《理論力學(xué)》作業(yè)

1、 6/6理論力學(xué)作業(yè) 理論力學(xué)作業(yè) 理論力學(xué)作業(yè) 一. 填空 1. 在平面極坐標(biāo)系中，速度的徑向分量為_ r _ ，橫向分量為_ r _，加速度的徑向分量為_2 r r -_，橫向分量為_ 2r r +_。 2. 在平面自然坐標(biāo)系中，v 的方向?yàn)開質(zhì)點(diǎn)所在處曲線的切線方向_， dt ds v = _，質(zhì)點(diǎn)的切向加速度為_S dt dv a z =_,法向加速度為_ 2 v a n =_。 3. 對固定點(diǎn)的動量矩定理為_d J M dt = _，對質(zhì)心的動量矩定理為_d J M dt = _， 形式相同的原因是慣性力對_質(zhì)心_的力矩為_零 。 4. 當(dāng)合外力F 不等于零時，質(zhì)點(diǎn)組的總動量_不守恒

2、_，但若F 垂直于x 方向，則_質(zhì)點(diǎn)組沿x 方向_的動量守恒，稱為沿某一方向的動量守恒。 5. 當(dāng)合外力矩不等于零時，質(zhì)點(diǎn)組的動量矩_不守恒_，但若在x 方向的分量為零，則_質(zhì)點(diǎn)組對x 軸_軸的動量矩守恒。 6. 任意力系向任一簡化中心簡化的結(jié)果為_主矢和對簡中心的主矩_，此時力系并未化至最簡，平面力系的最簡形式為_合力和力偶_。 7. 力F 為保守力的判據(jù)是_0F ?= _，F(xiàn) 與其勢能函數(shù)之間關(guān)系為_gradV -=_。 8. 對質(zhì)心的動量矩定理和對固定點(diǎn)的動量矩定理一樣，具有簡單形式的原因是_質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的慣性力對 質(zhì)心的力矩相互抵消_。 9. 質(zhì)點(diǎn)組的柯尼希定理的表達(dá)式為_22112

3、2 c i i T mr m r = + _。 10.一般力系向任一簡化中心簡化的結(jié)果為_主矢和對簡化中心的主矩，平面力系的最簡形式為力偶和合力 11. 定軸轉(zhuǎn)動剛體的自由度為_1_，平面平行運(yùn)動的自由度為_3_。定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的自由度為 3 自由剛體的自由度為 6 。 12. 瞬時速度中心在空間描出的軌跡叫_空間極跡_，在剛體上描出的軌跡叫_本體極跡_。 13. 對于剛體，力可以沿其作用線任意移動，若要離開作用線平移，則應(yīng)滿足 力線平移定理 定理，其內(nèi)容為 在平移的同時必須附加一力偶，其力偶矩等于原力對新作用點(diǎn)的力矩 。 14. 剛體對點(diǎn)O 的慣量張量為? ? ?321000000I I I ,則

4、剛體對過O 點(diǎn)的某給定軸線的轉(zhuǎn)動慣量 I 232221I I I I l += 。式中的321,I I I 分別為 剛體對o 點(diǎn)的三個慣量主軸的轉(zhuǎn)動慣量 。 15. 質(zhì)心坐標(biāo)公式為=c r (),e i i c c i i m r r mr F m = 。質(zhì)心運(yùn)動定理為c mr = 。 理論力學(xué)作業(yè) 16. 非慣性系中的質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)基本方程為e c ma F F F =+ ，其中e F 為 遷連慣性力 慣性力， =e F (),e A F ma m m =-?-? ，c F 為 柯氏慣性力 慣性力，=c F v m Fc ?-=2 。 17. 對應(yīng)于廣義坐標(biāo) q 的廣義力為Q ，則當(dāng)q 為長度時

5、，Q 具有 力 的量綱，當(dāng)q 為角度時， Q 具有 力矩 的量綱。 18. 拉氏函數(shù)L 中不顯含某一廣義坐標(biāo) i q ，則意味著 與i q 對應(yīng)的廣義動量守恒 守恒，若L 中不顯含 時間t ，則意味著 機(jī)械能或廣義能量守恒 守恒。 19.在空間轉(zhuǎn)動參照系中運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，相對于固定坐標(biāo)系的絕對加速度 _a = ()2r a a r r v =+?+?+? （具體形式） 。 20. 一直管以恒定角速度繞過管端O 點(diǎn)的鉛直軸在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，管中的一質(zhì)點(diǎn)相對直管以速度v 運(yùn)動， 當(dāng)它與O 點(diǎn)距離為x 時，它所受的慣性離心力為_i x mw F 2 =_，科氐力為_2C F m v =-? _。 21.

