法，也可以看出，要把三種轉(zhuǎn)化成二種來考慮.這一節(jié)要通過一些例題，告訴大家兩類轉(zhuǎn)化的方法。 TOC o 1-5 h z 例 13 學(xué)校組織新年游藝晚會，用于獎品的鉛筆，圓珠筆和鋼筆共232支， 共花了 300元 .其中鉛筆數(shù)量是圓珠筆的4倍。 已知鉛筆每支0.60元，圓珠筆每支2.7元，鋼筆每支6.3元。問三種筆各有多少支解： 從條件 鉛筆數(shù)量是圓珠筆的4 倍 ,這兩種筆可并成一種筆，四支鉛筆和一支圓珠筆成一組，這一組的筆，每支價格算作( 0.60 4+2.7)

36、5=1.02(元).現(xiàn)在轉(zhuǎn)化成價格為1.02和 6.3兩種筆。用雞兔同籠公式可算出，鋼筆支數(shù)是(300-1.02 232) (6.3-1.02)=12(支).鉛筆和圓珠筆共232-12=220(支).其中圓珠筆220 (4+1)=44(支)鉛筆220-44=176(支).答：其中鋼筆12 支，圓珠筆44 支，鉛筆176 支。例 14 商店出售大，中，小氣球，大球每個3 元，中球每個1.5 元，小球每個1 元。張老師用120 元共買了55 個球，其中買中球的錢與買小球的錢恰好一樣多.問每種球各買幾個解：因為總錢數(shù)是整數(shù)，大，小球的價錢也都是整數(shù)，所以買中球的錢數(shù)是整數(shù)，而且還是3 的整數(shù)倍。我們

37、設(shè)想買中球，小球錢中各出元 .就可買2 個中球， 3 個小球。因此，可以把這兩種球看作一種，每個價錢是(1.5 2+1 3) (2+3)=1.2(元).從公式可算出，大球個數(shù)是(120-1.2 55) (3-1.2)=30(個)買中，小球錢數(shù)各是（120-30 3） 2=15（元）.可買10 個中球，15 個小球。答：買大球30 個，中球10 個，小球15 個 .例 13是從兩種東西的個數(shù)之間倍數(shù)關(guān)系，例 14是從兩種東西的總錢數(shù)之間相等關(guān)系（倍數(shù)關(guān)系也可用類似方法），把兩種東西合井成一種考慮，實質(zhì)上都是求兩種東西的平均價，就把三 轉(zhuǎn)化成 二 了。例 15是為例 16作準(zhǔn)備 .例 15 某人去

38、時上坡速度為每小時走3 千米，回來時下坡速度為每小時走 6 千米，求他的平均速度是多少解：去和回來走的距離一樣多。這是我們考慮問題的前提.平均速度=所行距離所用時間去時走 1 千米，要用20 分鐘；回來時走1 千米，要用10 分鐘。來回共走 2 千米，用了30 分鐘，即半小時，平均速度是每小時走4千米 .千萬注意，平均速度不是兩個速度的平均值：每小時走（6+3） 2=4.5千米。例 16 從甲地至乙地全長45 千米，有上坡路，平路，下坡路.李強上坡速度是每小時3 千米， 平路上速度是每小時5 千米， 下坡速度是每小時 6 千米。從甲地到乙地，李強行走了10 小時；從乙地到甲地，李強行走了11

39、小時 .問從甲地到乙地，各種路段分別是多少千米解：把來回路程45 2=90（千米）算作全程。去時上坡，回來是下坡；去時下坡回來時上坡.把上坡和下坡合并成一種 路程，根據(jù)例15，平均速度是每小時4 千米。現(xiàn)在形成一個非常簡單的雞兔同籠 問題.頭數(shù)10+11=21，總腳數(shù)90，雞，兔腳數(shù)分別是4 和 5.因此平路 TOC o 1-5 h z 所用時間是（90-4 21） （5-4）=6（小時）.單程平路行走時間是6 2=3（小時）.從甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7（小時）行走路程是：45-5 3=30（千米）.又是一個 雞兔同籠 問題。從甲地至乙地，上坡行走的時間是：（6 7-30） （6

40、-3）=4（小時）.行走路程是3 4=12（千米）.下坡行走的時間是7-4=3（小時）.行走路程是6 3=18（千米） .答：從甲地至乙地，上坡12千米，平路15千米，下坡18千米。做兩次 雞兔同籠 的解法，也可以叫兩重雞兔同籠問題.例 16 是非常典型的例題。 TOC o 1-5 h z 例 17 某種考試已舉行了24 次，共出了426 題 .每次出的題數(shù)，有25題，或者16 題，或者20 題。那么，其中考25 題的有多少次解：如果每次都考16 題，16 24=384，比426 少 42 道題 .每次考25 道題，就要多25-16=9（道）.每次考20 道題，就要多20-16=4（道）.就有

