一維波動(dòng)方程的達(dá)郎貝爾公式

1、第四章行波法一一維顛簸方程的達(dá)郎貝爾公式達(dá)郎貝爾公式在常微分方程的定解問(wèn)題中，往常是先求方程的通解，而后利用定解條件確立通解所含的隨意常數(shù)，進(jìn)而獲得定解問(wèn)題的解?？紤]無(wú)窮長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)問(wèn)題2ua22u,x,t0t2x2uu|t0(x),|t0(x)t作自變量的代換xatxat利用復(fù)合函數(shù)的微分法有：uauaut2u2(2u2u2u)t2a2222u2u22u2u同理有：x222將化為：2u0并將它兩頭對(duì)進(jìn)行積分得：1uf0()此中f0()是的隨意函數(shù)，再將此式對(duì)積分u(x,t)f0()df2()f1()f2()f1(xat)f2(xat)此中f1、f2是隨意兩次連線(xiàn)可微函數(shù)，式即為方程的含有兩

2、個(gè)隨意函數(shù)的通解。由初始條件可得：f1(x)f2(x)(x)af1(x)f2(x)(x)經(jīng)過(guò)積分可得：u(x,t)1(xat)(xat)122aatat()d稱(chēng)此式為一維顛簸方程的達(dá)郎貝爾公式。解的物理意義因?yàn)轭嶔し匠痰耐ń馐莾刹糠謋1(xat)與f2(xat)。u2f2(xat)表示了以速度a向x軸正方向流傳的行波，稱(chēng)為右行波。同理，u1f1(xat)表示了以速度a向x軸負(fù)方向流傳的行波，稱(chēng)為左行波。由達(dá)郎貝爾公式，解在點(diǎn)(x,t)的值由初始條件在區(qū)間xat,xat內(nèi)的值決定，稱(chēng)區(qū)間xat,xat為點(diǎn)(x,t)的依靠地區(qū)，在xt平面上，它可看作是過(guò)點(diǎn)(x,t)，斜率分2別1為的兩條直線(xiàn)在x軸

3、上截得的區(qū)間。a這里要掌握半無(wú)窮長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)問(wèn)題和一維非齊次顛簸方程的柯西問(wèn)題的解。半限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)問(wèn)題定解問(wèn)題2ua22u，t0,x0（4.8)t2x2u|x00(4.9)u|x0(x),u|t0(x)(4.10)t用延拓法求解，注意界限條件（4.9），采納奇延拓。令(x)(x),x0(x),x0(x)(x),x0(x),x0考慮定解問(wèn)題2ua22u，x,t0t2x2u|x0(x),u|t0(x)t它的解可由達(dá)郎貝爾公式得：11xatU(x,t)(xat)(xat)22axat()d。3一維非齊次顛簸方程的柯西問(wèn)題定解問(wèn)題2ua22u，x,t0(4.11)t2x2f(x,t)u|x0(x

4、),u|t0(x)(4.12)t令u(x,t)U(x,t)V(x,t)，可將此定解分解成下邊兩個(gè)定解問(wèn)題：2ua22u，x,t0(I)t2x2(x),u|t0(x)u|x0t2u22u，(II)t2ax2f(x,t)x,t0u|t0u|x00,0t此中問(wèn)題(I)的解可由達(dá)朗貝爾公式給出：U(x,t)1(xat)(xat)122a對(duì)于問(wèn)題(II)，有下邊重要的定理。atat()d。定理（齊次化原理）設(shè)(x,t,)是柯西問(wèn)題22t2a2x2，t|x0,t|tf(x,)的解(0)，則V(x,t)t0(x,t,)d是問(wèn)題(II)的解。4二三維顛簸方程的柯西問(wèn)題三維顛簸方程的泊松公式考慮三維顛簸方程的柯

5、西問(wèn)題2u22u2u2ut2a(x2y2z2)x,y,z,t0(4.17）u|t0(x,y,z),u|t0(x,y,z)(4.18)t三維顛簸方程的球?qū)ΨQ(chēng)解假如將三維顛簸方程的空間坐標(biāo)用球坐標(biāo)表示，則顛簸方程化為：1(r2u)r21(sinu)12u=r2rrsinr2sin2212u（4.19）a2t2假如波函數(shù)u與，變量沒(méi)關(guān)，而只與變量r,t相關(guān)，即是所謂球?qū)ΨQ(chēng)的，這時(shí)式可簡(jiǎn)化為：1(r2u=12ur2r)a2t2r2u22uut2a(rr22r)即有：2(ru)a22(ru)。t2r2這是對(duì)于的一維顛簸方程，其通解為：ru(r,t)f1(rat)f2(rat)5進(jìn)而ru(r,t)1f1(

6、rat)f2(rat)即獲得三維顛簸方程r對(duì)于原點(diǎn)為球?qū)ΨQ(chēng)的解。三維顛簸方程的泊松公式2u22u2u2ut2a(x2y2z2)x,y,z,t0(4.17）u|t0(x,y,z),u|t0(x,y,z)(4.18)t的解為：u(x,y,z,t)1(,)1(,)4atSatMatdsatds，稱(chēng)它4aSatM為三維顛簸方程柯西問(wèn)題的泊松公式。這里要求掌握三維顛簸方程柯西問(wèn)題的泊松公式的推導(dǎo)過(guò)程。降維法利用三維顛簸方程柯西問(wèn)題的泊松公式來(lái)導(dǎo)出二維顛簸方程柯西問(wèn)題的解。這類(lèi)利用高維問(wèn)題的解推導(dǎo)低維問(wèn)題的方法稱(chēng)之為降維法。二維顛簸方程的柯西的問(wèn)題：2u22u2ut2a(x2y2)x,y,z,t0u|t0(x,y),u|t0(x,y)t6_令u(x,y,z)u(x,y,z)，將上式的解視為特別的三維問(wèn)題，最后獲得問(wèn)題的解為：1(,)dd+u