6、變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動力學(xué)基本方程為_dt dm V dt d m r +=_。 22. 質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下的運(yùn)動，具有下面兩個主要的運(yùn)動特征對力心的動量矩守恒和機(jī)械能守恒_守恒。 23. 極坐標(biāo)下質(zhì)點(diǎn)速度的徑向分量為_r _，橫向分量為_r _，加速度的徑向分量為_2 r r - _,橫向分量為_2r r + _。 24. 已知一運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的拉格朗日函數(shù)為 2221()2b L m r r r = + ，則哈密頓函數(shù)為 H=_22 2222112222r p p b b H mr mr r m mr r =+-=+- _（式中為常數(shù)）。 二. 半圓柱體重P ，質(zhì)點(diǎn)C 到圓心O 的距離為 34R a =

7、 ,其中R 為圓柱體的半徑，圓柱體與水平面間的摩擦系數(shù)為， 試證明：當(dāng)半圓柱體將被拉動時所偏過的角度 343sin 1 +=- 解：由平面任意力系的平衡方程和受力情況可列如下方程。 =0ix F 0F f -= (1) =0iy F 0N P -= (2) 0(=i B F m 0)sin (sin =-R R F Pa (3) 由(1)(2)得： N f F = 又P N = P F = 代入 (3)得sin sin PR PR Pa -= PR PR pa =+sin )( sin = R a R +，將34R a =代入可得 343sin +=。 三. 試用拉格朗日方程建立彈簧振子的運(yùn)動

8、微分方程，并求出其振動周期（已知：彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為K ，物塊的 質(zhì)量為m ）。 解：系統(tǒng)自由度1=S ，取q=x,系統(tǒng)的動能2 2 1x m T = 系統(tǒng)的勢能221kx V = =-=V T L 221x m -2 21kx 代入拉氏方程：0)(=?-?x l x l dt d ，得： 0 =+kx x m 0 =+ x m k x 令m k w =2，則w 為彈簧振子簡諧振動的圓頻率。 k m W T 22= 四. 長l 2，質(zhì)量為m 的均勻棒，其上端A 靠在光滑的墻上，下端則固聯(lián)一不能伸長的線BC ，線的上端固結(jié)于墻上C 點(diǎn)，C 點(diǎn)與A 點(diǎn)在同一垂直線上，棒與墻所成的角度為，線與墻所成的

9、角度為，如果ABC 平面為與墻垂直的鉛垂面。求平衡時與之間的關(guān)系。（用剛體平衡方程求解）。 解： cos 0(1) sin 0(2)0sin 2cos 0(3)()0 yi xi B i T mg F N T F mgl N l m F ?-=? -=? ?-=? ) 1()2(3)N tg N mg tg mg =得：。代入式得 sin 2cos 0mgl mg tg l -?= 即：202tg tg tg tg -= 五. 一端固結(jié)在天花板上的繩，纏著一個半徑為r ，重為p 的滑輪，求滑輪中心向下運(yùn)動的加速度a 和滑輪的角加速度。（用矢量力學(xué)方法求解） 解：2(1) 1(2) 2c P P

10、 T x g p T r r g ? -=? ? ?=? c r x = （3） （1）（2）（3）三式聯(lián)解可得： =a c x =g 3 2 = =r g 32 六. 半徑為a ，值量為m 的圓柱體，沿著傾角為的 粗糙斜面滾下。試求質(zhì)心沿斜面運(yùn)動的 加速度及約束反作用力的法向分量N 和切向分量（摩擦阻力）f （用矢量力學(xué)方法求解）。 解：由平面運(yùn)動動力學(xué)基本力學(xué)方程得 2sin (1)cos (2)1 (3) 2 c mx mg f o N mg ma fa ? ?=-? =-?=? )4( a x c =純滾動條件： 以上四式聯(lián)立求解可得：21 sin ,cos ,sin 33 c x g

11、 N mg f mg = 七. 試用拉氏方程建立單擺的運(yùn)動微分方程（已知擺長l ，擺球質(zhì)量為m ）。 解：取1s q =體系動能22 1 (1cos )T ml V mgl =- 勢能 22 1(1cos )2 L T V ml mgl =-= - 代入保守系拉氏方程 (0d L L dt q q ?-=? 可得： 0sin 0sin 2=+=+ l g mgl ml 當(dāng)很小時sin 。故有0=+ l g 八. 設(shè)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，受重力作用被約束在半頂角為 的圓錐面內(nèi)運(yùn)動，試以 ，為廣義坐標(biāo)，寫出體系的(1)動能；(2)勢能；(3)拉氏函數(shù)；(4)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程。 解：(1)采用柱面坐標(biāo)系，體系動能為：22221()2 T m r r z = + 變換關(guān)系rctg Z = ctg r Z = 代入上式可得：)sin 1( 2