41、9考25 題的次數(shù)+4考20題的次數(shù)=42.請注意， 4 和 42 都是偶數(shù)，9 考25 題次數(shù)也必須是偶數(shù)，因此，考 25 題的次數(shù)是偶數(shù)，由9 6=54 比 42 大，考 25 題的次數(shù)，只能是 0,2,4這三個數(shù)。由于 42不能被 4整除， 0和 4都不合適 .只能是考25 題有 2 次（考 20 題有 6 次） .答：其中考25 題有 2 次。例 18 有 50位同學(xué)前往參觀，乘電車前往每人1.2元， 乘小巴前往每人 4 元，乘地下鐵路前往每人6 元。這些同學(xué)共用了車費110 元，問其中乘小巴的同學(xué)有多少位解：由于總錢數(shù)110 元是整數(shù)，小巴和地鐵票也都是整數(shù)，因此乘電車前往的人數(shù)一定

42、是5 的整數(shù)倍 .如果有 30 人乘電車，110-1.2 30=74（元）.還余下 50-30=20（人）都乘小巴錢也不夠。說明假設(shè)的乘電車人數(shù)少了.如果有 40 人乘電車110-1.2 40=62(元).還余下50-40=10(人)都乘地下鐵路前往，錢還有多(626 10).說明假設(shè)的乘電車人數(shù)又多了。30 至 40 之間，只有35 是 5 的整數(shù)倍 .現(xiàn)在又可以轉(zhuǎn)化成雞兔同籠了：總頭數(shù)50-35=15,總腳數(shù)110-1.2 35=68.因此，乘小巴前往的人數(shù)是(6 15-68) (6-4)=11.答：乘小巴前往的同學(xué)有11 位。在“三 轉(zhuǎn)化為 二 時，例13，例14，例16是一種類型.利用

43、題目中數(shù)量比例關(guān)系，把兩種東西合并組成一種。例17，例 18 是另一種類型 .充分利用所求個數(shù)是整數(shù)，以及總量的限制，其中某一個數(shù)只能是幾個數(shù)值。對幾個數(shù)值逐一考慮是否符合題目的條件.確定了一個個數(shù)，也就變成二 的問題了。在小學(xué)算術(shù)的范圍內(nèi)，學(xué)習(xí)這兩種類型已足夠了.更復(fù)雜的問題，只能借助中學(xué)的三元一次方程組等代數(shù)方法去求解。習(xí)題三有100 枚硬幣，把其中2 分硬幣全換成等值的5 分硬幣，硬幣總數(shù)變成 79 個，然后又把其中的1 分硬幣換成等值的5 分硬幣，硬幣總數(shù)變成63 個 .求原有 2分及 5分硬幣共值多少錢？ 京劇公演 共出售 750張票得 22200元。甲票每張60元，乙票每張 30

44、元，丙票每張18 元 .其中丙票張數(shù)是乙票張數(shù)的2 倍。問其中3小明參加數(shù)學(xué)競賽，共做20 題得 67 分 .已知做一題得5 分，不答得 2 分，做錯一題倒扣3 分。又知道他做錯的題和沒答的題一樣多問小明共做對幾題？1 分， 2分和 5分硬幣共100枚，價值2元，如果其中2 分硬幣的價值比 1 分硬幣的價值多13分。問三種硬幣各多少枚？注：此題沒有學(xué)過分數(shù)運算的同學(xué)可以不做.5甲地與乙地相距24 千米。某人從甲地到乙地往返行走.上坡速度每小時 4 千米，走平路速度每小時5 千米，下坡速度每小時6 千米。去時行走了4 小時 50 分， 回來時用了5 小時.問從甲地到乙地，上坡，平路，下坡各多少千

45、米？6某學(xué)校有12 間宿舍，住著80 個學(xué)生。宿舍的大小有三種：大的住 8 個學(xué)生，不大不小的住7 個學(xué)生，小的住5 人 .其中不大不小的宿舍最多，問這樣的宿舍有幾間？測驗題1松鼠媽媽采松籽，晴天每天可以采20個，雨天每天只能采12個。它一連幾天采了112 個松籽，平均每天采14 個 . 問這幾天當(dāng)中有幾天有雨？2有一水池，只打開甲水龍頭要24分鐘注滿水池，只打開乙水龍頭要 36 分鐘才注滿水池?，F(xiàn)在先打開甲水龍頭幾分鐘，然后關(guān)掉甲，打開乙水龍頭把水池注滿.已知乙水龍頭比甲水龍頭多開26分鐘。問注滿水池總共用了多少分鐘？3某工程甲隊獨做50 天可以完成，乙隊獨做75 天可以完成.現(xiàn)在兩隊合做，

46、但是中途乙隊因另有任務(wù)調(diào)離了若干天。從開工后40 天才把這項工程做完.問乙隊中途離開了多少天？4 小華從家到學(xué)校，步行一段路后就跑步。他步行速度是每分鐘600，跑步速度是每分鐘140 米 .雖然步行時間比跑步時間多4 分鐘，但步行的距離卻比跑步的距離少400 米。問從家到學(xué)校多遠？5有16 位教授，有人帶1 個研究生，有人帶2 個研究生，也有人帶3 個研究生.他們共帶了27 位研究生。其中帶1 個研究生的教授人數(shù)與帶 2,3 個研究生的教授人數(shù)一樣多.問帶2 個研究生的教授有幾人？6某商場為招攬顧客舉辦購物抽獎。獎金有三種：一等獎1000 元，二等獎 250 元，三等獎50 元 .共有100人中獎，獎金總額為9500元。問二等獎有多少名？7有一堆硬